椭圆知识点总结

1、椭圆知识点知识要点小结：知识点一：椭圆的定义F1F2) ,这个动点P的轨迹叫椭圆.这两个平面内一个动点P到两个定点F1、f2的距离之和等于常数(PF1 PF2 2a定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距注意：若(PF1若(PF1),则动点P的轨迹为线段F1F2 ;PF2),则动点PF2P的轨迹无图形.知识点二：椭圆的标准方程1 .当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程:2x-2a2<1 (a b 0),其中 b22.2a b2 .当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程:2 y -2 a2x .1 (a b 0),其中 b22 2、一 ，一一,a b ；注意：1.只有当椭圆的中心为坐标原点，对称

2、轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到椭圆的标准方程;3 .在椭圆的两种标准方程中，都有 (a0)和 c2a2 b2；3.椭圆的焦点总在长轴上当焦点在X轴上时，椭圆的焦点坐标为(c,0)，( c,0)；当焦点在y轴上时，椭圆的焦点坐标为(0,c), (0, c)知识点三:椭圆的简单几何性质2. x椭圆：x2 a0)的简单几何性质(1)对称性：对于椭圆标准方程2 x 2 a2 y b21 (a b 0)：说明：把x换成x、或把y换成 y、或把x、y同时换成y、原方程都不变，所以椭圆2 x ""2 a2 y b21是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对

3、称图形,这个对称中心称为椭圆的中心。(2)范围:椭圆上所有的点都位于直线xb所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足(3)顶点：椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。22x y椭圆 七 1 (a b0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为a2 b2A( a,0), A2(a,0),B1(0, b), B2(0,b)线段AA2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴,A1A22a, B1B22b o a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。（4）离心率:2c c椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作e 2a a因为（a c 0）,所以e的取值范围是（022e 1） o e

4、越接近1,则c波越接近a ,从而b <a c 越小，因此椭圆当且仅当a b时，c 0,这时两个焦越扁；反之，e越接近于0, c就越接近0,从而b越接近于a ,这时椭圆就越接近于圆点重合，图形变为圆，方程为a 。注意:2 x 椭圆12a2y i的图像中线段的几何特征（如下图）：（ b2i)(PFi I PF2 I 2a)；PFiPF2PMiPM 2e;(PMiPM2宜);c(2)(BFi I |BF2 I a)； (|OFi | OF2 | c); AB(3)AiFiA2F2 I a c； AF2A2Fia c； a c PFi222知识点四：椭圆、-y- i与2 222a ba2xf i

5、 (a b 0)的区别和联系b2标准方程图形222 1y2i (a b 0)a b22y2； i (a b 0)a b性质隹巨 八八八、Fi( c,0), F2(c,0)Fi(0, c), F2(0,c)1焦距F1F22c| F1F22c范围xa，| y b| x | b, y a对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点(a,0), (0, b)(0, a), ( b,0)轴长长轴长=2a,短轴长=2b离心率ce -(0 e 1) a准线方程2 ax c2 a yc焦半径PF1a e%, PF2 a e%PF1I a ey(0, PF2 a ey2注意：椭圆三a2 y b22y2a2x ,-7 1

6、(a b 0)的相同点：形状、大小都相同；参数间的关系都有 b2(a b 0)一 c和 e (0 ea1)b2C2 ；不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不相同。规律方法:何确定椭圆的标准方程？任何椭圆都有一个对称中心,两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件a,b; 一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。2 .椭圆标准方程中的三个量a, b, c的几何意义椭圆标准方程中，a,b,c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别

7、表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长,均为正数，且三个量的大小关系为:(a b 0),一 一 22(a c 0),且(a bc2)。可借助右图理解记忆:显然：a,b,c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。3 .如何由椭圆标准方程判断焦点位置椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是:看x2, y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。224 .方程Ax2 By2 C(A,B,C均不为零)是表示椭圆的条件2 2方程Ax2 By2 C可化为A- 竺-1,2 即上CABy 1,所以只有A、B、C同号，且A B时，方程表CBC C本椭圆。当 时

8、，椭圆的焦点在A B5 .求椭圆标准方程的常用方法：x轴上；当CA待定系数法:CB时，椭圆的焦点在 y轴上。由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数a,b,c的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；定义法：由已知条件判断出6 .共焦点的椭圆标准方程形式上匕4三=1 (anb)U)动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。M招的差异2共焦点，则c相同。与椭圆x1 a22V , xyy 1 (a b 0)共焦点的椭圆方程可设为F-ba2-2y一 1 (mb2),b m此类问题常用待定系数法求解。7 .判断曲线关于X轴、 若把曲线方程中的y轴、 x换

9、成若把曲线方程中的y换成原点对称的依据：x ,方程不变，则曲线关于 y轴对称;y ,方程不变，则曲线关于 x轴对称;若把曲线方程中的x、y同时换成 x、y ,方程不变，则曲线关于原点对称。8 .如何求解与焦点三角形 PEF2 (P为椭圆上的点)有关的计算问题？思路分析：与焦点三角形 PEF2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理(或勾股定理)、三角形面积公式SPF1F21-|PF1| |PF2| sin F1PF2相结合的万法进行计算解题。将有关线段| PFi、PF2、FR ,有关角 F1PF2 (F1PF2F1BF2)结合起来,建立PFiPF2、PF1 PF2之间的关系.9.如何计

