必修四平面向量的坐标运算

1、平面向量的坐标运算 学习目标 1. 了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2. 掌握两个向量和、 差及数乘向量的坐标运算法则.3. 正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来知识点一平面向量的坐标表示(1) 向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解(2) 向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x， y 使得 a xi yj ，则有序数对 ( x，y) 叫做向量a 的坐标， a ( x， y) 叫做向量的坐标表示(3) 向量坐标的求法：在平面直角

2、坐标系中，若，y1 ) ，B( x2，A( x，y) ，则 OA ( x，y) ，若 A( x1y2) ，则 AB ( x2 x1，y2 y1) 思考根据下图写出向量a， b，c ，d 的坐标，其中每个小正方形的边长是1.答案a (2,3) ， b ( 2,3) ， c( 3， 2) ，d (3 ， 3) 知识点二平面向量的坐标运算(1) 若 a ( x1，y1) ， b( x2， y2) ，则 ab ( x1 x2，y1 y2) ，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和(2) 若 a ( x1，y1) ， b( x2， y2) ，则 ab ( x1 x2，y1 y2) ，即两个向量差的

3、坐标等于这两个向量相应坐标的差(3) 若 a ( x，y) ， R，则 a ( x，y) ，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标(4) 已知向量 AB的起点A( x1， y1) ，终点B( x2， y2) ，则 AB ( x2x1， y2 y1) 思考a， b，c 的坐标，并在直角坐标系内已知 a OA， b OB，c OC，如下图所示，写出作出向量 a b，a b 以及 a 3c，然后写出它们的坐标答案易知： a (4,1) ， b ( 5,3) ， c(1,1)， 2)OD ab ( 1,4)， BAab (9， 2) ， OF a 3c (1题型一平面向量的坐标表示例

4、 1已知边长为 2 的正三角形ABC，顶点 A在坐标原点， AB边在 x 轴上， C在第一象限， D为 AC的中点，分别求向量 AB， AC，BC， BD的坐标解如图，正三角形ABC的边长为 2，则顶点 A(0,0) ， B(2,0) ， C(2cos60°， 2sin 60 °) ，1 3 C(1， 3)，D(2， 2 )，3) ， AB(2,0)，AC (1 2， 30)( 1， 3) ，BC (11333BD( 2 2， 2 0) ( 2， 2 ) 跟踪训练1在例 1 的基础上，若E 为 AB的中点， G为三角形的重心时，如何求向量 CE， AG， BG， GD的坐标

5、133解由于 B(2,0)， E(1,0)，C(1 ，3) ，D( 2， 2 )，G(1， 3 )， 1,03) (0 ，3) ，所以 CE (13AG(1， 3 ) ，33BG (12， 0)(1， )，3313313GD ( 2 1，23 )(2，6 ) 题型二平面向量的坐标运算例 2已知平面上三点A(2 ， 4) ，B(0,6) ，C( 8,10) ，求 (1) AB AC；(2)AB2BC；(3)BC12AC.解A(2 ， 4) ， B(0,6) ， C( 8,10) (2 ， 4) ( 2,10) ， AB(0,6)AC ( 8,10) (2 ， 4) ( 10,14) ，BC (

6、8,10) (0,6) ( 8,4) (1) AB AC ( 2,10) ( 10,14) (8 ， 4) (2) AB 2BC ( 2,10) 2( 8,4) ( 18,18) 1(3) BC 2AC ( 8,4)1 2( 10,14)( 3， 3) 跟踪训练2已知 a ( 1,2) ， b(2,1)，求：1 1(1)2 a3b； (2) a 3b； (3) 2a 3b.解 (1)2 a 3b2( 1,2) 3(2,1) ( 2,4) (6,3) (4,7) (2) a3b ( 1,2) 3(2,1) ( 1,2) (6,3) ( 7， 1) 1111(3) 2a3b 2( 1,2) 3(2

