二项分布数学期望与方差专题复习有详解重点中学用

1、第十讲二项分布及应用随机变量的均值与方差知识要点1 .事件的相互独立性(概率的乘法公式)设A B为两个事件，如果 RAB = RA)RB),则称事件 A与事件B相互独立.2 .互斥事件概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A+ B) = RA) + P(B).3 .对立事件的概率：若事件 A与事件B互为对立事件，则 RA)=1RB).4 .条件概率的加法公式：若 R C是两个互斥事件，则 R BU C A) = P(B| A) + R C| A)5 .独立重复试验：在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，即若用 A(i=1,2,，n)表示第i次试验结果，则 RAAA-A) =

2、 P(Ai)RA)P(A)-P(A).注：判断某事件发生是否是独立重复试验，关键有两点(1)在同样的条件下重复，相互独立进行；(2)试验结果要么发生，要么不发生.6 .二项分布：在 n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为 X,在每次试3中事件 A发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中， 事件A恰好发生k次的概率为 RX= k) =dpk (1p)nk(k= 0,1,2 ,，n), 此时称随机变量 X服从二项分布，记作 XB(n, p),并称p为成功概率.注：判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点(1)是否为n次独立重复试验.(2)随机变量是否为在这 n次独立重复试验中某事件发生的次数.

3、7 .离散型随机变量的均值与方差及其性质定义：若离散型随机变量 X的分布列为 RE=Xi)=pi, i =1,2 ,，n.(1)均值：称E(X) =Xp + X2P2+ Xipi + Xnpn为随机变量 X的均值或数学期望. n(2)方差：D(X)=E ( Xi日X) 2pi为随机变量X的方差，其算术平方根.D X为随机变量X的标准差.i =12(3)均值与万差的性质：(1) E(aX+ b)=aRX)+b； (2) D(aX+ b)=aD(X). (a, b 为常数)8.两点分布与二项分布的均值、方差变量 X 服从两点分布：E(X)=p,QX) = p(1p);X B(n,p):E(X)=n

4、p , QK =np(1 p)典例精析例1.12015高考四川，理17】某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐3名男生，2名女生，B中学推荐了 3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加 集训的男生中随机抽取 3人，女生中随机抽取 3人组成代表队(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率.(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取 4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求 X得分布列和数学期望.例2.如图，用K A A三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工作且 A、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知 K A、A2正常工作的概率依次

5、为、，则系统正常工作的概率为 ()A.B . C . D例3. (2013 山东高考)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除一 一，一1,，一12 ，.第五局甲队获胜的概率是 J外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是个假设各局比赛结果相互独立.23(1)分别求甲队以3 ： 0,3 ： 1,3 : 2胜利的概率.(2)若比赛结果为3 ： 0或3 ： 1,则胜利方得3分，对方得。分；若比赛结果为3 : 2,则胜利方得2分，对方得1分.求乙队得分 X的分布列及数学期望.例4.为贯彻“激情工作， 快乐生活”的理念， 某单位在工作之余举行趣味知识有奖竞赛，比赛分初赛和决赛两

6、部分，为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选答题的机会，选手累计答对 3题或答错3题即终止其初赛白比赛，答对3题者直接进入决赛，答错 3题者则被,. _,2淘汰，已知选手甲答题的正确率为-.3(1)求选手甲答题次数不超过 4次可进入决赛的概率；(2)设选手甲在初赛 中答题的个数 己，试写出己的分布列，并求 己的数学期望.例5. (2014 福建高考改编)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定:每位顾客从一个装有4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额（1） 若袋中所装的 4

7、个球中有 1 个所标的面值为 50元，其余 3 个均为 10 元求：顾客所获的奖励额为60元的概率；顾客所获的奖励额的分布列及数学期望.（2） 商场对奖励总额的预算是60 000 元， 为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡下面给出两种方案：方案1 ：4 个球中所标面值分别为10 元，10 元，50 元，50 元；方案2 ：4 个球中所标面值分别为20 元，20 元，40 元，40 元如果你作为商场经理，更倾向选择哪种方案例 6 （13 分）如图所示，是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨 ）的频率分布直方图（1） 求直方图中 x 的值；（2）

