最新高数下册常用常见知识点

1、精品文档高等数学下册常用常见知识点第八章空间解析几何与向量代数(一)向量及其线性运算1、向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、线性运算：加减法、数乘；3、空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；a(a*,ay, az)；4、利用坐标做向量的运算：设 a (a*,ay,az), b (bx,by,bz),则 a b (a* bx,ay by ,az bz)，5、向量的模、方向角、投影：r2221) 向量的模：rxy z ；一、 "-2T2 "T2 "T22) 两点间的距离公式： AB (x2 Xi) (y2 yi) 值乙)3)

2、方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角4)方向余弦：cosxyz,cos,cos一rrr222cos cos cos 15)投影：Prjua a cos ，其中为向量a与u的夹角。(二) 数量积，向量积1、数量积：a b | a |b cos2D a a a2)a b a b 0a b axbxaybyazbz2、 向量积：cab大小：|a | b sin，方向：a ,b , c符合右手规则D a a 0精品文档精品文档精品文档2) a / baxayazbxbybz运算律：反交换律（三）曲面及其方程1、曲面方程的概念:S: f(x, y,z)2、旋转曲面：（旋转后方程如何写）yoz面上曲线

3、C：f (y,z)0,绕y轴旋转一周:f (y,绕z轴旋转一周:,z)3、柱面：（特点）F(x,y)F （x,y） 0表示母线平行于z轴,准线为的柱面4、二次曲面（会画简图）1)2 x 椭圆锥面：2 a2 y b22)2x椭球面：2a2 y b22x旋转椭球面：2a2y2a3）*单叶双曲面:2x2ay b2222xyz4) *双叶双曲面：2",22abc22xy5) 椭圆抛物面：2. 2ab6）*双曲抛物面（马鞍面）b222x y7) 椭圆柱面： 2. 2ab22xy8) 双曲柱面：2. 2ab29)抛物柱面：xay（四）空间曲线及其方程F (x, y,z)1、般方程:G (x, y

4、, z)x2、参数方程：yzx(t)y(t),如螺旋线:z(t)xa costya sintzbtH (x, y) 0G(x, y, z)得到曲线在面xoy上的投影3、空间曲线在坐标面上的投影F(x,y,z) 0（五）平面及其方程（法向量）1、 点法式方程： A（x x。） B（yy0) C(z z°)0法向量：n (AB,C),过点(x°, y°, z°)2、般式方程:AxByCz D 0 （某个系数为零时的特点）x截距式方程：一a3、两平面的夹角:cosA2/4、占八、(六)1、2、3、4、cosniA A2B12A A2A2(AB。)，&

5、CEG),B1B2C1C2B；C；B1B2 C1c2旦QB2C2P0 ( X0 , y0 , Z0 ) 到平面Ax。 By。 CZ0 D空间直线及其方程（方向向量）般式方程:对称式（点向式）方向向量：s两直线的夹角:,m；A1 xB1yA2x方程:AxByCz D 0的距离:CzC2ZD1d2xx°V。(m,n,p),过点(x°, y°, z°)x0V。Z0mtntptS1mm2(明，必，5), S2 (m2,n2, P2),ngP1P2n2P12 m222n2P2L1L2m1m2 n1n2 p1P2 0L1/L2m1nL 0m2n2p25、直线与平面的

6、夹角：直线与它在平面上的投影的夹角,sinAm Bn Cp|2 c 21'222B C . m n pL Am Bn Cp 0ABCL m n p第九章多元函数微分法及其应用1、（一） 基本概念距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。2、多元函数：z f（x,y）,图形，定义域：3、极限：(xMxo.yo)"")A4 连续：（x,y）l%0）f（X，y）f（xo，yo）5、偏导数：fx(x0,yo).f(x° x, limox oyo) f(x0,yo) xfy(x0,yo)limyf(x0,yoy) f(x

7、°, y。)0y6、 方向导数：ffcos lxf一 cos苴中y为l的方向角。7、 梯度：z f(x, y),则 gradf (xo,yo)fx(x°,yo)ify(x0,yo)j。8、（二）1、全微分：设z性质f(x，y)»dz )dx idy函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系:2、 闭区域上连续函数的性质(有界性定理，最大最小值定理，介值定理)3、 微分法1) 定义：2) 复合函数求导：链式法则Z若 z f(u,v),u u(x,y),v v(x,y),则z z u z v z z u z vx uxvxyuyvy3) 隐函数求导：a.两

8、边求偏导，然后解方程(组)，b.公式法(三) 应用1、 极值1)无条件极值：求函数 z f (x, y)的极值fx 0x解方程组fy求出所有驻点，对于每一个驻点(x0,y0),令Afxx(xo,y。)，Bfxy(xo,y°),Cfyy(xo,y。),若AC B20 , A 0,函数有极小值，若AC B2 0, A 0,函数有极大值；若AC B20 ,函数没有极值；若AC B20 ,不定。2)条件极值：求函数 z f (x, y)在条彳(x, y) 0下的极值令：L(x,y) f(x,y) (x, y)Lagrange 函数Lx 0x解方程组 Ly 0(x, y) 02、几何应用1、

