scut7-2二重积分的计算ppt课件

1、1一、二重积分的几何意义一、二重积分的几何意义二、在直角坐标系下计算二重积二、在直角坐标系下计算二重积分分第二节第二节 二重积分的计算二重积分的计算 三、在极坐标系下计算二重积分三、在极坐标系下计算二重积分四、二重积分的换元法四、二重积分的换元法五、小结五、小结六、作业六、作业2(2)(3) (1)在在D上的二重积分就等于上的二重积分就等于二重积分是二重积分是二重积分是二重积分是而在其它的部分区域上是负的而在其它的部分区域上是负的. 这些部分区域上的这些部分区域上的柱体体积的代数和柱体体积的代数和.那末那末,),(yxf,0),(时时当当 yxf,0),(时时当当 yxf柱体体积的负值柱体体积

2、的负值;柱体体积柱体体积;在在D上的若干部分区域上是正的上的若干部分区域上是正的,),(yxf当当一、二重积分的几何意义一、二重积分的几何意义3二、在直角坐标系下计算二重积分二、在直角坐标系下计算二重积分(1) 积分区域为：积分区域为：, bxa ).()(21xyx 其中函数其中函数 、)(1x )(2x b)(2xy )(1xy aDX型型,ba在区间在区间 上连续上连续.xOyxOy)(1xy )(2xy Dba4的值等于的值等于)0),(d),( yxfyxfD 计算截面面积计算截面面积),(yxfz ( 红色部分即红色部分即A(x0) )以以D为底为底,以曲面以曲面为顶的曲顶柱体的体

3、积为顶的曲顶柱体的体积.应用计算应用计算“平平行截面面积为行截面面积为已知的立体求已知的立体求体积的方法体积的方法.用二重积分的几何意义说明其计算法用二重积分的几何意义说明其计算法是区间是区间)(),(0201xx 为曲边的曲边梯形为曲边的曲边梯形.),(0yxfz 为底为底,曲线曲线 xyzO),(yxfz D)(2xy )(0 xA1( )yx ab0 x5是区间是区间 为底为底,)(),(0201xx 曲线曲线 为曲边为曲边 的曲边梯形的曲边梯形.),(0yxfz )(01x ,bax yyxfxAxxd),()()()(21 有有: DyxfV d),( baxxAd)(xbad )d

4、),()()(21 xxyyxf )(02x yyxfxAd),()(00 先对先对y后对后对x的二次积分的二次积分 Dyxf d),( baxxyyxfx)()(21d),(d xyzO),(yxfz D)(1xy )(2xy ab0 x)(0 xA6d( , )0( , )( , ).Df x yf x yf x y 当当时时，的的物物理理意意义义表表示示以以为为面面密密度度的的非非均均匀匀薄薄片片的的质质量量注：注：也可以从二重积分的物理意义来理解上述也可以从二重积分的物理意义来理解上述二次积分公式二次积分公式yyxfxAxxd),()()()(21 xbad )d),()()(21 x

5、xyyxf 细杆的质量细杆的质量非均匀薄片的质量非均匀薄片的质量( , )dDf x y xyzO),(yxfz D)(2xy bax1( )yx 7(2) 积分区域为：积分区域为：,dyc )()(21yxy D)(2yx cd)(1yx Y型型 Dyxf d),(先对先对x后对后对y的二次积分的二次积分也即也即 dcyyxyxfy)()(21d),(d Dyxf d),(其中函数其中函数 、)(1y )(2y ,dc在区间在区间 上连续上连续.xOyxOyD)(2yx cd)(1yx dcyd)d),( xyxf)(1y )(2y 8abdc 计算结果一样.又是又是Y型型:(3)积分区域积

6、分区域D既是既是X型型:, bxa )()(21xyx , dyc )()(21yxy 但可作出适当选择但可作出适当选择.xyO(4) 若区域如图若区域如图,在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式. D(用积分区域的可加性质用积分区域的可加性质)D1、D2、D3都是都是X型区型区域域则必须分割则必须分割. 321DDDxyO3D2D1D9例例1（P88例例2）解解1d22Dxy d2211xxxxy 9.4 1:12,Dxyxx d22xyy d21x d22,2,DxDxyxy 求求其其中中 是是由由直直线线和和1.xy 双双曲曲线线围围成成的的闭闭区区域域

