31二阶常微分方程的幂级数解法ppt课件

1、特征方程为特征方程为特解特解0ypyqy20pq12CC( )( )0 (*)yp x yq x y( )0(0)( ) ,!nnnnnfC f xa xan在收敛区域内在收敛区域内收敛半径收敛半径1( lim)nnnRa解析：假设解析：假设 f(x) 在在0点的某个邻域内点的某个邻域内C，且且Taylor级数收敛，称级数收敛，称 f 在在0点解析。点解析。解析函数由部分性质可推知整体性质解析函数由部分性质可推知整体性质.3.1.1 幂级数解法实际概述幂级数解法实际概述 用球坐标系和柱坐标系对拉普拉斯方程、动摇方程、输用球坐标系和柱坐标系对拉普拉斯方程、动摇方程、输运方程进展变量分别，就出现连

2、带勒让德方程、勒让德方程、运方程进展变量分别，就出现连带勒让德方程、勒让德方程、贝塞尔方程、球贝塞尔方程等特殊函数方程用其他坐标贝塞尔方程、球贝塞尔方程等特殊函数方程用其他坐标 现各种各样的特殊函数方程它们大多是二阶线性常现各种各样的特殊函数方程它们大多是二阶线性常我们讨论复变函数我们讨论复变函数 ( ) zw的线性二阶常微分方程的线性二阶常微分方程22d( )d( )( )( ) ( )0ddzzp zq zzzzwww3.1.100(),zC01().zC0z为选定的点，为选定的点，为复常数为复常数 01,C C这些线性二阶常微分方程经常不能用通常的解法解出，这些线性二阶常微分方程经常不能

3、用通常的解法解出， 但可用幂级数解法解出所谓幂级数解法，就是在某个任但可用幂级数解法解出所谓幂级数解法，就是在某个任意点意点0z的邻域上，把待求的解表为系数待定的幂级数，的邻域上，把待求的解表为系数待定的幂级数， 代入方程以逐个确定系数代入方程以逐个确定系数 求得的解既然是级数，就有能否收敛以及收敛范围求得的解既然是级数，就有能否收敛以及收敛范围的问题的问题 虽然幂级数解法较为繁琐，但它可广泛运用于微分方程的求解问题中 )(zp)(zq0z和和在选定的点在选定的点的邻域中是解析的，那么的邻域中是解析的，那么点点0z方程方程3.1.1的常点的常点. 假设选定的点假设选定的点 0z)(zp)(zq

4、是是或或的奇点，那么点的奇点，那么点 0z叫作方程叫作方程3.1.1的奇点的奇点 叫作叫作1方程的常点和奇点概念方程的常点和奇点概念 关于线性二阶常微分方程在常点邻域上的级数解，有下面的定理)(zp)(zq0zRzz0和和为点为点的邻域的邻域中的解析函数，中的解析函数， 那么方程在这圆中存在独一的解析解那么方程在这圆中存在独一的解析解 ( ) zw满足满足00(),zCw01()zCw0,C1C初始条件初始条件，其中，其中是恣意给定的复常数是恣意给定的复常数0zRzz0既然线性二阶常微分方程在常点既然线性二阶常微分方程在常点的邻域的邻域上存在独一的解析解，上存在独一的解析解， 00( )()k

5、kkzazzw3.1.2其中其中012,ka a aa为待定系数为待定系数 分别为零，找出系数分别为零，找出系数012,ka a aa之间的递推关系，之间的递推关系， 0C1C最后用已给的初值最后用已给的初值，来确定各个系数来确定各个系数 ), 2 , 1 , 0(kak从而求得确定的级数解从而求得确定的级数解 下面以下面以阶勒让德方程为例，详细阐明级数解法的步骤阶勒让德方程为例，详细阐明级数解法的步骤 l推导解的过程仅供了解求解的方法，读者可直接参考其结论推导解的过程仅供了解求解的方法，读者可直接参考其结论.由分别变量法得到了勒让德方程，下面讨论在由分别变量法得到了勒让德方程，下面讨论在 0

