现代控制理论基础(舒欣梅)第1章

1、第1章 控制系统的状态空间描述第1章 控制系统的状态空间描述1.1 状态空间描述1.2 状态空间方程的线性变换1.3 传递函数矩阵1.4 离散系统的数学描述1.5 用MATLAB进行数学建模和模型转换第1章 控制系统的状态空间描述1.1 状态空间描述状态空间描述1.1.1 状态空间描述的基本概念状态空间描述的基本概念状态空间描述是以状态、状态变量、状态空间等概念为基础建立起来的，其实质是将系统运动方程写成一阶微分方程组的方法。下面我们给出相关概念的定义。1. 状态状态任何一个系统在特定时刻都有一个特定的状态，每个状态都可以用最小的一组独立的状态变量来描述。设想一个质点作直线运动，这个系统的状态

2、就是它每一时刻的位置和速度。 第1章 控制系统的状态空间描述2. 状态变量状态变量状态变量是系统的一组变量。这组变量有如下特点： (1) 只要知道这组变量的初值、输入量和描述动态系统的微分方程，就能完全确定系统的未来状态和输出响应。(2) 这组变量是为完全表征系统行为所必需的系统变量的最少个数，减少变量数将破坏表征的完全性，而增加变量数将是完全表征系统行为所不需要的。第1章 控制系统的状态空间描述一个用n阶微分方程式描述的系统，就有n个独立的状态变量，当这n个独立变量的时间响应都求得时，系统的运动状态也就被揭示无遗了。因此，可以说该系统的状态变量就是n阶系统的n个独立变量。比如质点作动态运动的

3、例子，状态变量就是质点的位置函数和速度函数。需要注意的是，选择不同的坐标，位置函数和速度函数就会不同。也就是说，描述一个系统的状态变量可以有多种不同的选择方式，究竟选哪一组变量作为系统的状态变量可以视情况而定。第1章 控制系统的状态空间描述3. 状态向量状态向量完全描述给定系统行为的n维状态变量可以看做是向量x的n个分量，该向量就称为状态向量。4. 状态空间状态空间以n维状态变量为基底构成n维状态空间。任何状态都可以用状态空间中的一点来表示。第1章 控制系统的状态空间描述5. 状态空间方程状态空间方程当一个动态系统的状态变量确定后，由系统状态变量构成的一阶微分方程组称为状态方程，它反映了输入引

4、起系统状态变化这一运动过程；系统输出量与状态变量输入量的关系称为输出方程，它反映了输入和状态是如何转换为输出的。在状态空间中描述这个动态系统的状态方程和输出方程的组合，称为状态空间方程，或状态空间表达式。它既表征了输入对于系统内部状态的因果关系，又反映了内部状态对于外部输出的影响，所以状态空间方程是对系统的一种完全的描述。由于系统状态变量的选择是非唯一的，因此状态空间方程也是非唯一的。下面我们来写出它的数学表达式。第1章 控制系统的状态空间描述对于多输入多输出(MIMO)系统，假设具有r个输入量u1(t)，u2(t)，ur(t)，m个输出量y1(t)，y2(t)，ym(t)，n个状态变量x1(

5、t)，x2(t)，xn(t)，则系统状态变量构成的一阶微分方程组可写为1112122212121212( )(,;,; )( )(,;,; )( )(,;,; )nrnrnnnrx tf x xx u uu tx tfx xx u uu tx tfx xx u uu t (1-1)第1章 控制系统的状态空间描述系统输出方程可以表示为1112122212121212( )(,;,; )( )(,;,; )( )(,;,; )nrnrmmnry tg x xx u uu ty tgx xx u uu tytgx xx u uu t (1-2)如果定义向量和矩阵如下：12( )( )( ),( )n

6、x tx ttx tx11212212121212(,;,; )(,;,; )( , , ),(,;,; )nrnrnnrf x xx u uu tfx xx u uu ttfx xx u uu tf x u12( )( )( )( )ru tu ttu tu第1章 控制系统的状态空间描述 12( )( )( ),( )my ty ttyty11212212121212( ,;,; )( ,;,; )( , , )( ,;,; )nrnrmnrg x xx u uu tgx xx u uu ttgx xx u uu tg x u则方程(1-1)和方程(1-2)变成( )( , , )( )(

7、, , )tttt xf x uyg x u (1-3)如果将方程(1-3)线性化，可得到方程： (1-4)( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )tttttttttt xAxBuyCxDu式中，A(t)，B(t)，C(t)，D(t)中元素随时间而变化，称这种系统为线性时变系统。第1章 控制系统的状态空间描述特别地，如果矩阵A(t)，B(t)，C(t)，D(t)中参数与时间无关，则称该系统为线性定常系统，此时式(1-4)可写为方程：(1-5)( )( )( )( )( )( )tttttt xAxBuyCxDu其中111212122212,nnnnnnaaaaaaa

