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文档简介

1、期权价格计算公式股票的价格变化遵循一维维纳过程，其微分方程如下ds a(s,t)dt b(s,t)dz式中：dz的差分满足如下条件的正态分布1 / 4# / 4在一般情况下，ds可用下式表示:dssdt sdz (1)# / 4# / 4或表示为:dss式中:dt dzs股票价格的期望漂移率，为一个恒定参数；(s)2为# / 4# / 4股票价格波动的方差，为股票价格的波动率，可以通过观察 股票价格的动态系列数据获得。如果存在一个变量 G，它是股票S的一种衍生证卷，它的价格 是S和t的函数，G(s,t)，那么，S和G都受到同一个基本的不 确定性因素的影响。根据ITO定理，函数G的行为遵循如下微

2、 分方程描述的过程:G G 12G 22 G/ c、dG( S = S )dt ( Sdz (2)函数G的漂移率为1 2G2 S2方差为G 2 2 ()2 2sS# / 4如果G代表股票S的一种期权，我们想用 S和G构造一组风险 中性的证卷组合。为此，首先将公式（1）、（2）改写成对应的差 分形式：G1 2G、丄 G g2) tS zt2 S2S(4)由于公式（3）、（4）中的z（、是相同的维纳过程，只要证卷数量的搭配合理，整卷组合就可以消除z恰当的证卷组合是:-1; 卖空一个期权-| ;买入期权价值变化对股票价格的敏感度， 分那样多的股票。定义这个证卷组合的价值为也就是他的偏微，表达式为G

3、S St时间后，这个证卷组合的价值变化为：G SS(6)将（3）、（4）带入（6）,消去z，得:2G 1 G 2 2(2S2) tt 2 S2(7)由于这个证卷组合是风险中性的，所以，它的收益一定与任何一个无风险证卷的收益相同，就是(8)将（5）、（ 7）带入（8），得:# / 42G1 G 2 2G(匚S ) t r(G S) tt2 S2S将上式进一步化简，得:2(9)GG12 2 GrS2S22 rGtS2S2这就是获得诺贝尔奖的Black-Scholes微分方程。这个微分方程 的解，与它的边界条件有关。欧式看涨期权的边界条件是，G=max(S-X,0)当 t=T 时 欧式看跌期权的边界条件是:G=max(X-S,0)当 t=T 时在风险中性世界中，欧式看涨期权到期日的期望价值是:Emax(ST X,0)Black-Scholes证明，欧式看涨期权的价格 c是这个数学期望值的 贴现结果，解析表达式为c SN(dJ XerCrt)N(d2) ( 10)其中：2d In (S/X) (r /2)(T t)d 1T t d2 ln(s/x)(r 2/2)(T t) d1T tVT t式中，N(x)表示标准正态

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