7、将将D看成看成X型区域型区域1xxxyOyx 1x 1xy )d231( xxx 10例例1 1（P88P88例例2 2）解解2d22Dxy 9.4 111:1,22Dyxyd22xxy d112y d22,2,DxDxyxy 求求其其中中 是是由由直直线线和和1.xy 双双曲曲线线围围成成的的闭闭区区域域将将D看成看成Y型区域型区域1y2xyOyx 1x 1xy D1D22:12,2Dyyx dd122222DDxxyy d22xxy d21y y2第第一一种种方方法法计计算算量量小小11 dyey2无无法法用用初初等等函函数数表表示示解解 积积分分时时必必须须考考虑虑次次序序 Dydxdy

8、ex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e 12解：解：:1, 11D xyx 221Dyxy dxdy 12211d1dxxyxyy 2.3 12222111d1d(1)2xxxyxy 1223/2111(1)d3xyxx 1311(|1)d3xx 13例例4dd1120sinxIxyy 对对y的积分的积分而它对而它对x的积分的积分交换积分次序的方法是交换积分次序的方法是:改写改写D为为:oxy 分析分析所以将二次积分先所以将二次积分先将所给的积分域将所给的积分域(1)(2) 画出积分域的草图画出积分域的草图(3)计算二次积分计算二次积

9、分不能用基本积分法算出不能用基本积分法算出,xy )1 , 1(可用基本积分法算出可用基本积分法算出.交换积分次序交换积分次序. .用联立不等式表示用联立不等式表示 D:, 10 x1 yx, 10 yyx 02sin y14dd1120sinxIxyy d120sinyyy 12201sind2yy 1(1cos1).2 d0yx d120sin yy oxyxy )1 , 1(, 10: yDyx 02sinDy d 15xy 1原原式式 ydxyxfdy1010),(.解解积分区域如图积分区域如图16例例 交换积分次序：交换积分次序：解解 积分区域积分区域: xxxyyxfxyyxfx2

10、0212010d),(dd),(d2原式原式= 10dyy 2 xyxfd),(211y 22xxy xy 2xyO12生物2019-04-1617axy2 解解= ayaaaydxyxfdy02222),(原式原式 aayaadxyxfdy0222),(.),(2222 aaaaydxyxfdy22xaxy 22yaax a2aa2a18又是能否进行计算的问题又是能否进行计算的问题. .计算二重积分时计算二重积分时, , 恰当的选取积分次序恰当的选取积分次序十分重要十分重要, , 它不仅涉及到计算繁简问题它不仅涉及到计算繁简问题, , 而且而且凡遇如下形式积分凡遇如下形式积分: :,dsin

11、xxx ,d2xex ,lnd xx等等等等, ,一定要放在一定要放在后面积分后面积分. .,dsin2xx ,dcos2xx ,d2xex ,dxexy 19解解 dxexy不能用初等函数表示不能用初等函数表示先先改改变变积积分分次次序序.原原式式 xxxydyedxI2211 121)(dxeexx.2183ee 2xy xy 202xy 解解 (1)先去掉绝对值符号先去掉绝对值符号,如图如图 d)(12 Dxy 12112d)(dxyxyx1115 例例5 d2 Dxydd21210()xxxyy d)(22 Dyx先对先对y积分简单积分简单DD1D2xyO11 11 d2.:11,11

12、.DyxDxy 计算其中计算其中(1):11, 01Dxy 所所确确定定的的范范围围；(2):22, 01Dxy 所所确确定定的的范范围围；D2212xy 解解 (2) 仿照仿照(1)的方法，同时充分利用可加性的方法，同时充分利用可加性 d)(12 Dxydd211212()xxyxy 225 例例5 d2 Dxydd21220()xxyy d)(22 Dyx先对先对y积分简单积分简单DD1D2xyO22 1d2.:11,11.DyxDxy 计算其中计算其中(2):22, 01Dxy 所所确确定定的的范范围围；D2D1d122()Dyx d212()DDxy 22例例7求体积两个直交圆柱体在第

