解析几何的最值

1、解析几何的最值求解策略湖南省武陵源一中高飞（高级教师）邮编：427400电话：解析几何最值问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点。解析几何最值有两类：一类是利用曲线的几何定义或问题的几何背景，先确定几何 上达到最值的位置，再计算；另一类是通过建立目标函数，转化为函数最值求解。本文举例探求解析几何最值问题的求解策略一利用曲线的几何定义或问题的几何背景2 2例1（辽宁卷）已知F是双曲线 务-冷=1的左焦点，A（1,4），P是双曲线右支上的动点，求|PF|+|PA|的最小值。解析:设右

2、焦点为F ，由题设知F 坐标（4,0）,根据双曲线的定义，|PF|-|PF |=4,所以|PF|+|PA| =4+|PF |+|PA|， 由题设知要使|PF|+|PA|最小，只需|PF |+|PA最小即可，|PF |+|PA|最小只需P, F ,A三点共线，最小值即4+| F A|=4+9 14 9。点评：本题考查了解析几何的最值问题，关键是要运用双曲线的定义将P到左焦点距离转化为P到右焦点距离解决。例2（四川卷）已知直线h：4x-3y *6=0和直线l2：x=-1，求抛物线y2 = 4x上一动点P到直线h和直线丨2的距离之和的最小值 解析：动点P到直线|2：x = -1的距离可转化为 P,

3、F的距离，作图可知距离之和的最小值即F到直线l1的距离d = 雪=217,4 2 七2练习，已知动点P x,y在椭圆25 y6 =1上，若 A点坐标为（3，0），|am=1，且PM AM =0，求PM的最小值解析；由条件可知点 M轨迹是以A为园心，1为半径的圆，又PM AM“ =0所以PM _ AM 所以PM 2二PA2 - AM 2二PA2 -1问题转化为求 pA的最小值，因为 P x,y在椭圆上。 则 PF e b c,a +c】即 PA >2则|pm的最小值为J3。例3（广东卷）已知曲线C： y =x2与直线I ： X - y * 2 =0交于两点A,B，记曲线C在点A和点B之间那

4、一段L与线段AB所围成的平面区域 洽边界）为D，若曲线G： x2-2ax+y2-4y+a2+曇=0与D有公共点，试求a的最小值解析：由x2-2ax+y 2-4y+a2+ =0整理得（X - a）? （y - 2=券 曲线G表示以点（a,2）为圆心，半径为5的圆，即圆心是直线 y=2上的一动点，作图分析知，曲线G与D有公共点且a取最小值时，圆G应与直线I : x - y 2 = 0相切且a<2,.二乙=7且a<2 a - - 7、212：加 255即曲线G与D有公共点时a的最小值为_ 7 , 2。点评：本题关键在于找出a取最小值时圆G的位置。二，通过建立目标函数，转化为函数最值求解2

5、 2例4设椭圆mx_ . y =1的左，右焦点分别是Fl( -c,0), F2( c,0)若E是直线y = x 2与椭圆的一个公共点，求使得|EF_|+|EF2|取最小值时椭圆的方程。解由题意，知 m+1>1 即 m>0,把y = x 2代入洛 y2 =1得(m +2 X2 +4(m +1 X +3(m +1 )=0。由也=16(m + 1 $ 12(m + 2'(m + 1 )= 4 m 1 m -2 - 0，解得 m _2 或 m _ -1(舍去)m _ 2此时 |EF1|+|EF2|= 2 . m 1 _ 2.3 当且仅当m=2时|EF1|+|EF2|取得最小值2 3

6、此时椭圆方程为 与，y2 =1。解析几何最值问题要根据题设条件建立等量与不等关系，再运用函数，方程，不等式等知识求得最值，关键是不等关系的确定。2 2例5已知椭圆C: X_ 23 =1，设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点，当|MP|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数 m的取值范围；若经过椭圆右焦点 作直线I交椭圆于A,B两点，求：ABF1面积的最大值。解 设点P(x,y)为椭圆上的动点则 - 2沁乞2 ,|MP|2= y2 (x - m)2 = (x - m)2 31 -召 = *x2 - 2mx m2 3 = *(x -4m)2 -3m2 3因为当|MP|最小时，点

7、P恰好落在椭圆的右 顶点，即当x=2时|MP|2取得最小值，而- 2岂x乞2故有4m _ 2= m _舟又点M在椭圆C 的长轴上即 -2乞m乞2故实数 m的取值范围是 m：=g,2】。设直线 AB的方程为x = my 1 m R 把 x 二 my 1 代入；1 得 3m 4 y 6my-9 = 0 显然也：>0 设 AX,% ), B(x2,y2 )则汉 y? T% y?.又因为 5 5 =24，y1 七二 ，一财二(y< y2) -4 y 士 =48 計善令3 3m 则 t - 3, (% - y2)2二養由于函数在上单调递增，所以-詈故 (y1 -y2)2空9即S乞3故ABF1

8、面积的最大值等于3.解析几何的最值求解离不开目标函数的建立，因目标函数引入变量的背景不同，求法也不同，具体求最值可用到配方法，不等式法等。例6 (福建卷)抛物线 y2=4x上两点A, B满足|0A OB | 0A - OB |求 AB的中点C到 直线丨：x 一 2y = 0的距离最小值解 由题设知0A _ 0B点C的坐标为(笃竺,些)设C到直线丨：x 一 2y = 0的距离为d则二7宀毛兰所以，当时d取最小值有5点评：本题为点到直线的距离最值，注意坐标特征和配方法的运用例7(全国竞赛题)在平面直角坐标系中，已知点A( ；，0)，点B在直线L： x=- 1上运动，过点B与L垂直的直线和 AB的中

