双曲线题型归纳含(问题详解)

1、实用文档三、典型例题选讲（一）考查双曲线的概念设P是双曲线2x-2a1上一点，双曲线的一条渐近线方程为 3x 2y 0, Fi、F2分别是双曲线的左、右焦点.若| PFi | 3 ,则| PF2 | （A. 1 或 5B. 6C. 7D. 9分析：根据标准方程写出渐近线方程，两个方程对比求出a的值，利用双曲线的定义求出| PF2 |的值.2x解：双曲线a21渐近线方程为y=9-x,由已知渐近线为3x 2y 0, aa 2, |PF1| |PF2| 4, IPF2I 4 |P .Q| PF1 | 3,IPF2 | 0, IPF2 | 7.故选C.归纳小结：本题考查双曲线的定义及双曲线的渐近线方程

2、的表示法.（二）基本量求解例2（2009山东理）设双曲线2 x 2 a2yr1的一条渐近线与抛物线b2y x2 1只有一个公共点,则双曲线的离心率为（）A. 5B. 54C.22解析：双曲线与-y2 a bby xy a ，消去v，得2y x 1 b1的一条渐近线为 y x,由方程组a2 bb 2x -x 1 0有唯一解，所以 =(-)4 0 ,aa所以 b 2, e c ab工E2J5,故选 D.系,切,yo归纳小结：本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,只有一个公共点，则解方程组有唯一解.2X例3 （2009全国I理）设双曲线 a则该双曲线的离心率等于（）B.2C. 5以及直线与抛

3、物线的位置关本题较好地考查了基本概念、基本方法和基本技能.2 y b21 （a0, b0）的渐近线与抛物线D. ,6解析：设切点P（Xo,y0）,则切线的斜率为y |x Xo2x0 .由题意有过Xoy=X2 +1 相2xo .又有X02 1 ,联立两式解得：x。21, b 2,ea(b)2a娓.因此选C.2X例4 （2009江西）设Fi和F2为双曲线 a2 y b21(a0,b0）的两个焦点，若Fi, F2 ,P（0,2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（B.D.35C.一， c解析：由tan 6 2b-W 3c2 4b2 4(c2 32 ,故选B.归纳小结：注意等边三角形及双曲线的

4、几何特征,合思想的应用.（三）求曲线的方程从而得出tan 一6c 、-3,一 ，体现数形结2b 3实用文档2yr 1（a 0,b 0）的离心率为J3 ,右准线方程 b2 x 例5 （2009,北京）已知双曲线C： a力 回为x .3（1）求双曲线C的方程；（2）已知直线x y m 0与双曲线 C交于不同的两点 A, B,且线段 AB的中点在圆22x y 5上，求m的值.分析：（1）由已知条件列出a,b,c的关系，求出双曲线 C的方程；（2）将直线与双曲线方程 联立，再由中点坐标公式及点在圆上求出m的值.a23解：（1 ）由题意，得 c 3 ,解得a 1,c J3.c Z3 a 2 b2 c2

5、a2 2, 所求双曲线 C的方程为x2 1.2（2）设A、B两点的坐标分别为 K,y1 , x2,y2 ,线段AB的中点为M x0,y0 ,22 y吊x122由 2 得x 2mx m 2 0 （判别式 0）,x y m 0X x2-x0 m, y0 x0 m 2m,222_ .丁点M x0, y0在圆x y 5上，22 m 2m 5, . m 1.另解：设A、B两点的坐标分别为 x1，y1 , x2，y2 ,线段AB的中点为M x0,y02Xi由2X22上12 ,2,两式相减得(Xi区12一 、1，X2)(Xi X2)二(yi2y2)(yi y2) 0.由直线的斜率为 i, Xo X-X2,

6、y02y在代入上式，得y0 2x0.222又M(yo,Xo)在圆上，仔yo xo5,又M(yo,Xo)在直线上，可求得 m的值.考查曲线和方程的归纳小结：本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识,关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力.22例6过M (i,i)的直线交双曲线 亍 y i于A, B两点，若M为弦AB的中点，求直线AB的方程.分析：求过定点M的直线方程，只需要求出它的斜率.为此可设其斜率是k,利用M为弦AB的中点，即可求得 k的值，由此写出直线 AB的方程.也可设出弦的两端点坐标用“点差法” 求解.解法一：显然直线AB不垂直于x轴，设其斜率是 k,则方程为y