8、aaA111212122212rrnnnrbbbbbbbbbB111212122212,nnmmmncccccccccC111212122212rrmmmrdddddddddD第1章 控制系统的状态空间描述式(1-5)中： x为n维状态向量；u为r维输入(或控制)向量；y为m维输出向量。A称系数矩阵，为nn维；B称控制矩阵，为nr维；C称输出矩阵，为mn维；D称直接传递输入矩阵，也称关联矩阵，为mr维。状态空间方程也可以用状态图来表示。状态图是与状态空间方程相对应，描述系统输入量、状态变量和输出量之间函数关系的一种结构图，便于动态系统的模拟实现。状态图由积分器、放大器和节点构成。对于式(1-5

9、)，状态图如图1-1所示。第1章 控制系统的状态空间描述图1-1 线性定常系统状态图第1章 控制系统的状态空间描述1.1.2 状态空间方程的建立状态空间方程的建立一般控制系统可分为电气、机械、机电、液压、热力等类型。建立控制系统状态空间描述的通常作法是根据具体系统结构及其研究目的，确定系统的输入和输出变量；根据实际系统的工作机理，比如牛顿定律，基尔霍夫定律等，建立系统运动方程；再选择适当的物理量为状态变量，把运动方程转换为一阶微分方程组，从而建立系统的状态空间描述。例例1-1 确定图1-2所示的RLC网络的状态空间方程。第1章 控制系统的状态空间描述图1-2 RLC电路第1章 控制系统的状态空

10、间描述解：解：此系统有两个独立储能元件，即电容C和电感L，故用二阶微分方程式描述该系统，所以应有两个状态变量。可以设uc和i作为此系统的两个状态变量，根据电工学原理，写出两个含有状态变量的一阶微分方程式：ddddccruCitiLRiuut亦即111 ccruiCRiuiuLLL第1章 控制系统的状态空间描述取状态变量x1=uc，x2=i，则该系统的状态方程为 12212111 xxCRxxxuLLL写成向量矩阵形式为112210011xxCuxxRLLL(1-6)若改选uc和作为两个状态变量，即令 , 则该系统的状态方程为cu ccuxux21,1221211 xxRxxxuLCLLC第1章

11、 控制系统的状态空间描述即 112201011xxuRxxLCLLC(1-7)比较式(1-6)和式(1-7)，显然，同一系统，状态变量选取的不同，状态方程也不同。 控制系统输出方程中输出量通常由系统任务确定或给定。如在图1-2所示系统中，指定x1=uc作为输出，用y表示，则有y=uc 或 y=x1写成矩阵形式为1210 xyx第1章 控制系统的状态空间描述例例1-2 电枢控制式电机控制系统原理如图1-3所示，其中R，L和i(t)分别为电枢电路的内阻、内感和电流，为电机轴的旋转阻尼系数，u(t)为电枢回路的控制电压，Kt为电机的力矩系数，Kb为电机的反电动势系数，J为折算到电动机轴上的转动惯量。

12、试建立电机的状态空间方程。第1章 控制系统的状态空间描述图1-3 电枢控制式电机控制系统原理图第1章 控制系统的状态空间描述解：解：根据电机原理，电机转动时，将产生反电动势eb，其大小为eb=Kb 在磁场强度不变的情况下，电动机产生的力矩T与电枢电路的电流成正比，即T=Kti(t) 根据基尔霍夫定律，电枢电路有下列关系： d( )dbiLRieu tt对于电机转轴，根据牛顿定律，有TJ第1章 控制系统的状态空间描述取电枢回路电流i(t)、转角及其电机轴角速度为系统的三个状态变量x1，x2，x3，取电机轴转角为系统输出，电枢控制电压u(t)为系统输入，于是有1132331321 btRKxxxu

13、LLLxxKxxxJJyx 或10001000 010btRKLLLKJJ xxuyx第1章 控制系统的状态空间描述这是一个三阶系统。如果我们对电机轴转角不感兴趣，在本例中我们可以取电枢电路电流i(t)及电机轴角速度为系统的两个状态变量x1，x2，取电机轴角速度为系统输出，电枢控制电压u(t)为系统输入，于是有11221221btKRxxxuLLLKxxxJjyx 第1章 控制系统的状态空间描述或1001btKRLLLKJJ xxuyx这是一个二阶系统。前面三阶系统可视为在状态变量之后又增加了一级储能作用，故有三个独立的状态变量。例例1-3 设有一倒立摆安装在马达驱动车上，如图1-4所示。控制

14、力u作用于小车上。假设倒立摆只在图1-4所在的平面内运动，摆杆的重心就是摆球的重心，试求该系统的数学模型。第1章 控制系统的状态空间描述图1-4 倒立摆系统第1章 控制系统的状态空间描述解：解：设小车和摆杆的质量分别为M和m，摆杆长为l，所以摆杆重心的水平位置为x+l sin， 垂直位置为l cos。按照物理定律，摆杆和小车的运动方程如下： 摆杆的转动方程： 22dsincosdJVlHlt式中J为摆杆的转动惯量。摆杆重心的水平运动： 22dsindmxlHt第1章 控制系统的状态空间描述摆杆重心的垂直运动： 22dcosdmlVmgt小车的水平运动： 22ddxMuHt因为我们必须保持倒立摆