7、,1)12172 2，1 3，3 6，3 .题型三平面向量坐标运算的应用例 3已知点 A(2,3)， B(5,4)， C(7,10) R) ，试求 为何值时，若 AP ABAC(1) 点 P 在一、三象限角平分线上；(2) 点 P 在第三象限内解设点 P 的坐标为 ( x，y) ，则 AP( x， y) (2,3) ( x 2， y3) ，AB AC (5,4) (2,3) (7,10) (2,3) (3,1) (5,7) (3 5， 1 7) APAB AC，x 2 3 5 ，x 5 5，则y3 1 7 ，y 4 7.(1) 若P在一、三象限角平分线上，则5547，1 2.(2) 若 P 在

8、第三象限内，则55<0， < 1.47<0，1 2时，点 P 在第一、第三象限角平分线上；< 1 时，点 P 在第三象限内跟踪训练3已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3,7) ， (4,6) ， (1 ， 2) ，求第四个顶点的坐标解不妨设 A(3,7) ， B(4,6) ， C(1 ， 2) 第四个顶点为D( x， y) 则 A、B、 C、 D四点构成平行四边形有以下三种情形(1) 当平行四边形为ABCD时， ABDC，设点 D的坐标为 ( x， y) ，(4,6) (3,7) (1 ， 2) ( x， y) ，1 x 1，2 y 1，x 0，y 1. D(0 ，

9、 1) ；(2) 当平行四边形为 ABDC时，仿 (1) 可得 D(2 ， 3) ；(3) 当平行四边形为 ADBC时，仿 (1) 可得 D(6,15) 综上所述，第四个顶点的坐标可能为(0 ， 1) ， (2 ， 3) 或 (6,15) 坐标法解决向量问题例 4已知 O是 ABC内一点， AOB150°， BOC90°，设 OAa， OB b，OC c，且| a| 2， | b| 1， | c| 3，试用 a，b 表示 c.分析注意到两个已知的特殊角，联想到建立直角坐标系求向量坐标解如图，以 O为原点， OA为 x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，由三角函数的定义，得B(

10、cos 150 °， sin 150 °) ， C(3cos 240 °， 3sin240°) 31333即 B( 2 ，2)，C(2，2 )，又 A(2,0) ，31333故 a(2,0)，b ( 2 ，2) ， c( 2， 2) 333313设 c1a 2b( 1，2 R) ，( 2， 2) 1(2,0)2( 2 ，2) (21 22，122) ，3321 22 2，1 3，12332 3 3.2，2 c 3a 3 3b.1设平面向量a (3,5) ， b ( 2,1) ，则 a 2b 等于 ()A (7,3)B (7,7)C (1,7)D (1,3

11、)12已知向量 OA (3 ， 2) ， OB ( 5， 1) ，则向量 2AB的坐标是 ()C ( 8,1)D (8,1)3已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2) ，B( 1， 2) ，C(3,1)，且 BC 2AD，则顶点 D的坐标为()C (3,2)D (1,3)4已知向量a(2 ， 3) ， b (1,2) ， p (9,4) ，若 p ma nb，则 m n_.5设向量 a(1 ， 3) ， b ( 2,4) ，c ( 1， 2) 若表示向量4a, 4b 2c, 2( a c) ，d的有向线段首尾相接能构成四边形，求向量d.一、选择题131已知平面向量a (1,1) ， b (1

12、， 1) ，则向量 2a 2b 等于 ()A ( 2， 1)B ( 2,1)C ( 1,0)D ( 1,2)12已知 a 2b(1,2)， a b (4 ， 10) ，则 a 等于 ()A ( 2， 2)B (2,2)C ( 2,2)D (2 ， 2)3已知向量a (1,2) ，b (2,3) ，c (3,4) ，且 c 1a 2b，则 1，2 的值分别为 ()A 2,1B 1， 2C 2， 1D 1,214已知 M(3 ， 2) ， N( 5， 1) 且 MP MN，则点 P的坐标为 ()2A ( 8,1)D (8 ， 1)5在平行四边形 ABCD中， AC为一条对角线若AB(2,4)，AC