10、算椭圆的扁圆程度与离心率的关系?2,2a bc2长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率e (0 e 1),因为c2a表示为 e 11 (b)2(0 e 1)。 a显然：当b越小时，e(0 e 1)越大，椭圆形越扁；当 -越大，e(0 e 1)越小，椭圆形状越趋近于圆。 aa(一)$3 椭圆及其性质1、椭圆的定义(1)平面内与两个定点 F1, F2的距离的和等于常数(大于|F1 F2| )的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫椭圆的焦 点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。(2) 一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个(0,1)内常数e,那么这个点的轨迹叫做椭圆.其中定点叫做焦点，定直

11、线叫做准线，常数e就是离心率.2、椭圆的标准方程x acos 、，/ “3、椭圆的参数万程(为参数)(b)2. 0 e 1. ay bsin4、离心率：椭圆焦距与长轴长之比.e - a椭圆的准线方程22左准线11 : x 右准线l2 : x cc(二)、椭圆的焦半径椭圆的焦半径公式：(左焦半径)r1 a exo(右焦半径)r2 a ex0其中e是离心率+焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式：MF1 a ey0,(其中F1,F2分别是椭圆的下上焦点)*MF2 a eyo一(二)，一 土直线与椭圆问题(韦达定理的运用)1、弦长公式：若直线1:y kx b与圆锥曲线相交与 A、B两点，A (x1, y1)

12、, B(x2, y2)则弦长 ABJ(x1x2)2(y1y2)2J(x1x2)2(kx1kx2)2<1k2|x1x21 k2 ,(x1 x2)2 4x1x2例1.已知椭圆求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线的方程。及直线y=x+mi (1)当直线和椭圆有公共点时,222、已知弦AB的中点，研究 AB的斜率和方程 AB是椭圆，+点=1(a>b>0)的一条弦，中点 M坐标为(X。yi)， b2X°则AB的斜率为-荻回点差法求AB的斜率，设心1B(X2, y2). A B都在椭圆上，2X1牙+2X2-2 + a2J匚1b2 1两式相减得X12 X222

13、+a2yi y2b22-=°,X1 X2X1 + X22ay1-y2y+y2.b即g2X1 X2b2 X1 + X2a2 y1 + y2b2X0ay.故 kAB=b2X° a2y°例、过椭圆2X162、一1内一点M (2,1)引一条弦, 4使弦被 M点平分，求这条弦所在直线的方程。(四)、5四种题型与三种方法22四种题型1:已知椭圆C：二25有一点A(2,1),F是椭圆C的左焦点，P为椭圆C上的动点，求| PAI +"PF |的最小值2 X2:已知椭圆25PA| + | PF的最大值与2y 1内有一点A (2, 1) , F为椭圆的左焦点，P是椭圆上动点

14、，求|16最小值。3:已知椭圆2x252y 1外一点A(5, 6) , l为椭圆的左准线,163 .P为椭圆上动点，点P到l的距离为d,求|PA+ d5的最小值。4：定长为d( d2b2)的线段 a2 x AB的两个端点分别在椭圆 a2y2 1(a b 0)上移动，求AB的中点M到椭圆右准线的最短距离。三种方法1：椭圆2y,F 1的切线与两坐标轴分别交于A,B两点， 求三角形OAB的最小面积。b2x22:已知椭圆 一121和直线l:x-y+9=0,在l上取一点M,经过点M且以椭圆的焦点Fi,F2为焦点作椭圆，求 M在何处时所作椭圆的长轴最短，并求此椭圆方程3：过椭圆2x2y2 2的焦点的直线交

15、椭圆 A,B两点，求 AOB面积的最大值2课后同步练习221.椭圆：x_ _y 1的焦点坐标是 ,离心率是,准线方程是.25 169)A222.已知Fl、F2是椭圆、1的两个焦点，过 Fl的直线与椭圆交于 M N两点，则 MNF的周长为( 169B. 16 C . 25 D .32225,则P到另一个焦点的距离为( )D. . 313.椭圆：x_y 1上一点P到一个焦点的距离为259A.5B.6C.4D.10224 .已知椭圆方程为 匕 1,那么它的焦距是2011A.6B.3C.3, 31k的取值范围是5 .如果方程x2ky22表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数A. (0, +8)B.(0,2)

16、C.(1,+8)d.(0,1)6 .设Fi,F2为定点，| FiF2|=6 ,动点吊满足| MFi | | MF2 | 6 ,则动点M的轨迹是()A.椭圆 B. 直线 C. 圆 D. 线段 227 .已知方程 4 + =1,表示焦点在y轴上的椭圆，则 m的取值范围为 m 12 m5 38.已知椭圆的两个焦点坐标是F (-2 , 0) , F2 (2, 0),并且经过点P(-,).则椭圆标准方程是2 2229.过点A (-1 , -2 )且与椭圆 、一1的两个焦点相同的椭圆标准方程是 .6910.过点P ( J3 , -2 ), Q (-2 J3 , 1)两点的椭圆标准方程是.22.11 .若椭

17、圆 二 上1的离心率是工，则k的值等于k 8 9212 .已知 ABC的顶点B、C在椭圆x2+ y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则32213.F1、F2分别为椭圆。+。=1的左、右焦点，点a b2214.设M是椭圆 匕1上一点，Fi、F2为焦点，25 16 ABC的周长是 P在椭圆上， POF是面积为J3的正三角形，则 b2的值是F1MF2 £，贝U S MF1F2 6115 .在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为J2 ,、21(A)2(B)2(C)2_、9、A(x1, y1工 B(4, - ), C(x2, y2 )16 .设5是右焦点为F的椭圆焦点到相应准线的距离为 1,则该椭圆的离心率为_2(D)422上L 125 9上三个不同的点，则“ AF , BF , CF成等差(B)必要不充分条件(D)既非充分也非必要数列”是“ x1 X