15、垂直，所以可假设(t)和的量值很小，因而使得sin=0， cos=1，并且，摆杆的几个运动方程可以被线性化。线性化后的方程为( ) t200JVlHlxlHmVmg第1章 控制系统的状态空间描述由于摆杆的转动惯量很小，可看做J=0。由以上方程，可以推导出系统微分方程数学模型： 2Mm xmlumlmlxmgl从以上两式中分别消去和后得到方程 xMlMm guMxumg(1-8)若定义状态变量x1、x2、x3、x4为(1-9)1234,xxxx xx第1章 控制系统的状态空间描述则以摆杆绕点P的转动角度和小车的位置x作为系统的输出量，有： 1132xyyxyx 根据方程组(1-8)和(1-9)，

16、可以得到1221344111xxMmxgxuMlMlxxmxgxuMM 第1章 控制系统的状态空间描述或1122334411223401000100000010100010000010 xxMmgxxMlMluxxxxmgMMxyxyxx第1章 控制系统的状态空间描述1.1.3 化高阶微分方程为状态空间方程化高阶微分方程为状态空间方程 一个系统常常用微分方程描述输入输出关系。在选取合适的状态变量后，微分方程可以转换为状态空间方程。我们把微分方程分成两种情况来讨论：(1) 微分方程中不含有输入信号导数项的情况：(1-10)( )(1)(2)122100nnnnnyayaya ya ya yb u

17、画出其状态图如图1-5所示。第1章 控制系统的状态空间描述图1-5 微分方程中不含有输入信号导数项时的状态图第1章 控制系统的状态空间描述选取每个积分器的输出为状态量x1，x2，x3，xn，即有(1), , ,ny y yy (1), , ,ny y yy 112(1)1( )(1)(2)1210012112010nnnnnnnnnnnnnxyxxyxxyxyayaya ya yb uaxaxa xa xb u 写成矩阵形式，即为第1章 控制系统的状态空间描述(1-11)112211012101210100000100000101000nnnnnnnxxxxuxxxaaaaxbxxyxx第1章

18、 控制系统的状态空间描述式(1-11)中系数矩阵A的形式比较特殊，其特点是主对角线上方的元素一律为1，在最下面一行的元素可以为任意值，其余元素都为0。这种形式的矩阵称为友矩阵，在控制理论中经常遇到。例例1-4 将高阶微分方程变换为状态空间方程。解：解：由式(1-10)可知a0=6，a1=11，a2=6，b0=6，代入式(1-11)可得61166yyyyu1122331230100001061166 100 xxxxuxxxyxx 第1章 控制系统的状态空间描述(2) 微分方程中含有输入信号导数项的情况：(1-12)( )(1)(2)12210( )(1)1210nnnnnnnnnyayaya

19、ya ya yb ubub ubub u为了使系统状态方程中不出现u的导数项，状态变量可以这样选择： 1021101322012(1)(1)(2)110121nnnnnnnnxyuxxuyuuxxuyuuuxxuyuuuu第1章 控制系统的状态空间描述整理后可得到12123211nnnxxuxxuxxu画出其状态图如图1-6所示。第1章 控制系统的状态空间描述图1-6 微分方程中含有输入信号高阶导数项时的状态图第1章 控制系统的状态空间描述可求得状态空间方程为111222111012112010100001000011000nnnnnnnnnxxxxuxxxaaaaxxxyuxx(1-13)第

20、1章 控制系统的状态空间描述式中0，1，n是待定系数，可以由递推公式求出。为简便起见，写成矩阵形式：(1-14)011111231001211111nnnnnnbbabaaabaaaa例例1-5 已知高阶微分方程18192640160640yyyyuu试求系统的状态空间方程。第1章 控制系统的状态空间描述解：解：由原式可知a0=640，a1=192，a2=18，b0=640，b1=160，代入式(1-14)得0123010000181001601921810640640192181 可解得0123001602240第1章 控制系统的状态空间描述于是由公式(1-13)可写出系统状态空间方程为11

21、22331230100001160640193182240 100 xxxxuxxxyxx实际上，由于采用该方法较为繁琐，通常的做法是将微分方程转换为传递函数，再由传递函数来实现。第1章 控制系统的状态空间描述1.2 状态空间方程的线性变换状态空间方程的线性变换1.2.1 状态向量线性变换状态向量线性变换对于一个给定的定常系统，由于状态变量选取的不同，状态空间方程也就不同，但它们描述了同一个线性系统，因此在各状态空间方程所选取的状态向量之间，实际上存在着一种向量的线性变换关系。第1章 控制系统的状态空间描述1. 等价系统方程等价系统方程设给定系统为 xAxBuyCxDu(1-15)我们总可以找

22、到任意一个非奇异矩阵P，将原状态向量x作线性变换，得到另一状态向量，设变换关系为即，代入式(1-15)，得到新的状态空间方程xxxPx-1xP x(1-16)11()xPxP AxBuPAP xPBuAxBuyCxDuCP xDu由式(1-16)可知线性变换后 ，D=D。1APAPBPB1CCP第1章 控制系统的状态空间描述通常P称为变换矩阵。由于P的选择非唯一，故状态空间方程也不是唯一的。对系统进行线性变换的目的在于使系数矩阵规范化，以便于揭示系统特性及分析计算。1APAP第1章 控制系统的状态空间描述2. 线性变换的特性线性变换的特性对于线性定常系统，系统的特征值是一个重要概念，它决定了系