9、垂线相交于点 M。(I)求动点 M的轨迹E的方程(H)设点P是轨迹E上的动点，点R, N在y轴上，圆C: (x_1)2 y2 =1内切于 PRN , 求PRN的面积的最小值。解，(I)设M(x,y)，由题设知|MB|=|MA|，所以动点 M的轨迹E是以A (吉,0 )为焦点，以x=- 1为准线的抛物线，其方程为y2 =2x (n)设P(X0,y0), R (0, b) ,N(0,c),且b>c,故直线PR的方程为 (y0 b k -x0y + x0b = 0，由题设知圆心(1, 0)到直线PR的距离为1, 即2竺21注意到x02化简上式得x - 2b22y0x0=0 ,同理可得y。占 x

10、0x0 -2 c2 2y°c - x0 = 0由上可知b,c为方程x - 2 x2 2y°x - « = 0的两根，根据求 根公式可得b-c= 4勺；勺=吕 故：PRN的面积为S珂b-cx,二笔=x0-2 + 為+4兰2(沧_2 )启 +4=8,当且仅当X0=4时等号成立此时点 P的坐标为(4, 22 )或(4, -22)所以 PRN的面积的最小值为 8.点评：本题主要考查直线，圆，抛物线，函数等基础知识，同时考查运算能力以及分析问题和解决问题的能力，利用方程思想建立面积函数，然后用基本不等式求最值。2例7 (陕西卷)点P是双曲线专一 x2 =1上一点，点A,B在

11、双曲线的两条渐近线上，且分 别位于第一，二象限，若 AP二，PB,3,21求 AOB面积的最值解析：因为双曲线的两条渐近线方程为y=_2x ,可设点A(m,2m),B(-n,2 n),m, n>0,由 AP = 'PB得P 尹：，2尸，将点P坐标代入y：-x2 =1化简得mn =设一 AOB = 2打，tan 迈“ =2,； tanT =舟,sin 2T =害又 |OA = . 5m, OB = .、5n 所 以 S a o=b；|OAOB sin2v -2mn 二厂- 1,E，2】，S， = 4 - 1 在 畀 1 上单 调递减，在1,2 上单调递增，所以当& = 1时

12、,也AOB面积取得最大值弓当九=1时，AAOB 面积取得最小值2.2例8(浙江卷)设点A是椭圆G： ； x2 =1的右顶点，点P在抛物线C2：y=x2+h(hR)上，C2在点P处的切线与C1交于点M,N，当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时， 求h的最小值。分析:设点P的横坐标为t，利用线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等，建立变量h与t的关系，再用函数与方程思想求h的最小值。2解析：设点M X1,y1，N X2, y2 ,P( t,t h)则抛物线在点P处的切线即直线 MN的方程 为 y = 2tx -t2 h 将 y = 2tx -t2 h 代入椭圆 C1 的方程得 4x2 2tx

13、 -12 h ? 一 4 = 0 , 即4(1+t2 x2 4t(t2 hk+(t2 hf 4 = 0,寫直线MN与椭圆C1有两个不同的交点，所 以有M =1t42 h 2th24.0设MN的中点的横坐标为X3则X3仝二U h。1 22(1# )设线段PA中点的横坐标为X4因为点A(1 ,0)则x4二罗。由题意得X3= X4则有t2V h t 1=0 于是也 2 =(1 + hf 4K0n h31 或 hE3，当 h 兰3 时有 h + 2<0,4 <0 从而；1 ：:：0不符合要求，因此h _1。此时 冷.0成立，故h的最小值为1点评：由t21 h t 1=0得h = 7t -1

14、 -1由于自变量t的取值范围不易求得，所以不宜用函数法求h的最小值，因此采用不等式先求得h的取值范围，再确定其最小值。举例9已知抛物线x2=4y的焦点为F，过焦点F且不平行于x轴的动直线l交抛物线于A,B两点，抛物线在A,B两点处的切线交于点 M。(1)求证:A,M,B三点的横坐标成等差数 列；(2)设直线MF交该抛物线于 C,D两点，求四边形 ABCD面积的最小值。分析：利用垂直关系建立面积关于k的函数，然后运用均值不等式求最值。解析:(1)由已知，得F (0，1)，显然直线 AB的斜率存在且不为 0,则可设直线 AB的方程x2 =4y2为 y=kx+1(k 丰 0), A (x1, y,

15、), B(X2,y2),由，消去 y，得 x2-4kx-4=0,显然= kx +1匚=16k2+16>0. X1+X2=4k, X1X2=-4,由 x2=4y，得 y= 4 x2, y =*x, 直线 AM 的斜率为1 1 2kAM = 2 X1.直线 AM 的方程为 y-y 1= 2 X1(x-X1),又 X1 =4y1,直线 AM 的方程为 X1X=2(y+y 1)同理，直线BM的方程为X2x=2(y+y 2)由-并据乂仟X2，得，点M的横坐标x= -2 ( X1+X2).即A,M,B三点的横坐标成等差数列。（2）由易得y=-1,.点M的坐标为（2k,-1） （k丰0）.kMF= -1，则直线 MF 的方程为 y= ?x+1,又 |AB|= 1 k X! X2=4（k +1）.用一k