数列前n项和的求法总结

1、数列前n项和的求法总结核心提示：求数列的前n项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列 通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。当遇到具体 问题时，要注意观察数列的特点和规律，找到适合的方法解题。公式法(1)等差数列前 n 项和：?= ?(?；?)= ?+ ?(?；?)?(2)等比数列前n项和：？=?时，? = ?;?乎？时,?(?- ?)?=?. ?(3)其他公式:?= ?+?+?+? + ? = ?(?+ ?)解：占八、明显的个等差S - 1+2 + 3)"240T=(1 +Z +J+ . F + n) !- C 十+ 十2492"_ n(

2、n + 1) 5 0 -亍)- + ”21 1n.(n + 1)1=1 4-2 TccccccCC ? = ?+ ?+ ?+ ? + ?= ?(?+ ?)(?+ ?)?CC?= ?+ ?+ ?+ ? + ?= ?(?+ ?)例题1:求数列？?,?, ?,(?+票, 的前n项和S拨：这道题只要经过简单整理，就可以很 看出：这个数列可以分解成两个数列，一 数列，一个等比数列，再分别运用公式求和，最后把两个数列的和再求和 练习:.倒序相加法如果一个数列an,与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，

3、不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头， 也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前 n项和公式的推导，用的就是“倒 序相加法”。例题1:设等差数列an,公差为d,求证：an的前n项和S=n(ai+a)/2解：S=a+a2+a3+.+a n倒序得：Sn=an+an-i +sn-2 +a + 得：2Sn=(a i+an)+(a 2+an-i )+(a 3+an-2)+(a n+ai)又 a i+an=a2+an-i =a3+an-2= - =an+ai2Sn=n(a 2+an)Sn=n(a i+a)/2点拨：由推导过程可看出，倒序相加法得以应用的原因是借助 ai+an=&+

4、an-i =a3+an-2 = =an+a即与首末项等距的两项之和等于首末两项之和的这一 等差数列的重要性质来实现的。练习：(1)三.裂项相消法裂项相消法 是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。 *例题3:求数列 1 + 2 1 + 2+31 + 2 +(n gn )的和/风 !：a(-!；.I 十工十 T用 <?1+1) n 71+1.JS = 2 + -+L2 2 3p<h + 1)J臼0-3+(»-+&-q解：3号得点拨：此题先通过求数列的通项找到可以裂项的规律，再把数列的每一项拆开 之后，中间部分的项相互抵消，

5、再把剩下的项整理成最后的结果即可。四.错位相减法错位相减法 是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列an bn中，an成等差数列，bn成等比数列，在和式的 两边同乘 以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。例题4：求数列nan(n GN )的和解：设 Sn=a+2a2+3a3+nann(n +1)若 a=1 则：Sn=1+2+3+- +n= 工若 a才 1 贝U: aS=a2+2a3+(n-1)a n+nan+1 -得：(1-a)s n=a+a2+a3+an-nan+1 则:- a") Tia11 +1(1- a/ l- ：a练习：(1)(2

6、)(3)求：？?？= ? + ?+ ? + ? + (?- ?)?-?解：?= ? + ?+ ? + ? + (?- ?) ?- ?, 两边同乘以x,得? = ?+ ? + ? + ? + (?- ?)?- 得 ，(？ - ?) ?= ?+ ?(?+ ?+ ?+ ? + ?)-(?- ?) ?y , , , , , y 再用公式法里面的公式即可。五.迭加法迭加法主要应用于数列an满足an+1=an+f(n),其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成an+i-an=f(n),代入各项，得到一系列式子，把所有的例题5:已知数列 6,9,14,21,30,其中相邻两项之差成等差数列

7、，求它的前式子加到一起，经过整理，可求出an,从而求出Sno项和。角率: 2 2a 1=3,a 3a2=5,a 4-a 3=7，a n-a n-1 =2n-1把各项相加得：an-a i=3+5+7+ +(2n -1)=，an=n2-1+a 产n2+5n(nH-1) (2h+1) . S n=12+22+n2+5n=6+5n点拨：本题应用迭加法求出通项公式，并且求前n项和时应用到了n(n-l-l) (2r+ 1)12+22+n2=%因此问题就容易解决了。六.分组求和法所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这 类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求

8、和，再将其合 并。例题 6:求 S=12-22+32-42+(-1) n-1n2(n GN*)解：当 n 是偶数时：S=(12-2 2)+(3 2-4 2)+(n -1) 2-n2n (1 4 n)=-(1+2+n尸-2当 n 是奇数时：S=(1 2-2 2)+(3 2-4 2)+(n -2) 2-(n-1) 2+n2_2=-1+2+(n -1)+nn(n-l) £1 E4-n = - (n + nJ=-22综上所述：？ = (- ?严?？(？+ ?)点拨：分组求和法的实质是：将不能直接求和的数列分解成若干个可以求和的 数列，分别求和。练习:(1)作业: 1.已知等差数列?,其前n项和为？?，且？?4= 9, ?5= 35.(1)求数列?得通项公式；(2)若？?？= 2? ?+ n,求数列?的前n项和为？?.(错位相减法)2.设数列?满足？?i + 3?2+ 32?3 + ? + 3?- 1? = ?, n GM.3(