23、统的基本特性。通常常数与单位矩阵的乘积和系数矩阵之差的行列式称为特征多项式，即(1-17)121210AnnnnnIaaaa该特征多项式的根称为特征值。对于式(1-15)表示的线性变换前的系统，特征值为|IA|=0的根。对于式(1-16)表示的线性变换后系统的特征值为的根，而 0IA11111 IAIPAPP PPAPPIA PPIA PIA说明线性变换不改变状态方程的特征值，故有等价变换之称。第1章 控制系统的状态空间描述1.2.2 化系数矩阵化系数矩阵A为对角标准形为对角标准形定理定理1-1 对于式(1-15)所示的线性定常系统，当矩阵A特征值1，2，n互异时，每一个特征值对应一个特征向量

24、，则矩阵A共有n个独立的特征向量。即Aqi=iqi 或 (IA)qi=0 (i=1，2，n) (1-18)此时，令Q=q1 q2 qn，取变换矩阵P=Q1=q1 q2 qn1(1-19)通过变换，可以将A矩阵化为对角标准形： xPx12-1n00PAP (1-20)第1章 控制系统的状态空间描述例例1-6 已知线性定常系统211701020213xx u将此状态方程化为对角标准形。解：解：(1) 求系统特征值：2110102110021IA可解得A的特征值为1=2，2=1，3=1。第1章 控制系统的状态空间描述(2) 确定非奇异变换阵P：当1=2时，111121310110300021qqqI

25、A q2131211213101300200qqqqq q当2=1时，122222323110000022qqqIA q1222322223203012201qqqqqq当3=1时，同理可得q3=1 0 1T。第1章 控制系统的状态空间描述所以可求出线性变换矩阵P11123101111010010011011Pqqq(3) 求线性变换后的状态方程：1111211101200010010010010011021011001PAP111720102201135 BPB第1章 控制系统的状态空间描述所以对角标准形状态方程为200201020015 xxu定理定理1-2 对线性定常系统，如果其特征值1

26、，2，n互异，且系数A矩阵是友矩阵，即0121010000100001naaaaA(1-21)第1章 控制系统的状态空间描述则将矩阵A可化为对角标准形。这时由n个独立的特征向量构成的矩阵Q为一个范德蒙矩阵，其形式为(1-22)122221211112111nnnnnn Q这时对应的线性变换矩阵P=Q1。例例1-7 已知线性定常系统0109001721215 xxu第1章 控制系统的状态空间描述将此状态方程化为对角线标准形。解：解：(1) 求系统特征值：10012110212IA可解得A的特征值为1=2，2=1，3=1。(2) 确定非奇异变换阵P： 由于系统特征值互异，且系数矩阵为友矩阵，故可由

27、定理1-2求出非奇异变换阵P为1111232221231103311111111211122411111326PQ第1章 控制系统的状态空间描述(3) 求线性变换后的状态方程1123002000001000001PAP11033921117522152111326 BPB所以对角标准形状态方程为200201050012 xxu第1章 控制系统的状态空间描述定理定理1-3 对于式(1-15)所示的线性定常系统，当矩阵A具有重特征值，但A独立的特征向量的个数仍然为n个时，这时可以通过变换，将矩阵A化为对角标准形。例例1-8 已知矩阵，试化A为对角标准形.解：解：(1) 求系统特征值：xPx1010

28、10002A 2101010120002IA可解得A的特征值为1=2=1，3=2，有重根。第1章 控制系统的状态空间描述(2) 确定非奇异变换阵P:当1，2=1时，111121310010000001qqqIA q可得q31=0，q11和q21可取任意值。令q11=1，q21=0及q11=0，q21=1，可得到两组线性无关解，故对应1，2=1有两个独立的特征向量： 12100 ,100 qq第1章 控制系统的状态空间描述当3=2时，133323331010100000qqqIA q132333101qqq由于系统有3个独立特征向量，故原系统状态空间方程可化为对角标准形。对应线性变换阵P可求出为

29、11123101101010010001001Pqqq第1章 控制系统的状态空间描述(3) 化对角标准形： 1101101101100010010010010001002001002 PAP第1章 控制系统的状态空间描述1.2.3 化系数矩阵化系数矩阵A为约当标准形为约当标准形定理定理1-4 当矩阵A具有m个重特征值，且对应于每个互异的特征值，只存在一个独立的特征向量时，则必存在一个非奇异矩阵P，将矩阵A化为约当标准形： (1-23)12100mn nJJJPAPJ约当标准形J是由约当块Ji组成的准对角线矩阵。约当块Ji形式为11iJ00iii第1章 控制系统的状态空间描述由定理1-4可知，对

30、角阵是一种特殊形式的约当矩阵。为了将一般形式的矩阵A化成式(1-23)形式的约当矩阵，必须确定变换矩阵P。其求法如下： 假设系统有n个重特征值，设为1，对应特征向量为q1，q2，qn。由特征向量的定义，得到 11121211100nnA qqqqqq将上式展开，可得到第1章 控制系统的状态空间描述1 111122213311nnnqAqqqAqqqAqqqAq可改写为11121132110 nnIA qIA qqIA qqIA qq(1-24)第1章 控制系统的状态空间描述利用方程组(1-24)可以求出n重特征值对应的特征向量。其中q2，q3，qn称为对应于1的广义特征向量。此时变换矩阵为(1