8、 若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3 位居民 （ 看作有放回的抽样） ，求月均用水量在3 至 4 吨的居民数 X 的分布列、数学期望与方差例 7 （12 分）某网站用“ 10 分制”调查一社区人们的幸福度现从调查人群中随机抽取16 名，以下茎叶图记录了他们的幸福度分数（ 以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶） ：（1） 指出这组数据的众数和中位数；（2） 若幸福度不低于 9 ，则称该人的幸福度为“极幸福”求从这16 人中随机选取3 人，至多有1 人是“极幸福”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记己表示抽到“极幸福”的人数

9、，求 E的分布列及数学期望.例 8. 【 2015 高考湖南，理18】某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有 4个红球、 6 个白球的甲箱和装有5 个红球、 5 个白球的乙箱中，各随机摸出 1 个球，在摸出的 2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1 个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（ 1）求顾客抽奖1 次能获奖的概率；（ 2） 若某顾客有3 次抽奖机会， 记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 X ， 求 X 的分布列和数学期望.例9. （2016河北张家口市 三模21）（本小题满分12分）设函数f x =exx ax2.（1）若01= 0,求

10、f x的单调区间；（阴若当乂 0时，f x 0,求a的取值范围.参考答案例1.12015高考四川，理17】某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐3名男生，2名女生,B 中学推荐了 3 名男生， 4 名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3 人，女生中随机抽取3 人组成代表队(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率.(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求 X得分布列和数学期望.【答案】(1) A中学至少1名学生入选的概率为 p99100(2) X的分布列为:X的期望为E(X) 2.【解析

11、】(1)由题意，参加集训的男女生各有 6名.参赛学生全从B中抽取(等价于 A中没有学生入选代表队)的概率为c；c31C；C； 100一 ， 一、，1因此，A中学至少1名学生入选的概率为110099100(2)根据题意，X的可能取值为1, 2, 3.C；C； 1P(X 1)中 口 P(XC65所以X的分布列为：2)C32C2C64P(X 3)c；c31CT 5因此，X的期望为E(X)2.例2.如图1081,用K、A、A三类不同的元件连接成一个系统.当 K正常工作且A、A至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知 K、A、从正常工作的概率依次为、，则系统正常工作的概率为(B )A.B . C . D

12、【答案】B A1、A2至少有一个正常工作的概率为 P 1 (1 0.8)2 0.96 ,则系统正常工作的概率为PK P 0.9 0.96 0.864例3. (2013 山东高考)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛，一 一 一 ，一，-1，人一，一 ，一，一，2， 一随即结束.除第五局甲队获胜的概率是 1外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是 2,假设各局23比赛结果相互独立.(1)分别求甲队以3 ： 0,3 ： 1,3 : 2胜利的概率.(2)若比赛结果为3 ： 0或3 ： 1,则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3 : 2, 则胜利方得2分，对方得1分.求乙队得分X

13、的分布列及数学期望.【尝试解答】(1)记“甲队以3 : 0胜利”为事件A, “甲队以3 ： 1胜利”为事件A ”甲队以3 ： 2胜利”为事件A 由题意，各局比赛结果相互独立，2 382 2 22282 2 22 214故P(A)=3 =27, P(A2)=C33 13X3=27, P(A) = C43 1-3 X2=27所以甲队以3 ： 0胜利，以3 ： 1胜利的概率都为27,以3 ： 2胜利的概率为27.(2)设“乙队以3： 2胜利”为事件A,由题意，各局比赛结果相互独立，所以 p(A)=d 1_| 2 3 2x 1 2 =±. 3 322 7由题意，随机变量X的所有可能的取值为0