6、0 x邻域上求解邻域上求解l阶勒让德方程阶勒让德方程 0) 1(2)1 (2 yllyxyx01) 1(1222 yxllyxxy212)(xxxp21) 1()(xllxq在在 00 x，单值函数，单值函数 0)(0 xp) 1()(0llxq，均为有限值，它们必然在均为有限值，它们必然在00 x解析解析 00 x是方程的常点根据常点邻域上解的定理，是方程的常点根据常点邻域上解的定理，解具有泰勒级数方式解具有泰勒级数方式. 0)(kkkxaxy0)(kkkxaxy3.1.3 泰勒级数方式的解，将其代入勒氏方程可得系数间的递推关系2()(1), 0,1,2,(1)(2)kklk lkaakkk

7、 3.1.410,aa, 3 , 2,kak首先在首先在3.1.4中令中令 ,2 , 4 , 2 , 0 mk 可得偶次项的系数可得偶次项的系数20(2) (22)(1)(3) (21)( 1)(2 )!mml llmlllmaam (3.1.5 ), 12 , 5 , 3 , 1mk令令，那么可得奇次项的系数，那么可得奇次项的系数 211(1)(3) (21)(2)(4) (2 )( 1)(21)!mmlllmlllmaam (3.1.6)240351(1)(2)(1)(3)( )12!4!(1)(2)(1)(3)(2)(4) 3!5! = ( )( )lll ll llly xaxxlll

8、llla xxxp xq x( )lp x( )lq xl不是整数时不是整数时 ( ),lp x( )lq x，无穷级数，容易求无穷级数，容易求得其收敛半径均为得其收敛半径均为1 1x时，时， ( ),lp x( )lq x发散于无穷发散于无穷 ln是非负整数是非负整数 042nnaa递推公式递推公式3.1.4 n是偶数时，是偶数时， ( )lp x是一个是一个次多项式，但函数次多项式，但函数 n( )lq x1x为在为在 处发散至无穷的无穷级数处发散至无穷的无穷级数 n是奇数时，是奇数时， ( )lq xn( )lp x1x是是次多项式，而次多项式，而依然是在依然是在处无界的无穷级数处无界的

9、无穷级数 l( ),lp x( )lq x一个是多项式，另一个一个是多项式，另一个是无界的无穷级数是无界的无穷级数 l是非负整数是非负整数n因在实践问题中普通总要求有界解因在实践问题中普通总要求有界解 把系数递推公式把系数递推公式3.1.4改写成改写成 2(1)(2) (2)()(1)kkkkaaknnk nk (3.1.8)于是可由多项式的最高次项系数于是可由多项式的最高次项系数na来表示其它各低阶项系数来表示其它各低阶项系数nnannna)12(2)1(2nnnannnnnnannna) 32)(12 ( 42) 3)(2)(1() 32 ( 4) 3)(2(242(2 )!, 1,2,3

10、,2 ( !)nnnann (3.1.9)这样取主要是为了使所得多项式在这样取主要是为了使所得多项式在 1x处取值为处取值为1，即实现归一化，即实现归一化. 可得系数的普通式为可得系数的普通式为2(22 )!( 1), (2)2 !()!(2 )!knknnkak nk n k nk (3.1.10)因此，我们得出结论：因此，我们得出结论：2ln是非负偶数时，勒让德方程有解是非负偶数时，勒让德方程有解 22(2 )!(22)!( )2 ( !)2 (1)!(2)!lllllllp xxxlll220(22 )!( 1)2!()!(2 )!lklklklkxk lklk 3.1.1121ln是正

11、奇数时，勒让德方程有解是正奇数时，勒让德方程有解1220(22 )!( )( 1)2!()!(2 )!lklkllklkp xxk lklk (3.1.12)对上述讨论进展综合，假设用对上述讨论进展综合，假设用 2l表示不大于表示不大于 2l的整数部分，的整数部分，用大写字母用大写字母P写成一致方式解写成一致方式解220(22 )!P ( )( 1)2!()!(2 )!lklkllklkxxk lklk3.1.13 我们曾经指出，在我们曾经指出，在 ln是非负整数时，勒让德方程的是非负整数时，勒让德方程的根本解组根本解组 )(xpn)(xqn 中只需一个多项式，这个多项式中只需一个多项式，这个

