一元二次方程整数根问题的十二种思维策略

1、一元二次方程整数根问题的十二种思维策略班级姓名1.利用判别式例1.(2000年黑龙江中考题)当m是什么整数时，关于x的一元二次方程mx24x40与x24mx4m24m50的根都是整数。解：:方程mx24x40有整数根，=16-16m>0,得m<1又.方程x24mx4m24m50有整数根：A16m24(4m24m5)0得m5.4.一5综上所述，wme14：x可取的整数值是-1,0,1当m=-1时，方程为一x2-4x+4=0没有整数解，舍去。而m?50;m=1例2.(1996年四川竞赛题)已知方程x2mxm10有两个不相等的正整数根，求m的值。解：设原方程的两个正整数根为x1,x2，则

2、m=-(x1+x2)为负整数.:4m24m4一定是完全平方数设m24m4k2(k为正整数)(m2)2k28即：(m2k)(m2k)8m+2+k>m+2-k,且奇偶性相同.m2k4或m2k2m2k2m2k4解彳tm=1>0(舍去)或m=-5。当m=5时,原方程为x2-5x+6=0,两根分别为x1=2,x2=32.利用求根公式例 3.( 2000 年全国联赛)设关于 x 的次方程(k2 6k 8)x2 (2k26k 4)x k24的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值。解:g (2 k2 6 k 4)2224( k 4)( k6 k 8)4( k6) 22由求根公式得x 2k x

3、6 k 42( k2( k26T8)6)即 x11 jx2k 44x2两式相减，得24x11x2xi (x23)x 2是整数，故可求得x12, X2xi2, x22 或x11, x2分别代入，易得k= , 6,33。3.利用方程根的定义例4.当b为何值时，方程x2 bx 22xb(b1) 0有相同的整数根并且求出它们的整数根解：两式相减，整理得(2-b)x=(2-b)(1+b)当b，2时,x=1+b,代入第一个方程，得(1b)2b(1 b)解彳导b=1,x=2当b=2时,两方程无整数根：b=1,相同的整数根是24.利用因式分解例5.（2000年全国竞赛题）已知关于x的方程（ai）x22xa1根

4、都是整数，那么符合条件的整数a有个.解：当a=1时,x=1当a，1时，原方程左边因式分解，得（x-1）（a-1）x+（a+1）=0即得Xi1Xo1x11,x211ax是整数1-a=+1,+2,：a=-1,0,2,3由上可知符合条件的整数有5个.方程例6.（1994年福州竞赛题）当m是什么整数时，关于x的2x（m1）xm10的两根都是整数解：设方程的两整数根分别是x1，x2,由韦达定理得x1x2m1川由消去m,可得x1x2x2x12(x11)(x2则有x11x21解得：x1x 21)311或x13 x22 或x14 x231( 3)111302由此xx8或0,分别代入，得m7或m15.利用根与系

5、数的关系例7.(1998年全国竞赛题)求所有正实数a,使得方程xx3bx2 c(xx3)( xx4)ax4a0仅有整数根.解：设方程的两整数根分别是x1,x2，且X1X2由根与系数的关系得xix2a0|xix24a0川由得ax2a将代入得4axix2xia4ax1x2x1a224x18显然x1，4,故x1可取5,6,7,8。从而易得a=25,18,16。6 .构造新方程例8.(1996年全国联赛)方程(xa)(x8)10有两个整数根，求a的值.解：原方程变为(x8)2(8a)(x8)10设y=x-8,则得新方程为y2(8a)y10设它的两根为y1,y2,则y1y2a8,y1y21,二x是整数，

6、：y1,y2也是整数，则y1,y2只能分别为1,-1或-1,1即y1+y2=0;a=8°7 .构造等式例9.(2000年全国联赛C卷)求所有的正整数a,b,c,使得关于x的方程2.一一2一一一一2x3ax2b0,x3bx2c0,x3cx2a0所有的根都是正整数.解：设三个方程的正整数解分别为x1,x2,x3,x4,x5,x6,则有2x3ax2b(x%)(xx?)2x3cx2a(xX5)(xX6)令x=1,并将三式相加，注意到xi>1(i=1,2,6),有3(abc)(1xi)(1x2)(1x3)(1x4)(1x5)(1x6)000但a>1,b>1,01,又有3-(a

7、+b+c)<o,:3-(a+b+c)=0故a=b=c=18 .分析等式例10.(1993年安徽竞赛题)n为正整数，方程x2(J31)xJ3n60有一个整数根，则n=.解：设已知方程的整数根为a,则a2(、.31)a、3n60整理得a2a6'/3(an)因为a为整数，所以a2a6为整数叔an)也一定是整数,要使瓜an)为整数,必有an由此得a2a60,即n2n60解彳导n=3或-2(舍去)：n=3。9 .反客为主例11.(第三届祖冲之杯竞赛题)求出所有正整数a,使方程2ax2(2a1)x4(a3)0至少有一个整数根.解：由原方程知x，2,不妨将方程整理成关于的一元一次方程(x24x

8、4)a2x12得2x121(因为是正整数)a11(x2)2贝u得(x4)(x2)0因此，x只能取-4,-3,-1,0,1,2。分别代入a的表达式，故所求的正整数a是1,3,6,10。10 .利用配方法例12.(第三届祖冲之杯竞赛题)已知方程(a21)x22(5a1)x240有两个不等的负整数根，则整数a的值是解：原方程可变为222a 2x210 ax x22 x 240即 a2 x210 ax 25 x2 2x 122(ax 5) (x 1)4a 1-6 ,即a=0, -1,-2, -5时，x为负整数1ax 5 (x1)得：6x1 , x2a 1当 a-1=-1 ,-2,-3,但a=0时，x2>0;a=-5时,x1=2=-1又aw-1a=-2o11 .利用奇偶分析例13.(1999年江苏第14届竞赛题)已知方程x21999xa0有两个质数根，则常数a=.解：设方程的两个质数根为x1,x2(x1<x2)由根与系数的关系得x1+x2=1999.显然x1=2,x2=1997，于是a=2X1997=3994.12 .利用反证法2例14.不解方程,证明方程x21997x19970无整数根证