高中数学——数学归纳法(1)

1、问题问题 1:1:袋中有袋中有5 5个小球，如何证明它们都是个小球，如何证明它们都是 绿色的？绿色的？ 问题问题 2:2:完全归纳完全归纳法法 不不完全归完全归纳法纳法 11,11,2,.1nnnnaaaana 对对于于数数列列已已知知，猜猜想想其其通通项项公公式式111a 212a 1nan 313a 问题问题3：某人看到树上乌鸦是黑的，某人看到树上乌鸦是黑的，深有感触地说全世界的乌鸦都是黑的。深有感触地说全世界的乌鸦都是黑的。 问题情境一问题情境一（2）验证前一问题与后一问题有递推关系；）验证前一问题与后一问题有递推关系； （相当于前牌推倒后牌）（相当于前牌推倒后牌） 如何解决不完全归纳法

2、存在的问题呢？如何解决不完全归纳法存在的问题呢？ 如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？能做到？（1 1）处理第一个问题；（相当于推倒第一块）处理第一个问题；（相当于推倒第一块骨牌）骨牌）问题情境三问题情境三思考思考:问题问题2中证明数列的通项公式中证明数列的通项公式 这个猜想这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗?你能类比多米诺骨你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗牌游戏解决这个问题吗?1nan由条件知由条件知,n=1时猜想成立时猜想成立.1kak111kak如果如果n=k时猜想成立时猜想成立,即即 ,那么当那么当n=k

3、+1时猜时猜想也成立想也成立,即即事实上事实上,1111111kkkakaakk即即n=k+1时猜想也成立时猜想也成立.2.3 2.3 数学归纳法数学归纳法(1)(1)数学归纳法数学归纳法【命题成立的连命题成立的连续性续性】0nn验证时命题成立01nk knnk若时命题成立证明时命题也成立0nn命题对从 开始所有的正整数 都成立框图表示框图表示6)12)(1(3212222 nnnn11(11)(21)162证 明 ： (1)当 n=1时 ， 左 边 =1右 边， 等 式 成 立222222211231(1)(21)(1)6(1)(21)6(1)6(1)(2)(23)(1)(1)121)166

4、nkkkk kkkk kkkkkkkkk那 么 当时左 边（2222(2(1)(21)1236nkk kkk） 假 设 当时 成 立 ， 即例例1.用数学归纳法证明用数学归纳法证明1nk*即当时等式也成立由（1）和（2）可知等式对任何nN 都成立nn-1n1已知数列a 为等为q,求证:通项：公式为a = a qnn-1nn-1练习练习比数列，比数列，公比公比（提示：a = qa）（提示：a = qa）1.用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明等式 1+2+3+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时，时，当当n1时，左边所得项是时，左边所得项是 ；当当n2时，左边所得项是时，左边所得项是 ；1+2+31+2+3+4+522111,11nnaaaaan2.用 数 学 归 纳 法 证 明nN,a1在 验 证成 立 时 ， 左 边 是 （ ）A、1B、1+aC、1+a+a2D、1+a+a2+a3C课堂练习：课堂练习：)1n2).(1n2(1,.,751,531,311 1.1.数学归纳法是一种证明与数学归纳法是一种证明与正整数正整数有关的数有关的数学命题的重要方法学命题的重要方法. .主要有两个步骤一个结论主要有两个步骤一个结论: : （1）证明当）证明当n取第一个值取第一个值n0（如（如 n0=1或或2等）时等）时结论正确结论正确（