13、一卦限相交所得的立体体积求体积两个直交圆柱体在第一卦限相交所得的立体体积23解解曲面围成的立体如图曲面围成的立体如图.24, 10 yx,xyyx 所所求求体体积积 DdxyyxV )( 1010)(xdyxyyxdx 103)1(21)1(dxxxx.247 所所围围立立体体在在xoy面面上上的的投投影影是是25 补充 若区域若区域D关于关于x轴对称轴对称,假设假设 f(x, y)关于关于y为偶函数为偶函数 Dyxf d),(oxyD1）即即),(),(yxfyxf D1为为D在第在第 一象限中的部分一象限中的部分,那么那么二重积分的对称性质二重积分的对称性质 1d),(2Dyxf 二重积分

14、的对称性二重积分的对称性0),(),(yxfyxf 即即若若f (x, y)关于关于y为奇函数为奇函数 26这个性质的几何意义如图这个性质的几何意义如图:OxyzOxyz 区域区域D关于关于x轴对称轴对称f(x,y)关于坐标关于坐标y为偶函数为偶函数 区域区域D关于关于x轴对称轴对称f(x,y)关于坐标关于坐标y为奇函数为奇函数27若区域若区域D关于关于y轴对称轴对称,假设假设 f(x, y)关于关于x为偶函数为偶函数 Dyxf d),(同理：同理：(, )( , )fx yf x y 即即）D1为为D在第在第 一象限中的部分一象限中的部分,那么那么 1d),(2Dyxf 0(, )( , )

15、,fx yf x y 即即若若f (x, y)关于关于x为奇函数为奇函数 oxyD128设设D为圆域为圆域(如图如图) d2Dy d212 Dy d3Dy0 d2Dx d222 Dx d3Dx0D1为上半圆域为上半圆域yxOD2为右半圆域为右半圆域yxO例例.29,d)sin()sin(22 DyxxyA 计计算算二二重重积积分分 解解D积积分分区区域域)sin()sin(22yxxy 和和由性质得由性质得 Dxy d)sin(2 DyxxyA d)sin()sin(22000 例例,是是奇奇函函数数和和分分别别关关于于yx,轴轴都都对对称称轴轴、关关于于yx d)(sin2yxD ( ,)1

16、1, 11Dx yxy 其其中中30 ).(ddsincos等于等于则则yxyxxyD 为顶点的三角形区域为顶点的三角形区域,(A).ddsincos21yxyxD (B).dd21yxxyD (C) .ddsincos41yxyxxyD (D) 0.A1991年研究生考题年研究生考题, 选择选择,3分分)1, 1()1 , 1(),1 , 1( 和和平平面面上上以以是是设设xOyDD1是是D在第一象限的部分在第一象限的部分,31 yxyxxyDddsincos D1D2D3D4记记 I=则则I= I1+ I2, 其其中中I1=yxxyDdd I2=yxyxDddsincos 而而 I1 =y

17、xxyDdd yxxyDDdd21 yxxyDDdd43 D1与与D2关于关于y轴对轴对称称D3与与D4关于关于x轴对轴对称称xy关于关于x和关于和关于y都是奇函数都是奇函数000 )1 , 1( )1 , 1( )1, 1(xyO32而而 I2 =yxyxDddsincos yxyxDDddsincos21 yxyxDDddsincos43 是关于是关于x的偶函数的偶函数,yxyxDddsincos21 关于关于y的奇函数的奇函数. 所以所以 yxyxDddsincos21 yxyxDddsincos21 21III 0 yxsincosD1D2D3D4)1 , 1( )1 , 1(xyO

