北师大版七年级下全等三角形压轴题分类解析

1、七年级下三角形综合题归类双等边三角形模型1 . (1)如图7,点O是线段AD的中点，分别以 AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三 角形OAB和等边三角形 OCD,连结AC和BD,相交于点E,连结BC.求/ AEB的大小；(2)如图8, A OAB固定不动，保持A OCD的形状和大小不变，将A OCD绕着点。旋转 (A OAB和A OCD不能重叠)，求/ AEB的大小.13 / 11图7图82 .已知：点C为线段AB上一点， ACM, CBN都是等边三角形，且 AN、BM相交于O.求证：AN=BM求/AOB的度数。 若AN、MC相交于点P, BM、NC交于点Q,求证：PQ/ AB。(湘潭中考题

2、)同类变式：如图a, ABC和CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C,连接AF和BE.(1)线段AF和BE有怎样的大小关系？请证明你的结论；(2)将图a中的4CEF绕点C旋转一定的角度，得到图b, (1)中的结论还成立吗？作出判 断并说明理由；(3)若将图a中的 ABC绕点C旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗？作出判断不必说明理由.3.如图9,CD BE , AMN是等边三角形.(1)当把 ADE绕A点旋转到图10的位置时，CD BE是否仍然成立？若成立，请证 明；若不成立，请说明理由；(2)当a ADE绕A点旋转到图11的位置时， A

3、MN是否还是等边三角形？若是，请 给出证明，若不是，请说明理由.同类变式：已知，如图所示，在ABC和 ADE中，AB AC , AD AE ,BAC DAE ,且点B, A, D在一条直线上，连接BE, CD, M, N分别为BE, CD 的中点.(1)求证： BE CD ; AM AN .(2)在图的基础上，将 4ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,其他条件不变，得到 图所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立 .图图4 .如图，四边形 ABCB口四边形 AEFG匀为正方形，连接 BG与DE相交于点H(1)证明： ABG * AADE;(2)试猜想 BHD勺度数，并说

4、明理由；(3)将图中正方形 ABCDg点A逆时针旋转(0。v BAEV180。)，设 ABE勺面积为Si, 4ADG勺面积为S2,判断Si与S2的大小关系，并给予证明.5 .已知：如图， ABC是等边三角形，过 AB边上的点D作DG / BC ,交AC于点G , 在GD的延长线上取点 E ,使DE DB ,连接AE, CD .(1)求证：AGE04DAC；(2)过点E作EF / DC ,交BC于点F ,请你连接 AF ,并判断zAEF是怎样的三角形，试证明你的结论.二、垂直模型(该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容)考点1：利用垂直证明角相等1 .如图，4ABC中，/ACB = 90

5、76;, AC = BC, AE是BC边上的中线，过 C作CFLAE,垂 足为F,过B作BDLBC交CF的延长线于 D.求证：(1) AE=CD;(2)若 AC= 12 cm,求 BD 的长.2 .(西安中考)如图(1), 已知 ABC中,/BAC=90, AB=AC, AE是过A的一条直线,且B、C在A E的异侧,BD LAE于D, CE LAE于E 。图图(2)图(1)试说明：BD=DE+CE.(2)若直线AE绕A点旋转到图 如何？写结论，并说明理由。(2)位置时(BD<CE),其余条彳不变，问BD与DE、CE的关系(3)若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时(BD>CE),其余

6、条彳不变，问BD与DE、CE的关系如何？写出结论，可不说明理由。3 .直线CD经过 BCA的顶点C, CA=CB. E、F分别是直线 CD上两点，且BEC CFA(1)若直线CD经过 BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：如图 1,若 BCA 90o,90°,则 EF|BE AF (填“ 二“ ”或“ ”号)；如图2,若0°BCA 1800,若使中的结论仍然成立，则 与 BCA应满足的关不TH(2)如图3,若直线CD经过BCA的外部,BCA,请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明.图2考点2:利用角相等证明垂直1 .已知BE, CF是 AB

7、C的高，且BP=AC CQ=AB试确定AP与AQ的数量关系和位置关系E 图92 .如图，在等腰 R4ABC中，ZACE=90 , D为BC的中点，DaAR垂足为E,过点B作BF/ AC交DE的延长线于点 F,连接CF.(1)求证：CD=BF(2)求证：AD± CF;连接AF,试判断4ACF的形状.拓展巩固：如图9所示， ABC是等腰直角三角形，/ ACB= 90。，AD是BC边上的中线, 过C作AD的垂线，交 AB于点E,交AD于点F,求证：/ ADC= / BDE.有什么区别和(提示：对比此题的条件和上面那题的条件，对比此题的图形和上题的图像, 联系？)3 .如图1,已知正方形 A