14、,1,2,3 , 根据事件的互斥性得”164P(X= 0) =P( A1 + A2) = P( A) +P( A)= 27.又P(X= 1) = P(A)= 27, P(X= 2) = P( A)=427，P(X= 3) = 1-P(X= 0) P(X= 1)-P(X= 2)=27，故X的分布列为X0123P1627427427327，16443 7所以 EX= 0X 27+1X27+ 2X27+ 3X 27= 9.例4.为贯彻“激情工作，快乐生活”的理念，某单位在工作之余举行趣味知识有奖竞赛，比 赛分初赛和决赛两部分，为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5

15、次选答题的机会，选手累计答对 3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰，已知选手甲答题的正确率为 2 3(1)求选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率；(2)设选手甲在初赛 中答题的个数己，试写出己的分布列，并求 己的数学期望.【尝试解答】(1)选手甲答3道题进入决赛的概率为2 3=*,32 7选手甲答4道题进入决赛的概率为C3 - 2 2 1 2=胃，33 3 2/选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率8 _8 16=27+27 = 27； 依题意，七的可取取值为3、4、5,则有P(己=3)= 2 3+ 1 3= 1,333o 2 212.1 2 21

16、10O 2P(E=4)=d. 3 ' 3 ' 3+C3 ' 33'3=57 已b=5)=- 321 218二一一3327'因此，有345P110832727810727=-27.L110.EE =3X - + 4X +5X32 7规律方法2求离散型随机变量的均值与方差的方法：(1)先求随机变量的分布列，然 后利用均值与方差的定义求解.(2)若随机变量XB(n, p),则可直接使用公式E(X)=np,D(X) =np(1 p)求解.例5. (2014 福建高考改编)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1 000位顾客进 行奖励，规定：每位顾客从一个装

17、有 4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2个球，球 上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额. 若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元.求：顾客所获的奖励额为60元的概率；顾客所获的奖励额的分布列及数学期望.商场对奖励总额的预算是60 000元，为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预 算且每位顾客所获的奖励额相对均衡.下面给出两种方案：方案1: 4个球中所标面值分别为10元，10元，50元，50元;方案2: 4个球中所标面值分别为20元，20元，40元，40元.如果你作为商场经理，更倾向选择哪种方案【解答】(1)设顾客所获的奖励额为X.一、一Cc3 1 .1依题意，

18、得P(X= 60)=4=2，即顾客所犹的奖励额为60兀的概率为. .一 一 ,一C3 11 依题意，得X的所有可能取值为20,( X= 20)=d=2，P(X= 60)=2,即X的分布列为X2060P121280 60 2 4006=T.方差口 %)=40 660+ |x (60-60)2 +63根据预算，每个顾客的平均奖励额为 60元，且E(Xi)=E(%)=60, D(Xi)>D(X).因此，根据商场的设想，应选择方案 2.例6.如图109 4所示，是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量 (单位：吨)的频 率分布直方图.图 10 9 4(1)求直方图中x的值；(2)若将频率视为概

19、率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列、数学期望与方差.【解】(1)依题意及频率分布直方图知，0. 02+ + x+ + =1,解得x=.(2)由题意知，XB(3,.因此 P(X= 0)=C0x = ,P(X= 1) = c3x x = , P(X= 2) =C2X x =,P( X= 3) = C3 X =.故随机变量X的分布列为PX的数学期望为E(X)=3X = .X的方差为 D(X)=3XX(1 -=.例7.某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度. 现从调查人群中随机抽取16名，以下 茎叶图1093记录了他们的幸福度分数(以小数点