18、)1, 1(33 今后在计算重积分利用对称性简化计算时, 注意注意被积函数的奇偶性被积函数的奇偶性. . 积分区域的对称积分区域的对称性性,要特别注意考虑两方面要特别注意考虑两方面:34三、在极坐标系下计算二重积分三、在极坐标系下计算二重积分irr iirrr i 21( )2iiiir rr iiir r OADi ii i ( ,)iir 21()2iiirr212iircos,iiir siniiir ,)ii i i则则( (35iiinif ),(lim10即即 Dyxf d),( Dyxyxfdd),(也即也即d dr r 极坐标系中的面积元素极坐标系中的面积元素 d d( cos

19、 , sin )rDf rrr r d d( cos , sin )rDf rrr r nif1(cos,iir iiir sin)iir 0lim 36 1( )r 2( )r d d( cos , sin )Df rrr r (1) 积分区域积分区域D:, 12( )( )r AO1( )r 2( )r D d)(1 d( cos , sin )f rrr r )(2 OAD37D dd( )0( cos , sin )f rrr r (2)积分区域积分区域D(曲边扇形曲边扇形):, 0( )r d d( cos , sin )Df rrr r AOAO D ( )r ( )r 38d d

20、( cos , sin )Df rrr r dd2( )00( cos , sin )f rrr r 极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积d dDr r (3) 积分区域积分区域D:,20 0( )r DoA( )r 注注一般一般,在极坐标系下计算在极坐标系下计算:r 先对 再对 积分先对 再对 积分39例例1 1 写写出出积积分分 Ddxdyyxf),(的的极极坐坐标标二二次次积积分分形形式式，其其中中积积分分区区域域,11| ),(2xyxyxD 10 x.1 yx122 yx解解在极坐标系下在极坐标系下 sincosryrx所所以以圆圆方方程程为为 1 r,直直线线方方程程为为 co

21、ssin1 r, Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1 rdrrrfd40例例 2 2 计计算算dxdyeDyx 22，其其中中 D 是是由由中中心心在在原原点点，半半径径为为a的的圆圆周周所所围围成成的的闭闭区区域域.解解在在极极坐坐标标系系下下D：ar 0， 20 .dxdyeDyx 22 arrdred0202 ).1(2ae 41例例3 3 求求广广义义积积分分 02dxex.解解| ),(2221RyxyxD 2| ),(2222RyxyxD 0, 0 yx0 ,0| ),(RyRxyxS 显显然然有有 21DSD , 022 yxe 122Dyxdxdye

22、 Syxdxdye22.222 Dyxdxdye1D2DSS1D2DRR242又又 SyxdxdyeI22 RyRxdyedxe0022;)(202 Rxdxe 1I 122Dyxdxdye Rrrdred0022 );1(42Re 同理同理 2I 222Dyxdxdye);1(422Re 43当当 R时时,41 I,42 I故故当当 R时时,4 I即即 20)(2dxex4 ,所所求求广广义义积积分分 02dxex2 .,21III );1(4)()1(4222220RRxRedxee 44例例 4 4 计算计算dxdyyxD)(22 ，其，其 D 为由圆为由圆yyx222 ，yyx422

23、及直线及直线yx3 0 ，03 xy 所围成的平面闭区域所围成的平面闭区域.解解32 61 sin4 r sin2 rdxdyyxD)(22 36sin4sin22 rdrrd).32(15 yyx422 yyx222 03 yx03 xy下次从此开始45解解由由对对称称性性，可可只只考考虑虑第第一一象象限限部部分分， 注注意意：被被积积函函数数也也要要有有对对称称性性. Ddxdyyxyx2222)sin( 4 12222)sin(Ddxdyyxyx 210sin42rdrrrd . 4 14DD 1D46例例 6 6 求曲线求曲线 )(2)(222222yxayx 和和222ayx 所围成

24、的图形的面积所围成的图形的面积.解解根根据据对对称称性性有有 14DD 在在极极坐坐标标系系下下)(2)(222222yxayx ,2cos2 ar ,222arayx 1D47由由 arar 2cos2, 得得交交点点)6,( aA , 所所求求面面积积 Ddxdy 14Ddxdy 2cos2064aardrd).33(2 a48二重积分在极坐标下的计算公式二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用对称性）（在积分中注意使用对称性）小结小结 Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()()(21 rdrrrfd.)sin,cos()(0 rdrrrfd.)sin,cos()