9、曲线的切线与法平面x x(t)曲线y y，则 上一点M (x0, y0,Z0)(对应参数为b)处的切线方程为:x x0x(t0)y V0 y (t0)z Z0z(t0)法平面方程为：x (t0 )( xx0 )2)曲面的切平面与法线曲面：F (x, y, z) 0 ,则y(t0)(yy°)z(t°)(zz。)0上一点M (x0, y0,z0)处的切平面方程为:法线方程为:x x0Fx(x0,y0,z0)第十章(一)重积分二重积分Fx(x0,y0,z°)(x x°) Fy(xc,y0,z)(y y。)Fz(x0,y0,z0)(z 4)y y°z

10、zFy(x0,y0,z0) Fz(x0,y0,z0)n1、定义：f(x,y)d lim f( k, k) kD0 k 12、 性质：(6条)3、 几何意义：曲顶柱体的体积。4、 计算：1) 直角坐标X型区域：D(x, y)4x)2(x) bf (x, y)dxdyDbdxa2(x)1(x)f (x,y)dy丫型区域：D (x, y)f (x, y)dxdyD*交换积分次序(课后题)2)极坐标l()f (x, y)dxdyD(二)三重积分1、定义:i(y)c2(y) ddy2(y)i(y)2()f (x,y,z)dvf (x,y)df(cos,sin )nf(k 1Vk2、3、1)性质：计算：直

11、角坐标f (x, y,z)dvdxdyDz2 (x, y)zi(x,y) f(X,y,z)dz2)3)f (x, y,z)dv柱面坐标cossinDzf (x, y, z)dxdyf (x, y, z)d vf ( cos , sin截面法Zb.-. L 一尢后-先二后一,z) d ddzz*球面坐标*r sin cosr sin sinr cosf(x, y, z)d vf (r sin cos ,r sinsin,r cos )r2sin drd d(三)应用曲面S: z f(x,y),(x,y) D的面积:1 (z)2 (z)2 dxd第十一章(一)曲线积分与曲面积分 对弧长的曲线积分1

12、、定义:l f (x, y)dslim0f( i, i) si2、性质:i)L f(x, y)(x, y)dsL f (x, y)dsLg(x,y)ds.2)L f (x, y)dsL1f (x, y)dsL2f (x, y)ds.(LL1L2).3)L上,若 f (x, y)g(x,y),则L f (x, y)dsLg(x,y)ds.4)Ldsl ( l为曲线弧l的长度)3、计算:f (x, y)在曲线弧L上有定义且连续L的参数方程为(t),(t )苴中(t),'八(t), (t)在,上具有一阶连续导数，且2(t)2(t)0,则L f(x,y)ds f (t), (t) J 2(t)

13、2(t)dt(二)对坐标的曲线积分1、定义：设l为xoy面内从a到b的一条有向光滑弧，函数 P(x, y) , Q(x, y)在l上有界,定义 l P(x, y)dxLQ(x, y)dynP(k 1nQ(k 1k) Vk .向量形式：l F drP(x, y)dxQ(x, y)dy2、性质:用L表示L的反向弧，L F(x, y) dr l F (x, y) dr3、计算:设P(x, y), Q(x, y)在有向光滑弧 L上有定义且连续，L的参数方程为(t),(t: (t),中(t), (t)在,上具有一阶连续导数2(t)2(t)0,则4、LP(x,y)dxQ(x, y)d y两类曲线积分之间的

14、关系:L设平面有向曲线弧为 L ,cos(t) 2(t)2(t)cosP(t),(t) (t) Q (t), (t) (t)dt(t)L上点(x, y)处的切向量的方向角为：(t) 2(t)2(t)则 l Pdx Qdyl (P cosQ cos )ds.)格林公式1、格林公式：设区域D是由分段光滑正向曲线L围成，函数P(x, y),Q(x, y)在：Pdx QdyLQ PD上具有连续一阶偏导数，则有 二 ""J dxdy d x y2、G为一个单连通区域，函数 P(x, y),Q(x, y)在g上具有连续一阶偏导数，则Q _P x y曲线积分Pdx Qdy在G内与路径无关

15、L曲线积分?Pdx Qdy 0 LP(x, y)dx Q(x, y)dy在G内为某一个函数u(x, y)的全微分(4) 对面积的曲面积分1、 定义：设 为光滑曲面，函数 f (x, y, z)是定义在上的一个有界函数,n定义 f (x,y,z)dS lim f ( i , i, i) Si 0i i2、 计算：“一单值显函数、二投影、三代入”：z z(x, y) , (x,y) Dxy,则f(x,y,z)dS fx,y,z(x,y) 1 zx2(x, y) Zy2(x,y)dxdy Dxy(5) 对坐标的曲面积分1、 预备知识：曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量2、 定义：设 为有向光滑曲面，