20、前的一位数字为茎，小数点后的一位数 字为叶)：图 10 93(1)指出这组数据的众数和中位数；(2)若幸福度不低于9,则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这 16人中随机选取3 人，至多有1人是“极幸福”的概率；(3)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区 (人数很多)任选3 人，记己表示抽到“极幸福”的人数，求 己的分布列及数学期望.【解】(1)众数：8,6;中位数：(2)由茎叶图可知，幸福度为“极幸福”的人有 4人.设A表示所取3人中有i个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A,皿a c4c22 121则6为=式外)+已人)=应+怎=砺,I , 一 一 41一，、

21、(3)从16人的样本数据中任意选取1人，抽到“极幸福”的人的概率为 -,故依1题意可知，从工社区中任选1人，抽到极幸布 的人的概率 P=- 4工的可能取值为0,1,2,3c3 3 27 c11 3 2 27P(E=0)=I = ; P(E=1)=G： = 7T''4644 464o 1 2391 31P( "2)=C3 4 4=64； p( 2 =3)= 4 =64所以己的分布列为0123p27279164646464272791eix 才 1x64+2x64+3><64=一1 一,1另解由题可知 上B3,彳，所以E± =3X 4=.例8.120

22、15高考湖南，理18】某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖 都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有 5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出 1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有 1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为 X ,求X的分布列和数学期望.【答案】（1）二；（2）详见解析.10【解析】试题分析：（1）记事件A 从甲箱中摸出的1个球是红球, A2 从乙箱中摸出的1个球是红球B1 顾客抽奖1次获一等奖, B2 顾客抽奖1次获二等奖, C 顾

23、客抽奖1次能获奖,则可知A与A2相互独立，AA2与AA2互斥，B1与B2互斥，且B AA, B2 AA A1A2, C B B2,再利用概率1的加法公式即可求解；（2 ）分析题意可知X : B（3,-）,分 512125'0 1 0 4 3641 1 1 4 248P(X 0)C0(-)0(-)3 诟，p(X 1) C3(-)1(-)2 赤，P(X5 51255 51253 1 3 4 0P(X 3) Cis)3)01一，即可知125X的概率分布及其期望试题解析：（1）记事件A1 从甲箱中摸出的1个球是红球, A2从乙箱中摸出的1个球是红球B1 顾客抽奖1次获一等奖, B2顾客抽奖1次

24、获二等奖, C 顾客抽奖1次能获奖,由题意,A1与A2相互独立,AA2 与 A1A2 互斥，B1 与 B2 互斥，且 B1 A1A2 , B2 MA1A2 , CB1B2 ,1.a04251211P(A)而5P(A2)W2-E Pi) 535'p(B2) P(AA2 A14)2121(1) (1)5252P(A14) P(AA2) P(A)(1 P(A2) (1 P(A)P(A2)1-1 17一,故所求概率为 P(C) P(4 B2) P(BJ P(Bz)；25 2 10顾【考点定位】1.概率的加法公式；2.离散型随机变量的概率分布与期望【名师点睛】本题主要考查了离散型随机变量的概率分

25、布与期望以及概率统计在生活中的实际应用，这一 直都是高考命题的热点，试题的背景由传统的摸球，骰子问题向现实生活中的热点问题转化，并且与统计 的联系越来越密切，与统计中的抽样，频率分布直方图等基础知识综合的试题逐渐增多，在复习时应予以关注.例9.【2015高考四JI,理21已知函数f(x) 2(x a)ln x x2 2ax 2a2 a,其中a 0.(1)设g(x)是f (x)的导函数，评论 g(x)的单调性;(2)证明：存在a (0,1),使得f(x) 0在区间(1,+ )内恒成立，且f (x)0在(1,+)内有唯一解.【答案】(1)当1 , 一、 11 4aa 4 时g(x)在区间(0,),(11 4a)上单调递增,在区间11 4a24a)上单调递减；当a * 1时，g(x)在区间(0, 24)上单调递增.(2)详见解析.(1)由已知，函数f(x)的定义域为(0,),g(x)(x) 2x 2a 2ln x 2(1 a),所以 xg(x) 22a2x1 212(x 2)2