12、多项式勒让德多项式勒让德多项式 P ( )nx，也称为第一类勒让德函数；，也称为第一类勒让德函数； 另一个是无穷级数，这个无穷级数称为第二类勒让德函数，另一个是无穷级数，这个无穷级数称为第二类勒让德函数， 记为大写的记为大写的 Q ( )nx可以得出它们的关系可以得出它们的关系22dQ ( )P( )(1-) ( )lllxxxxP x3.1.14经过计算后，经过计算后， Q ( )lx可以经过对数函数及勒让德多项式可以经过对数函数及勒让德多项式 P ( )lx表示出，所以第二类勒让德函数的普通表达式为表示出，所以第二类勒让德函数的普通表达式为 221011243Q ( )P( )lnP( )

13、21(21)(1)llllkkxlkxxxxklk (3.1.15)特别地特别地20121 11113Q( )ln; Q( )ln1 ; Q( )(31)ln2 12 1412xxxxxxxxxxxx(3.1.16) 可以证明这样定义的可以证明这样定义的 Q ( )lx，其递推公式和，其递推公式和 P ( )lx的递推公式具有一样的方式而且在普通情况下勒让德方程的递推公式具有一样的方式而且在普通情况下勒让德方程2dd(1)(1)0ddyxl lyxx的通解为两个独立解的线性叠加的通解为两个独立解的线性叠加12( )P ( )Q ( )lly xcxcx3.1.17但是在满足自然边境即要求定解问

14、题在边境上有限但是在满足自然边境即要求定解问题在边境上有限Q ( )lx的方式容易看出，它在端点的方式容易看出，它在端点 1x处是无界的，处是无界的，故必需取常数故必需取常数 20c 从而勒让德方程的解就只需从而勒让德方程的解就只需 第一类勒让德函数即勒让德多项式：第一类勒让德函数即勒让德多项式： P( )lx 注：法国数学家勒让德注：法国数学家勒让德A.M.Legendre 17251833最早专最早专门研讨过在球坐标系中求解数学物理方程问题时所遇到的一门研讨过在球坐标系中求解数学物理方程问题时所遇到的一类特殊函数由于这类函数具有多项式方式，所以命名这类类特殊函数由于这类函数具有多项式方式，

15、所以命名这类函数为勒让德函数函数为勒让德函数.综合可得如下结论：综合可得如下结论：1当当 l不是整数时，勒让德方程在区间不是整数时，勒让德方程在区间1 , 1上无有界的解上无有界的解 2当当 ln为整数时，勒让德方程的通解为为整数时，勒让德方程的通解为 12( )P ( )Q ( )nny xcxcx，其中，其中 P ( )nx称为第一类勒让德函数即勒让德多项式，称为第一类勒让德函数即勒让德多项式， Q ( )nx称为第二类勒让德函数称为第二类勒让德函数. ln为整数，且要求在自然边境条件下为整数，且要求在自然边境条件下(即要求在即要求在 有界解的情况下有界解的情况下)求解，那么勒让德方程的解

16、只需第一求解，那么勒让德方程的解只需第一 类勒让德函数即勒让德多项式类勒让德函数即勒让德多项式P ( )nx由于第二类由于第二类勒让德函数勒让德函数 Q ( )nx在闭区间在闭区间 1 , 1上是无界的上是无界的13.1.3 奇点邻域的级数解法：贝塞尔方程的求解奇点邻域的级数解法：贝塞尔方程的求解前一章分别变量法中，我们引出了贝塞尔方程，本节我前一章分别变量法中，我们引出了贝塞尔方程，本节我我们来讨论这个方程的幂级数解法按惯例，仍以我们来讨论这个方程的幂级数解法按惯例，仍以 x表示自变量，以表示自变量，以 y表示未知函数，那么表示未知函数，那么 阶贝塞尔方程为阶贝塞尔方程为22222dd()0