31、-25)1112nPQqqq此法可推广到多个重特征值的情况。如果nn矩阵A有m重特征值1，(nm)个互异特征值m+1，n1，n。为确定线性变换矩阵，可以按上述方法求出对应于1的m个特征向量q1，q2，qm。按前面求对角标准形的方法求出其余对应于m+1, , n1，n的(nm)个特征向量qm+1，qn1，qn。故对应线性变换矩阵为(1-26)1111mmnPQqqqq第1章 控制系统的状态空间描述例例1-9 已知矩阵，试化A为约当标准形。解：解： (1) 求系统特征值：065102324A 26512120324 IA可解得A的特征值为1=2=1，3=2。(2) 确定非奇异变换阵P：当1，2=1

32、时，111121311651120323qqq IA q112131735qqq 第1章 控制系统的状态空间描述再将q1代入IAq2=q1，有122232165711233235qqq 1222320.60.42qqq 当3=2时，133323332651220322qqq IA q132333212qqq 所以有111213121222331323370.6230.41 ,522qqqqqqqqq P1.22.80.21414111P第1章 控制系统的状态空间描述(3) 化约当标准形：11.22.80.206570.6211014110230.410104111324522002JPAP定理

33、定理1-5 如果nn矩阵A有n重特征值1，且为友矩阵，则将系统状态方程化为约当标准形的非奇异矩阵P=Q1，矩阵Q的形式为(1-27)121132111(1)(2)12311121000100210330(1)1nnnnnnQ第1章 控制系统的状态空间描述 如果A为友矩阵，且有m重特征值1，(nm)个互异特征值m+1，n1，n，则将系统状态方程化为约当标准形的非奇异矩阵P=Q1，矩阵Q的形式为1122211133321111(1)(2)(1)11(1)(2)12311(1)!1112011100010021033(1)mnmnmnnnn mn mnnnnnnnmnmnQ(1-28)第1章 控制系

34、统的状态空间描述例例1-10 已知矩阵，试化A为约当标准形。解：解：(1) 求系统特征值：010001133A310110133 IA可解得A的特征值为1=2=3=1。(2) 确定非奇异变换阵P： 系统有三重特征值，且系数矩阵为友矩阵，按照式(1-28)可求出变换阵： 第1章 控制系统的状态空间描述111112312111001001001011011021121121PQqqq (3) 化约当标准形：1100010100110110001110011121133121001JPAP第1章 控制系统的状态空间描述1.3 传递函数矩阵传递函数矩阵线性定常系统初始松弛(初始条件为零)时，输出量的拉

35、普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比称为传递函数。系统的状态空间方程和传递函数是对同一系统的不同数学描述，因此可以相互转换。第1章 控制系统的状态空间描述1.3.1 由状态空间方程转换成传递函数矩阵由状态空间方程转换成传递函数矩阵设系统状态空间方程为 xAxBuyCxDu对上式进行拉普拉斯变换，得( )(0)( )( )XxAXBUssss化简后为( )( )(0)I XBUxsss令初始条件为零，即x(0)=0，有11( )()( )( ) () ( )ssssssXIABUYCIABD U第1章 控制系统的状态空间描述则系统传递函数矩阵表达式为1( )()ssyuGCIABD (1-29)

36、若系统是单输入单输出系统，则Gyu(s)的形式和古典控制理论中的传递函数一样。例例1-11 系统状态空间方程为0106511 1xxuyx 求系统的传递函数。第1章 控制系统的状态空间描述解：解：利用式(1-29)可求出系统的传递函数，可先求出(sIA)1。1125116adj()()65det()56sssssssssIAIAIA其中，adj(sIA)表示(sIA)的伴随阵；det (sIA)表示(sIA)的行列式。代入式(1-29)， 可得12251061( )()1 115656sssssssss yuGCIAb第1章 控制系统的状态空间描述若系统为r个输入m个输出的系统，Gyu(s)是

37、一个mr矩阵，则系统输出向量对输入向量的传递函数矩阵为(1-30)111212122212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )rryummmrgsgsgsgsgsgsGsgsgsgs其中各元素gij(s)都是标量函数，它表征第j个输入对第i个输出的传递关系。当ij时，意味着不同标号的输入与输出又相互关联，称为耦合关系，这正是多变量系统的特点。第1章 控制系统的状态空间描述例例1-12 试将下列系统状态方程变换为传递函数。010000431011201100001xxuyx解：解：111000100( )()0431000111201sssssyuGCIAB2326112

38、33230041410010001611301ssss sssss ssss第1章 控制系统的状态空间描述3232323223611361131461136113sssssssss sssssss第1章 控制系统的状态空间描述1.3.2 子系统串并联与闭环系统传递函数矩阵子系统串并联与闭环系统传递函数矩阵工程中较为复杂的系统，通常是由多个子系统按照某种方式组合而成的。通常组合的形式有并联、串联和反馈三种，以下仅以两个子系统组合连接为例，推导其等效的传递函数矩阵。第1章 控制系统的状态空间描述1. 子系统串联子系统串联子系统G1(s)和G2(s)串联连接如图1-7所示，前一个子系统的输出是后一个