16、函数P(x, y,z),Q(x, y,z),R(x, y,z)是定义在 上的有界函数，定义 nR(x, y,z)d xdy lim R( i, i, i)( S)y 0 i 1 n同理， P(x, y, z)d ydz lim P( i , i, i)( S)z 0 i 1nQ(x, y,z)dzdx lim。R( i, i, i)( S%0 i 13、 性质：1) 12，则Pdydz Qdzdx RdxdyPdydz Qdzdx Rdxdy 1Pdydz Qdzdx Rdxdy 22) 表示与 取相反侧的有向曲面,则 Rdxdy Rdxdy4、 计算：一一“一投二代三定号”:z z(x, y

17、), (x,y) Dxy, z z(x, y)在Dxy上具有一阶连续偏导数，R(x, y,z)在 上连续，则 R(x,y,z)dxdyRx, y,z(x, y)dxdy,为上侧取 “+ ”，为下侧取“-”.Dxy5、 两类曲面积分之间的关系：Pdydz Qdzdx Rdxdy Pcos Qcos Rcos dS其中 ，为有向曲面 在点(x, y,z)处的法向量的方向角。(6) 高斯公式1、 高斯公式：设空间闭区域 由分片光滑的闭曲面所围成， 的方向取外侧，函数P,Q, R在 上有连续的一阶偏导数，则有dxd yd z - Pd ydzQdzdx Rdxd yP _Qx yR -一一 _dxdy

18、dz 二 Pcos zQcos Rcos dS2、*通量与散度*通量：向量场A (P,Q,R) 通过曲面 指定侧的通量为:Pdydz Qdzdx Rdxdy散度：divAQ _R y z(七)*斯托克斯公式*1、斯托 克斯公式： 设光滑曲面的边界是分段光滑曲线的侧与的正向符合右手法则P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)在包含 在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数，则有Qd ydz zdzd xdxd y。Pdx QdyRdz为便于记忆，斯托克斯公式还可写作dydz dzdx dxdyoPdxQdyRdzxyzPQR2、*环流量与旋度*环流量：向量场A (P,Q,R

19、)沿着有向闭曲线 的环流量为0 PdxQd y Rdz旋度：rot ARQPRQP,yzzxxy第十二章无穷级数(一)常数项级数1、 定义：1）无穷级数：unu1 u2 U3unn 1n部分和：Snuk u1 u2 u3un ,k 1正项级数：un , un 0n 1交错级数： (1)nun , un 0 n 12)级数收敛：若lim SnS存在，则称级数un收敛，否则称级数nn 13)条件收敛：un收敛，而|un|发散；n 1n 1un发散n 1绝对收敛：un收敛。n 12、 性质：1)改变有限项不影响级数的收敛性;2) 级数an,bn收敛，则(an brJ收敛;3)an收敛，则任意加括号后

20、仍然收敛;n 14)必要条件：级数nUn收敛1lim Un 0.（注意：不是充分条件！） n3、审敛法正项级数:Un，Un11)定义:lim SnnS存在;2)收敛Sn有界;3)比较审敛法:Vnn 1为正项级数，且UnVn (n 1,2,3,)4)Vn1收敛，则Un收敛；若n 1nUn发散，则 Vn 1n 1发散.比较法的推论：nUn1收敛，则 Un收敛；若存在正整数n 15)比较法的极限形式：Unn 1Vn为正项级数，若存在正整数UnVn为正项级数，若n 1limnkVnUnVnUn收敛；若1lim3 0 或nVn一limnUnVnVn16)比值法：nUn为正项级数，设nim 一UnUn发散

21、；当11时，级数Unn 1可能收敛也可能发散.7)*根值法:Un为正项级数，设1Un发散；当l11时，级数Unn 1可能收敛也可能发散.l (0m 时，UnVn发散，则1发散，则 Unn 11时，级数n1时，级数n发散.Un收敛;1Un收敛;1kVn ,而 Vnn 1Un发散.则当则当Vn收敛,11时，级1时，级8)极限审敛法:un为正项级数,n 1limnn un 0 或 lim n unn,则级数 un发散;n 1若存limnpnunl (0un收敛.1交错级数:莱布尼茨审敛法:交错级数:(1)un0满足:unun (n 1,2,3,)，且 limun n则级数 (Dnun收敛。n 1un绝对收敛，则n 1n 1u n收敛。收敛,常见典型级数：几何级数:aqn0发散,(二)1、定义：函数项级数2、nanX0收敛半径的求法:limn3、泰勒级数n 1 np收敛,发散,un(X),收敛域，收敛半径,an 1anR,则收敛半径和函数;0,f(x)f(n)(x0)展开步骤:1)求出2)求出3)写出4)验证0 n!（直接展开法）间接展开法:1)2)sin x3)cosx4)5)6)ln(17)11 x28)(n)(x),（n）（Xo）,(x %)nn 1,2,3,n 0,1,2,f