17、ddyyxxxyxx (3.1.18)其中，其中， 为恣意实数或复数这里特用为恣意实数或复数这里特用 而不是而不是 n，表示可以取恣意数但在本书中，表示可以取恣意数但在本书中 由于方程的系数中出现由于方程的系数中出现 只限于取实数，只限于取实数，22项，所以在讨论时，无妨暂先假定项，所以在讨论时，无妨暂先假定 0留意在贝塞尔方程中，由于留意在贝塞尔方程中，由于 221( ),( )1p xq xxx故故 0 x 为为 ( ), ( )p x q x的奇点的奇点 下面引见奇点邻域的幂级数解法：贝塞尔方程的求解下面引见奇点邻域的幂级数解法：贝塞尔方程的求解设方程设方程13.1.18的一个特解具有以

18、下幂级数方式：的一个特解具有以下幂级数方式： )(2210kkcxaxaxaaxy0kkckxa00a (3.1.19其中，常数其中，常数 c和和 ), 2 , 1 , 0(kak可以经过把可以经过把 y和它的导数和它的导数 yy ,代入代入3.1.18来确定来确定 将将3.1.19及其导数代入及其导数代入3.1.18后，得后，得 22010c kkkckckckxa x化简后写成化简后写成2222212012210ccc kkkkcaxcaxc kaax要使上式恒成立，必需使得各个要使上式恒成立，必需使得各个 x次幂的系数为零，次幂的系数为零， 从而得以下各式：从而得以下各式： 220()0

19、a c (3.1.20)22110ac (3.1.21)2220,(2,3,)kkckaak(3.1.22)由由3.1.20 得得 c ；代入；代入3.1.21，得，得 01a现暂取现暂取 c，代入，代入3.1.22得得 2(2)kkaakk (3.1.23)由于由于 01a，由，由3.1.23知：知： 07531aaaa,642aaa都可以用都可以用 0a表示，即表示，即020406022(22)2 4(22)(24)2 4 6(22)(24)(26)( 1)2 4 62(22)(24)(22)mmaaaaaaaamm 02( 1)2!(1)(2)()mmamm由此知由此知3.1.19的普通

20、项为的普通项为202( 1)2!(1)(2)()mmma xmm0a是一个恣意常数，令是一个恣意常数，令 0a取一个确定的值，就得取一个确定的值，就得3.1.18 的一个特解我们把的一个特解我们把 0a取作取作 012(1)a这样选取这样选取 0a与后面将引见的贝塞尔函数的母函数有关与后面将引见的贝塞尔函数的母函数有关 运用以下恒等式运用以下恒等式 ()(1)(2)(1) (1)(1)mmm 使分母简化，从而，使使分母简化，从而，使3.1.19中普通项的系数变成中普通项的系数变成221( 1)2! (1)mmmamm 3.1.24 以3.1.24代入3.1.19得到贝塞尔方程3.1.18的一个

21、特解2120( 1) (0)2! (1)mmmmxymm用级数的比值判别式或称达朗贝尔判别法可以断定用级数的比值判别式或称达朗贝尔判别法可以断定 这个级数在整个数轴上收敛这个无穷级数这个级数在整个数轴上收敛这个无穷级数 所确定的函数，称为所确定的函数，称为 阶第一类贝塞尔函数，记作阶第一类贝塞尔函数，记作220J ( )( 1) (0)2! (1)mmmmxxmm (3.1.25至此，就求出了贝塞尔方程的一个特解至此，就求出了贝塞尔方程的一个特解 ( )Jx另外，当另外，当 c 即取负值时，用同样方法可即取负值时，用同样方法可得贝塞尔方程得贝塞尔方程3.1.18的另一特解的另一特解220J (

22、 )( 1),2! (1)mmmmxxmm 3.1.26比较比较3.1.25与与3.1.26可见，只需在可见，只需在3.1.25的右的右端把端把 换成换成 ，即可得到，即可得到3.1.26故不论故不论 是正是正 数还是负数，总可以用数还是负数，总可以用3.1.25一致地表达第一类贝一致地表达第一类贝塞尔函数塞尔函数讨论：讨论：(1)当当 不为整数时，例如不为整数时，例如 J ( )x为分数阶贝塞尔函数：为分数阶贝塞尔函数： 1122J ( ),J ( ),xx等等, 当当 0 x时，时， 1J ( )()0(1) 21J( )()(1) 2xxxx 故这两个特解故这两个特解 J ( )x与与