39、子系统的输入。串联后系统的传递函数阵可推导如下： 111( )( )( )sssYGU22221211( )( )( )( )( )( )( )( )ssssssssYGUGYGGU所以串联后等效传递函数为2211( )( )( )( )( )sssssyuYGGGU(1-31)第1章 控制系统的状态空间描述可见，两个子系统串联时，系统等效的传递函数阵等于两个子系统传递函数阵的乘积。注意G2(s)G1(s)的相乘次序是不能随意改变的，应从输出端依次向前排列。图1-7 子系统串联第1章 控制系统的状态空间描述2. 子系统并联子系统并联子系统G1(s)和G2(s)并联连接如图1-8所示。所谓并联连

40、接，是指各子系统的输入皆相同，输出是各子系统输出的代数和，且各输出的维数都一致。图1-8 子系统并联第1章 控制系统的状态空间描述由图1-8可知：111( )( )( )sssYGU222( )( )( )sssYGU121212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )YYYGUGUGGUssssssssss所以并联后等效传递函数为12( )( )( )( )( )sssssyuYGGGU(1-32) 可见，两个子系统并联时，系统等效的传递函数阵等于两个并联子系统传递函数阵之和。按矩阵加法，显然应要求传递函数阵G1(s)和G2(s)有完全相同的维数。第1章 控制系统的状态空

41、间描述3. 具有输出反馈的闭环系统具有输出反馈的闭环系统子系统G0(s)和H(s)构成的反馈连接如图1-9所示。图1-9 子系统反馈第1章 控制系统的状态空间描述下面推导闭环系统等效传递函数阵Gyu(s)。00( )( )( )( )( )( )( ) ( )ssssssssYGUFGUHY (1-33)整理得00( )( )( )( )( )sssssIGHYGU故100( )( )( )( )( )sssssYIGHGU所以并联后等效传递函数为100( )( )( )( )ssssyuGIGHG (1-34)另外，由式(1-33)还可以作如下不同的整理，即100( )( )( )( )(

42、)sssssGIGHYU第1章 控制系统的状态空间描述即100( )( )( )( )( )sssssYGIHGU所以并联后等效传递函数也可以写为100( )( )( )( )ssssyuGGIHG(1-35)应该强调，在反馈连接的组合系统中，I+G0(s)H(s)1或I+H(s)G0(s)1存在的条件是至关重要的。否则反馈系统对于某些输入就没有一个满足式(1-34)或式(1-35)的输出。就这个意义来说，反馈连接就变得无意义了。另外在使用式(1-34)或式(1-35)求传递函数时，切不可将矩阵相乘顺序任意颠倒。第1章 控制系统的状态空间描述例例1-13 已知系统结构如图1-10所示，求该组合

43、系统结构图。图1-10 系统结构图第1章 控制系统的状态空间描述解：解：该系统可看做两个子系统反馈连接。由图可知，011( ),1211sssss G10( )01sH由式(1-34)可得100( )( )( )( )ssssyuGIGHG1110111121111sssssss 111sss 第1章 控制系统的状态空间描述或者由式(1-35)可得1100111011( )( )( )( )121111111ssssssssssssss yuGGIHG第1章 控制系统的状态空间描述1.4 离散系统的数学描述离散系统的数学描述以上各节讨论的系统均为连续系统，实际生产生活中还存在另一种变量定义在离

44、散时间上的系统，即离散系统。一般的计算机控制系统或采样控制系统多属离散控制系统。本节讨论线性定常离散系统的状态空间方程和脉冲传递函数矩阵。第1章 控制系统的状态空间描述1.4.1 离散系统状态空间方程离散系统状态空间方程为了方便起见，假定离散时间是等间隔的，采样周期为T。用u(k)代表u(kT)，y(k)代表y(kT)，k=0，1，2，分别表示系统的输入序列和输出序列。线性定常离散系统动态方程一般形式为(1-36) 1kkkkkkxGxBuyCxDu离散系统一般用差分方程表示其输入输出信号的关系，下面分两种情况讨论由差分方程建立状态空间方程的方法。第1章 控制系统的状态空间描述1. 差分方程中

45、不含输入量差分项差分方程中不含输入量差分项12100()(1)(2)(1)( )( )ny knay kna y ka y ka y kb u k(1-37)依次选取y(k)，y(k+1)，y(k+2)，y(k+n1)为状态变量，采用和1.1.3节线性连续系统相同的分析方法，可得到系统的状态方程为(1-38) 1122110121012110100010010010001011000nnnnnnnx kx kxkxku kxkxkxkaaaaxkbx kxky kxkxk第1章 控制系统的状态空间描述例例1-14 将高阶微分方程 (3)6 (2) 11 (1)6 ( )6 ( )y ky ky