8、BCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE , GC .(1)试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论；(2)将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使E点落在BC边上，如图2,连接AE和GC.你认为(1)中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由B ELD4 .如图1, ABC的边BC在直线1上，AC BC,且AC BC, EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF FP(1) 在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；(2) 将EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q,连接AP, BQ .猜想并写

9、出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；(3)将 EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交 AC的延长线于点Q,连结AP, BQ ,你认为(2)中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系和位置 关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由(2)三、等腰三角形（中考重难点之一）考点1:等腰三角形性质的应用1.如图，ABC 中，AB AC, BAC 90E, FD与AC交于F .求证：BE AFD是BC中点，ED FD , ED与AB交于AE CF .ABD Co o .2 .两个全等的含30 , 60角的二角板ADE和二角板ABC ,如图所不放置，E,A,C二点

10、在 一条直线上，连结 BD,取BD的中点M ,连结ME,MC .试判断 EMC的形状，并说 明理由.压轴题拓展：（三线合一性质的应用）已知Rt ABC中，AC BC , C 90 , D为AB边的中点，EDF 90 , EDF绕D点旋转，它的两边分别交 AC、CB （或它们的延长线）于 E、F .1当 EDF绕D点旋转到DE AC于E时（如图1）,易证S def S cefSabc.当 EDF绕 2D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立， 请给予证明；若不成立，SDEF , SCEF , SABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.图1AEC

11、F B图2提示：此题为上面题目的综合应用，思路与第一题相似。3 .已知：如图， ABC 中，/ ABC=45° , CD, AB 于 D, BE平分/ ABC,且 BEX AC于 E,与CD相交于点F, H是BC边的中点，连结 DH与BE相交于点G。（1） BF=AC （2） CE=1 BF2CE与BC的大小关系如何。考点2:等腰直角三角形（45度的联想）1.如图1,四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边 经过点D,且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A, B重合），另一条直角边与/ CBM 的平分线BF相交于点F.如图14-1 ,当点E在AB边的中点

12、位置时:通过测量DE, EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是; 连接点E与AD边的中点N,猜想NE与BF满足的数量关系是 请证明你的上述两猜想. 如图142 ,当点E在AB边上的任意位置时，请你在 AD边上找到一点 N, 使得NE=BF ,进而猜想此时 DE与EF有怎样的数量关系并证明2.在 RtABC中，AC= BC, Z ACB= 90°, D 是 AC的中点，DG，AC交 AB于点 G.（1）如图1, E为线段DC上任意一点，点 F在线段DG上，且DE=DF,连结EF与CF,过 点F作FHI± FC,交直线 AB于点H.求证：DG=DC判断FH与FC的数量关系并

13、加以证明.（2）若E为线段DC的延长线上任意一点，点 F在射线DG上，（1）中的其他条件不变，借助图2画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在（1）中得出的结论是否发生改变.（本小题直接写出结论，不必证明）同类变式：（期末考试原题哦）已知： ABC为等边三角形，M是BC延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点 A,且60o角的顶点E在BC上滑动，（点E不与点B、C重合），斜边与/ ACM的平分线CF交于点F（1）如图（1）当点E在BC边得中点位置时1）猜想AE与EF满足的数量关系是连结点E与AB边得中点N,猜想BE和CF满足的数量关系是 请证明你的上述猜想;EF有怎样的数量关系

14、，并说明你的理由?图（2）图（1）（2 ）如图（2）当点E在B C边得任意位置时，AE和四、角平分线问题1 .如图：E在线段 CD上,EA EB分别平分/ DA*口/ CBA, / AEB=90，设AA X,BC= y ,且 x, y 满足 x2(1)求AD和BC的长；(2)(3)你能求出AB的长度吗?2y 6x 8y 25 0你认为AD和BC还有什么关系？并验证你的结论;若能，请写出推理过程；若不能，请说明理由2 .如图，OP是/ MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：(1)如图，在 ABC 中，/ ACB 是直

15、角，/ B=60° , AD、CE 分别是/ BAG / BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出 FE与FD之间的数量关系;(2)如图，在 ABC中，如果/ ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你ABCD中，AC平分3.(北京市中考模拟题)如图，在四边形BAD,过 C 作CE AB于 E,1一并且 AE (AB AD),贝U ABC 2ADC等于多少?4.如图， ABC中，AD平分/ BAGDGL BC且平分 BC, DEI AB于 E, DF± AC于 F.D(1)说明BE=CF的理由；(2)如果AB=a , AC力，求AE、BE的长.五、中点问题1.在4ABC中，D为BC的中点， 过D点的直线GF交AC于F ,交AC的平行线BG于点G 。 DEGF ,并交AB于点E .连结EG .(1)求证：BG CF ;（2）请猜想BECF与EF的大小关系，并加以证明2.如右下图，在AB 2DE .ABC 中，若 B 2 C , ADBC , E为BC边的中点.求证:3.已知 ABC中，AB AC, BD为AB的延长线，且 BD AB , CE为 ABC的AB边上