25、(020 rdrrrfd 49 交交换换积积分分次次序序: ).0(),(cos022 adrrfdIa 思考题思考题50,cos022: arDoxy思考题解答思考题解答 cosar Daararccos ararccos .),(arccosarccos0 araradrfdrI 51一、一、 填空题填空题: :1 1、 将将 Ddxdyyxf),(, ,D为为xyx222 , ,表示为极坐表示为极坐标形式的二次积分标形式的二次积分, ,为为_._.2 2、 将将 Ddxdyyxf),(, ,D为为xy 10, ,10 x, ,表表示为极坐标形式的二次积分为示为极坐标形式的二次积分为_._

26、.3 3、 将将 xxdyyxfdx32220)(化为极坐标形式的二化为极坐标形式的二次积分为次积分为_._.4 4、 将将 2010),(xdyyxfdx化为极坐标形式的二次积分化为极坐标形式的二次积分为为_._.练练 习习 题题525 5、 将将 xxdyyxdx221)(2210化为极坐标形式的二次积化为极坐标形式的二次积分为分为_,_,其值为其值为_._.二、二、 计算下列二重积分计算下列二重积分: : 1 1、 Ddyx )1ln(22, ,其中其中D是由圆周是由圆周122 yx 及坐标轴所围成的在第一象限内的区域及坐标轴所围成的在第一象限内的区域. . 2 2、 Ddyx )(22

27、其中其中D是由直线是由直线xy , , )0(3, aayayaxy所围成的区域所围成的区域. . 3 3、 DdyxR 222, ,其中其中D是由圆周是由圆周 Rxyx 22所围成的区域所围成的区域. . 4 4、 Ddyx 222, ,其中其中D: :322 yx. .53三、试将对极坐标的二次积分三、试将对极坐标的二次积分 cos2044)sin,cos(ardrrrfdI交 换 积 分 次交 换 积 分 次序序. .四、设平面薄片所占的闭区域四、设平面薄片所占的闭区域D是由螺线是由螺线 2 r上一段上一段 弧弧( (20 ) )与直线与直线2 所围成所围成, ,它的面密度为它的面密度为

28、22),(yxyx , ,求这薄片的质量求这薄片的质量. .五、五、 计算以计算以xoy面上的圆周面上的圆周axyx 22围成的闭区域围成的闭区域为底， 而以曲面为底， 而以曲面22yxz 为顶的曲顶柱体的体积为顶的曲顶柱体的体积. .54一、一、1 1、rdrrrfd cos2022)sin,cos(； 2 2、 1)sin(cos020)sin,cos( rdrrrfd；3 3、 sec2034)(rdrrfd；4 4、 sectansec40)sin,cos(rdrrrfd；5 5、 2cossin0401rdrrd, ,12 . .二、二、1 1、)12ln2(4 ； 2 2、414a

29、；练习题答案练习题答案55 3 3、)34(33 R； 4 4、 25. .三、三、 4420)sin,cos( drrfrdrIa araraadrrfrdr2arccos2arccos22)sin,cos( . .四、四、405 . .五、五、4323a . .56 四、二重积分的换元法四、二重积分的换元法 .sin,cosryrx间的关系为间的关系为坐标与极坐标之坐标与极坐标之平面上同一个点，直角平面上同一个点，直角的一种变换，的一种变换，坐标平面坐标平面到直角到直角标平面标平面上式可看成是从直角坐上式可看成是从直角坐xoyro 换换是是一一对对一一的的，且且这这种种变变平平面面上上的的一一点点成成，通通过过上上式式变变换换，变变面面上上的的一一点点平平即即对对于于),(),(yxMxoyrMro 57.),(),(),(),(:)3(; 0),(),(),()2(),(),()1(),(),(:),( DDdudvvuJvuyvuxfdxdyyxfDDTvuyxvuJDDvuyvuxDxoyDuovvuyyvuxxTDxoyyxf是一对一的，则有是