23、J( )x是线性无关的，由齐次线是线性无关的，由齐次线性常微分方程的通解构成法知道，性常微分方程的通解构成法知道，3.1.18的通解为的通解为J ( )J( )yAxBx 3.1.28其中，其中， BA,为两个恣意常数为两个恣意常数 根据系数关系，且由达朗贝尔比值法根据系数关系，且由达朗贝尔比值法222lim0mmmaa 故级数故级数 J ( )x和和 J( )x的收敛范围为的收敛范围为 x0(2)当当 n为正整数或零时注为正整数或零时注:以下推导凡用以下推导凡用 n即表整数，即表整数， )!() 1(mnmn故有故有220J ( )( 1) (0,1,2, )2!()!nmmnnmmxxnm

24、 n m3.1.27称称 J ( )nx为整数阶贝塞尔函数易得为整数阶贝塞尔函数易得 24602235111J ( )1 ( )( )( )2(2!)2(3!)211J ( )( )( )22! 22!3! 2xxxxxxxx 需留意在取整数的情况下，需留意在取整数的情况下， J ( )nx和和 J( )nx线性相关，线性相关，这是由于这是由于: 20( )2J( )( )( 1)2! (1)mnmnmxxxmmn由于由于 n是零或正整数，只需是零或正整数，只需 mn，那么，那么 1mn是零或负整数，而对于零或负整数的是零或负整数，而对于零或负整数的 函数为无穷大，所以上面的级数实践上只从函数

25、为无穷大，所以上面的级数实践上只从 mn开场假设令开场假设令 lmn，那么，那么 l从零开场，故从零开场，故 2 220( )( )22J ( ) ( )( 1)( 1) ( )( 1)2()!2!()!lnlnn lnnlnllnxxxxxn l ll n l J( )( 1) J ( )nnnxx 可见正、负可见正、负 n阶贝塞尔函数只相差一个常数因子阶贝塞尔函数只相差一个常数因子 n) 1(这时贝塞尔方程的通解需求求出与之线性无关的另一个特解这时贝塞尔方程的通解需求求出与之线性无关的另一个特解 我们定义第二类贝塞尔函数又称为诺依曼函数为我们定义第二类贝塞尔函数又称为诺依曼函数为 cos(

26、 )J ( ) J ( )N ( )sin( )xxx是一个特解，它既满足贝塞尔方程，又与是一个特解，它既满足贝塞尔方程，又与 J ( )nx线性无关线性无关 这样我们可以得到这样我们可以得到2100200( 1) ( )2212N ( )J ( )(ln)2( !)1mmmmkxxxxmk12021100021(1)!N ( )J ( )(ln)( )2!2( 1) ( )1112 ()!()!11nnmnnmmnmn mmmkkxnmxxxmxm nmkk 其中，其中， 0.5772为欧拉常数为欧拉常数可以证明这个函数，确实是贝塞尔方程的一个特解，可以证明这个函数，确实是贝塞尔方程的一个特

27、解， 而且是与而且是与 J ( )nx线性无关的由于当线性无关的由于当 0 x时，时， J ( )nx为有限值，而为有限值，而 N ( )nx为无穷大为无穷大 综述：综述：1当当 n，即不取整数时，其贝塞尔方程的，即不取整数时，其贝塞尔方程的通解可表示为通解可表示为J ( )J( )yAxBx2不论不论 能否为整数，贝塞尔方程的通解都可能否为整数，贝塞尔方程的通解都可表示为表示为J ( )N ( )yAxBx其中其中 BA,为恣意常数，为恣意常数， 为恣意实数为恣意实数 从数学物理偏微分方程分别变量法引出的常微分方程从数学物理偏微分方程分别变量法引出的常微分方程往往还附有边境条件，这些边境条件可以是明确写出来的，往往还附有边境条件，这些边境条件可以是明确写出来的，也可以是没有写出来的所谓自然边境条件满足这些边境也可以是没有写出来的所谓自然边境条件满足这些边境条件的非零解使得方程的参数取某些特定值这些特定值条件的非零解使得方程的参数取某些特定值这些特定值叫做本征值或特征值、或固有值，相应的非零解叫做叫做本征值或特征值、或固有值，相应的非零解叫做本征函数特征函数、固有函数求本征值和