46、 ky ku k变换为状态空间方程。解：解： a0=6，a1=11，a2=6，b0=6，由式(1-38)可得112233123(1)010( )0(1)001( )0( )(1)6116( )6( )100( )( )x kx kx kx ku kx kx kx kyx kx k 第1章 控制系统的状态空间描述2. 差分方程中含有输入信号的差分项差分方程中含有输入信号的差分项12101210()(1)(2)(1)( )()(1)(2)(1)( )nnny knay kna y ka y ka y kb u knbu knb u kbu kb u k(1-39)同样采用和1.1.3节线性系统相同

47、的分析方法，可得到系统的状态方程为(1-40)1112221110121121(1)0100( )(1)0010( )( )(1)0001( )(1)( )( )( )( )1000( )nnnnnnnnnx kx kx kx ku kxkxkx kaaaax kx kx ky kxkx0( )( ) u kk第1章 控制系统的状态空间描述式中0，1，n同样可由式(1-14)求取。例例1-15 已知高阶微分方程(3)4 (2)3 (1)( )(3)2 (2)(1)3 ( )y ky ky ky ku ku ku ku k试求系统的状态空间方程。解：解：由原式可知a0=1，a1=3，a2=4，b

48、0=3，b1=1，b2=2，b3=1，代入式(1-14)得012311000241001341031341 第1章 控制系统的状态空间描述可解得012312616于是由公式(1-40)可得系统状态空间方程为112233123(1)010( )2(1)001( )6( )(1)134( )16( )( )100( )( )( )x kx kx kx ku kx kx kx ky kx ku kx k第1章 控制系统的状态空间描述1.4.2 脉冲传递函数矩阵脉冲传递函数矩阵对于描述线性定常离散系统的差分方程，通过 Z 变换，在系统初始松弛时，可求出系统的脉冲传递函数。而当给出系统状态空间方程时，通

49、过Z变换也可以得到脉冲传递函数矩阵。将方程(1-36)进行Z变换得 0( )zzzzzXxGXHU如果zIG1存在，则可求出状态解 11( )0zzzzzXIGHUIGx(1-41)当初始松弛时，有x(0)=0，代入式(1-41)有 1( )zzzXIGHU第1章 控制系统的状态空间描述系统输出为 11( )( )( )( ) ( )zzzzzzzzYCXDUCIGHUDUCIGHD U定义系统输出量对输入向量的mr型脉冲传递函数矩阵为1( ) zzyuGCIGHD(1-42)例例1-16 已知线性定常离散系统方程为112212(1)( )010( )(1)( )0.40.31( )11( )

50、( )( )01 x kx ku kx kx kx ky ku kx k第1章 控制系统的状态空间描述求其脉冲传递函数矩阵。 解：解：由式(1-42)可知111110( )010.40.31zzzz yuGCIGH0.310.80.50.80.5110010.410.80.50.80.5zzzzzzzzzz 10.80.50.80.5zzzzzz第1章 控制系统的状态空间描述1.5 用用MATLAB进行数学建模和模型转换进行数学建模和模型转换MATLAB是美国MathWorks Inc.开发的一个用于科学和工程计算的大型综合软件，具有强大的数值计算和工程运算功能，完美的图形可视化数据处理能力，

51、标准的开放式可扩充结构，极多的工具箱。目前在工程和非工程领域的科研、教学和开发中已得到广泛的应用。对控制领域，MATLAB是应用最广的首选计算机工具。在本节中，将介绍在自动控制系统设计和分析中所用到的MATLAB的一些基础知识。第1章 控制系统的状态空间描述1.5.1 MATLAB简介简介1. 使用使用MATLAB的窗口环境的窗口环境MATLAB是一个高度集成的语言环境，在它的窗口环境中可以编写、运行并跟踪调试程序。基本界面如图1-11所示。第1章 控制系统的状态空间描述图1-11 MATLAB的窗口环境第1章 控制系统的状态空间描述1) MATLAB命令窗口MATLAB安装好之后，双击MAT

52、LAB图标，就可以进入命令窗口，此时意味着系统处于准备接受命令的状态，可以在命令窗口中直接输入命令语句。MATLAB的命令窗口是工作的主要窗口。MATLAB的菜单命令由File、Edit、View、Window、Help这几组命令组成。通过菜单命令可以完成保存工作空间中变量，打开M文件编辑/调试器等操作。工具栏是MATLAB为用户提供的常用命令的快捷方式。当前路径是MATLAB搜索命令和函数的路径，可以通过当前路径浏览器来重新设置或改变当前路径。第1章 控制系统的状态空间描述2) MATLAB命令、函数和文件MATLAB的程序类型包括脚本文件和函数(function)文件，它们都是以“.m”为

53、扩展名的文本文件。脚本文件是一些MATLAB的命令和函数的组合，类似DOS下的批处理文件。函数文件是有输入输出参数的M文件。函数接受输入参数，然后执行并输出结果。用help命令可以显示它的注释说明。文件名必须与函数名一致。第1章 控制系统的状态空间描述在MATLAB窗口中创建M文件，可以从File菜单中选择New及Mfile项。这个过程打开一个文本编辑窗口用于输入MATLAB命令。在其它平台上也很容易打开一个独立的终端窗口，选用用户最熟悉的文本编辑器来生成M文件。M文件中的命令可访问MATLAB工作空间中的所有变量，且M文件中的变量也成为工作空间的一部分。M文件执行时，echo on 告诉MA