7、i k(x i).22L y- i由 42 消去 y 得(i 2k2)x2 4k(i k)x 2k2 4k 6 o y i k(x i)设A(Xi,yi), B(X2,y2),由于M为弦AB的中点,所以Xi X22k(i k)i 2k2 ii,所以k 2显然，当ki工一时方程的判别式大于零2 i-所以直线 AB的万程为y i (X i),即X 2y i2解法二：设 A(Xi,yi),B(X2,y2),则Xi42X2得(x X2)(xX2) 2(yi y2)(yi 刈)0.又因为 Xi X2 2, yi y22 ,所以 x X2 2(y12 得 XiX2i, yiy i .若 X2,则 yi y

8、2,由 X22, yi y则点A、B都不在双曲线上，与题设矛盾，所以Xi X2.所以 k y-y2 -.Xi x22 i-所以直线AB的方程为y i （x i）,即x 2y i 0 .2经检验直线x 2y i0符合题意，故所求直线为解法三：设A （ x, y）,由于A、B关于点M （i, i）对称，所以B的坐标为（2 x, 2 y）,22土 L i, 则 429消去平方项，得x 2y i 0.(2-x) 2 (2 y)2 i42.即点A的坐标满足方程，同理点 B的坐标也满足方程.故直线AB的方程为x 2y i 0.归纳总结：由于双曲线（抛物线）不是“封闭”的曲线，以定点为中点的弦不一定存在，所

9、以 在求双曲线（抛物线）中点弦方程时，必须判断满足条件的直线是否存在.（四）轨迹问题22例7已知点P,（x0, y0）为双曲线-xy -y2 i （b为正常数）上任一点，F2为双曲线的右8b2 b2焦点，过P作右准线的垂线，垂足为A,连接F2A并延长交y轴于F2.求线段Pi P2的中点P的 轨迹E的方程.分析：求轨迹问题有多种方法，如相关点法等，本题注意到点P是线段P, F2的中点，可利用相关点法.实用文档八 ，8，、解：由已知得F2（3b,0）, A（-b, yo）,则直线F2A的万程为:3令 x 0得 y 9y0,即 P2（0,9y0） .3 yy (x 3b).b设 P(x, y),则x

10、O万y09 y02x0 2x2222即 y代入、冬1得：丝, 1,y0 y 8bb8b 25b52x即P的轨迹E的方程为 2b2y25b21. (x R)归纳小结：将几何特征转化为代数关系是解析几何常用方法.（五）突出几何性质的考查22x y22例8（2006江西）P是双曲线 一 1的右支上一点，M , N分别是圆（x 5） y 4916和（x 5）2 y2 1上的点，则|PM | |PN|的最大值为（）A.6B.7C.8D.9解析：双曲线的两个焦点 Fi（ 5,0）与F2（5,0）恰好是两圆的圆心，欲使|PM| |PN|的值最大，当且仅当|PM |最大且|PN |最小，由平面几何性质知，点M

11、在线段PFi的延长线上,点N是线段PF2与圆的交点时所求的值最大此时 |PM| |PN| (PE 2) (PF2 1) |PFi |PF2| 3 9 .因此选 D.例9 (2009重庆)已知以原点O为中心的双曲线的一条准线方程为x -,离心率e J5 .5(1)求该双曲线的方程;(2)如图,点A的坐标为(支上，求MA1上的点，点M在双曲线右J5,0) , B 是圆 xMB的最小值，并求此时 M点的坐标.分析：(1)比较基础，利用所给条件可求得双曲线的方程;(2)利用双曲线的定义将MA、MB转化为其它线段，再利用不等式的性质求解.(1)由题意可知，双曲线的焦点在x轴上故可设双曲线的方程为2x2ay2b71 (a 0,b 0),设 c-, a2 b2 ,由准线方程为近得右立,5 c 5解得a 1,c 6.从而b 2, 2该双曲线的方程为x1.(2)设点D的坐标为(J5,0),则点A、D为双曲线的焦点,则 |MA| |MD 12a 2.所以 |MA | |MB | 2 |MB | MD B 2 | BD | .因为B是圆x2 (y J5)2 1上的点,其圆心为C(0, J5),半径为1,故 |BD|河 CD| 1 /10 1,从而 |MA| |MB | 2