13、 (1,3)，则 BD等于 ()A ( 2， 4)B ( 3， 5)C (3,5)D (2,4)a (3,6)6向量 AB (7， 5) ，将 AB按向量平移后得向量 A B ，则 A B 的坐标形式为()A (10,1)B (4 ， 11)C (7 ， 5)D (3,6)二、填空题7已知点 A(1,3) ， B(4 ， 1) ，则与向量 AB同方向的单位向量为_118已知平面上三点A(2 ， 4) ，B(0,6)，C( 8,10) ，则 2AC 4BC的坐标是 _9已知 A( 1， 2) ， B(2,3)，C( 2,0) ， D( x， y) ，且 AC2BD，则 x y _.10已知四边形

14、ABCD为平行四边形，其中A(5 ， 1) ，B( 1， 7) ， C(1,2) ，则顶点D 的坐标为 _三、解答题11已知 a (2,1) ， b ( 1,3) ， c (1,2) ，求 p 2a 3b c，并用基底a、 b 表示 p.12已知点A(3 ， 4) 与 B( 1,2) ，点 P在直线 AB上，且 | AP| 2| PB| ，求点 P 的坐标1113已知点A( 1,2) ， B(2,8)及AC 3AB， DA 3BA，求点 C、 D和 CD的坐标当堂检测答案1设平面向量a (3,5) ， b ( 2,1) ，则 a 2b 等于 ()A (7,3)B (7,7)C (1,7)D (

15、1,3)12已知向量 OA (3 ， 2) ， OB ( 5， 1) ，则向量 2AB的坐标是 ()C ( 8,1)D (8,1)3已知四边形 ABCD的三个顶点 A(0,2)，B( 1， 2) ，C(3,1)，且 BC 2AD，则顶点 D的坐标为()C (3,2)D (1,3)4已知向量a(2 ， 3) ， b (1,2) ， p (9,4) ，若 p ma nb，则 m n_.5设向量a(1 ， 3) ， ( 2,4)， ( 1， 2) 若表示向量 4a,4 22(a) ，dbcb c,c的有向线段首尾相接能构成四边形，求向量d.课时精练答案一、选择题1答案D2答案D3答案D1 22 3，

16、1 1，解析由解得21 32 4.2 2.4答案C解析设 (，)，由( 3，2)1×( 8,1) ，P xyxy23 x 1， y 2.5答案B解析 AC AB AD， ADAC AB ( 1， 1) BDAD AB ( 3， 5) 6答案C解析A B 与AB方向相同且长度相等，故 A B AB(7 ， 5) 二、填空题7答案345， 5解析 (4 ， 1) (1,3)(3 ， 4) ，AB OB OA34A B与 AB同方向的单位向量为 5，5 .| AB|8答案( 3,6)119答案2解析( 1， 2)( 1,2) ， AC ( 2,0)BD ( x， y) (2,3) ( x2

17、， y 3) ，又 2BD AC，即 (2 x 4,2 y 6) ( 1,2) ，2 4 1，x3x2，解得2y 6 2，y 4，11 x y 2 .10答案(7 ， 6)解析设 D( x，y) ，由 AD BC，(x5， y 1) (2 ， 5) x 7， y 6.三、解答题11解p 2a3b c 2(2,1) 3( 1,3) (1,2) (4,2) ( 3,9) (1,2) (2,13)设 pxa yb，则有2x y 2x 197，解得.x3y 1324y 719 24 p 7 a 7 b. 2|12解 设 P 点坐标为 ( x， y) ， | AP|PB|.当 P 在线段 AB上时， AP 2PB.(x3， y 4) 2( 1 x, 2 y) ， x3 22x，x13，解得y 4 4 2y，y0.1P点坐标为 (3，0) 当 P 在线段 AB延长线上时， AP 2PB.(x3， y 4) 2( 1 x, 2 y) ，x 3 2 2x，y4 42y，解得x 5，y 8.综上