54、TLAB在其读入和运行时将命令显示在窗口上，echo off 关闭前述功能。第1章 控制系统的状态空间描述3) MATLAB使用帮助MATLAB的命令和函数很多，容易遗忘。这时可以用help或lookfor加函数名的方式获取帮助，也可以打开帮助窗口求助，另外还可以打开示例窗口学习。第1章 控制系统的状态空间描述2. MATLAB基本数学运算基本数学运算1) MATLAB的变量、表达式和运算符MATLAB的变量不需要在使用前声明，并且会自动给变量分配适当的内存。MATLAB的变量必须用字母开头，由字母、数字和下划线组成(字母区分大小写)。MATLAB的表达式由运算符、变量、函数和数字组成。格式形

55、式有两种： 一种是在提示符后直接输入表达式，运算后的结果系统会自动地赋给变量ans，并显示在屏幕上。ans是默认的变量名，会在以后类似的操作中被覆盖掉；另一种格式是变量表达式，等号右侧计算后结果赋给等号左侧的变量后放入内存中并显示在屏幕上。第1章 控制系统的状态空间描述在运算式中，MATLAB通常不需要考虑空格；多条命令可以放在一行中，它们之间需要用分号隔开。在表达式的末尾加上分号则表示禁止结果显示。表达式在MATLAB中占了很重要的地位，几乎所有操作都必须借助表达式来进行。MATLAB的运算符有三种类型： 算术运算符、关系运算符、逻辑运算符。它们的处理顺序依次为算术运算符、关系运算符、逻辑运

56、算符。主要的算术运算符有： (加法)、(减法)、(幂)、*(乘)、/(左除)、(右除)等；关系运算符有： (大于)、=(大于等于)、=(等于)、= (不等于)等；逻辑运算符有： &(与)、 |(或)、(非)。第1章 控制系统的状态空间描述2) 矩阵的输入MATLAB以矩阵为基本运算单元。矩阵输入时，整个矩阵以方括号 作为首尾，行和行之间必须以分号或Enter键分隔，每行中元素用逗号或空格分隔。例例1-17 输入矩阵B = 1 2 3 4；5 6 7 8；9 10 11 12回车后得到： B= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 121234567891011 12B第1章

57、控制系统的状态空间描述1.5.2 控制系统的数学描述控制系统的数学描述1. 连续系统的传递函数描述连续系统的传递函数描述 连续系统的传递函数有两种表示形式，即有理函数形式和零极点形式。1) 有理函数形式的传递函数模型表示式中s的系数均为常数，且a0不等于零，这时系统在MATLAB中可以方便地由分子和分母系数构成的两个向量唯一地确定出来，这两个向量分别用num和den表示，当然也可以用其它变量表示。nnnnmmmmasasasabsbsbsbsG11101110)(第1章 控制系统的状态空间描述num=b0，b1，b2，bm1，bmden=a0，a1，a2，an1，an注意： 它们都是按s的降幂

58、进行排列的。由函数tf(num，den)可输入并显示系统的传递函数模型。例例1-18 试用MATLAB输入系统传递函数32412)(232ssssssGnum=2 1 1；den=4 2 1 3； %输入传递函数模型tf(num，den) 构造出有理函数形式的传递对象用来检验输入是否正确输出结果为 Transfer function: 2 s2 + s + 1 - 4 s3 + 2 s2 + s + 3第1章 控制系统的状态空间描述2) 零极点形式的传递函数模型表示可以采用下面的语句输入： z=z1，z2，zmp=p1，p2，pnk=K 变量z、p、k分别是系统的零点、极点和增益向量。由函数z

59、pk(z，p，k)可输入并显示出零极点形式的传递函数。)()()()()(2121nmpspspszszszsKsG第1章 控制系统的状态空间描述例例1-19 试用MATLAB输入系统传递函数)4)(3)(2() 1( 5)(sssssGp=2 3 4；k=5；z=-1； 输入传递函数模型zpk(z，p，k) 用zpk( )函数可构造出零极点形式的 %传递函数用来检验输入是否正确输出结果为Zero/pole/gain: 5 (s+1) - (s+2) (s+3) (s+4)第1章 控制系统的状态空间描述3) 多变量系统的传递函数矩阵多变量系统，只需要先输入矩阵的各个子传递函数矩阵，再按照常规矩

60、阵的方式输入整个传递函数矩阵。例例1-20 试用MATLAB输入一个多变量传递函数矩阵2222143232( )1253232ssssG sssssss g11=tf(1，1 -3 2)； %输入传递函数阵各个元素g12=tf(4，1 -3 2)；g21=tf(1 1，1 -3 2)；g22=tf(2 -5，1 -3 2)；G=g11，g12；g21 g22； %由各个元素构成传递函数阵第1章 控制系统的状态空间描述2. 状态空间描述状态空间描述对状态方程xAxBuyCxDu在MATLAB中，用(A，B，C，D)矩阵组表示。由函数ss()可输入并显示出系统状态空间方程。例例1-21 试用MATLAB输