标准正态分布函数的拟合方法

1、| 维普资讯 h ttp:/| 维普资讯 h ttp:/第4期1 g 9 2年吉林大学自孵科学爭社Ko. 4ACTA SCTENTTARUM NATVXAUVM UNTVEHSITATlS JTLINENSIS| 维普资讯 h ttp:/用血©）表示标朕正态份布函数.护幻衷示其密度函效.记远仏）=1 一欽巧.定艾肌昉= 签务 由上式可得一和n甌）=就心 对此式两边积分有J 而 叙上）=$xpJ 心）朗*当xXfl（xc为一定数时*5（z） txpij |* d 亠，ln<P(w><js 耳一 -* osA<s)dj从<b 1)标准正态分布函数的拟合方法于

2、维生02.fl. 3借麻菇祜理科学忑魚和提豪 本文给出了一牛拟许标准正态分布圉數的新的方法及真同的毂合公式.幷与几牛文抵上的 几个拟合公式进行了比戦./ 丿关词 糧車计jt*标唯至娄好，竺方法概率统计的计算问關.大量地涉及到拯准正态分布的计算 一級可采用査表的方法解 决.但这对计算机的应用很不方便.因此人们利用各种不同的近個公式拟合标准正态分布函 数.本文给出一个拟合标准正态分布西数的新方法，并导出了形式简单、精度适中的实用公 武，同时与近期文献口3斯提出的拟合公式进行了比絞.1拟舍公式的提出| 维普资讯 h ttp:/fc(5)ds .式中 tr exp J :由d J）式若能确定出雷数施町

3、.则可需到不“几进而可得岀GGrh因一般函数可展成幕级数，故可用多项式来近似 m 即旅町亠 工>”讥 代人（1.1）式*冇F(z)=cexp (I J jl-f;/w rexp卜苕占（C“| 维普资讯 h ttp:/| 维普资讯 h ttp:/cexp 工仏“-琳）卄 上孑峋*1-1武中 »«* 4-1,船=:枷.JZi, r 1,2-*w-当工=林时*匸=靑畑）.囚要JHFCr）拟合血巧故取匕门、亚实际根VY吋,</'< Tn） ffi可 由标准正态函数表中査出*又因晋孑鼻5时.航巧亠乩 因此可以在全区间上用 U 拟合不GO.当T>i时取

4、m、= a于是有如下拟合公式收稿日期 199M106r_FMCK2)(rfl)exp一 咄)* x £ 如可*=气«-1LO,式中5泗"曲为待定参数*由于正态幷布函釵満足叭一町=i血&人 故可仅考虑拟合问题特别当屿= o时，有拟合公式 thar > 巧如希望对不（巧在不同的区间C0,t Emh4间上进行拟合，则可利用公式(L 4、| 维普资讯 h ttp:/a z*2拟合参数的确定确定了拟合公式的形式后，可用求解线性方程组的方法确定其中的参数佝，衍，叫 先将拟合公式变形为 jQ* x 6 xa,xlLSI再适当选取衣个分点却，比，皿 满足珂<斟

5、<毗<<：刊茎金令则可得到U 业，血，沁.为未知数的鼻元线性方程组01 （®1 Ta） 4- cijCt? rj）十 + ；!（* 一坊）=山«i（a? io） H- at Cxi 蚌）+"十叭（堪一瑞】虹式中比=iti（妙F2,-* 由于方程组（2）的系数行列式I 専D=一 ri故拟合参数匍w斛皿 可唯一确定.实际拟合时*分点甜®严皿 可如下选取先取斗羔几一般eon宀丄.将25）,&门 均分向恋等份»分点记为仙5严41取臥満足112,*-»«1）.3拟合误差分析定义拟合最大绝对误差为心=max |

6、 <P（i） F（i） | t为求出叭 定义函& c（x） = <P（a；）$*=氏巧小丘氐心人由数学分折中洛尔定理知八<刃在工”可上必有稳定点，若心）在如刃上 仅有有限午稳定点附凤、心，则 tf=-max |Kei> |» k（cs）b "-» IK'n.JIt |K*）|tCS> |维普贽讯 nu:p:/于是，求拟合最大绝对误差旧结为求巩巧的稳定点以下定理保证匚匕）在垃&J内仅有有限 个稳定点-定理3, 1函数巩巧=不（刃一尸（刃在卧匸上至多有有限个腿定点.证明*门）若在EG上，另近才7>0,考嗥即一

7、2腹多项式，»1FPp Z（H）= H 1M,1' （ S Jrtil4- 1 j S,i»r Ijs i它在5任内至多有2h2个实根*不妨设为由于与1 g* M = £ （1 一 I、诂芒7 另曲£一1 亠 z 一 2 讪F 有相同的根，这里'I=in （it -/2tt） + ln（另 iaa*1） + g F -J/其中t=（Io）exp迟6竝）>0. 0 为只工）的导数.干是,b Cr）在毎个小区间5、如几（如 -JT严、（册I上恒取正值或负值，否则.齐_*"）还有根+矛盾.故机工）在毎个小区间上严 格单调，从而贰

8、幻至多有2n-l个零点.又！的零点与方程i -/Zr 2l（tiX， 1 exP Sfl|T， = 1力(1'1上 '/2?r 2lexP ( V护 £ 久工* | 1JlI £B» 1J的解相同*文因(x) = y/T t£讪工"1Lexp辛 H - ” m 甘 - 1 这样*0与</（r>=0同解*故0Ti上至多有有限个稳定点.<2>在引刀上，2 心'_'冬0，这时* Ci><0'故巩H）在>0&上严格递减1这与cC0> = Itf<Xi）

9、 = *-=e（rB） = 0矛盾.故此情况不会发生. 在如订上.工>八符号不固定，不妨i殳 wv®为其f个实根*于是刀如- = I在毎个区间5小*（E*旳人（巧匸上有相同符号.若它在某小区间上为负.由证明（2）C<z）在其上单调下降，故庶巧在此种小区间上没有稳定点.在满足> 0的每个* L小区间上+与证明d 同理可证山幻在其上至多冇有限个稳定点.4标准正态分布函数的拟合以«-1为例，说朋本文断给出的拟合方法*4-1求拟含案数在拟合公式（1* 3）中*取= 1 v匸=5.利用前述对心*2 ，兔的取法*取j；i 0. 32, x2 =0.66,却=1. 13

10、* i4 = 2.5.求解方程组IN 1）,得拟合参数们=0797663阿= 0.31959. <i5 = 6 034071,血=（L 00316786.4亠 求c(x) = (x)-F(x)的穗定歳g首先确定只工=£讪於7在0,5上的符号，由于厂巧=一6 (Ml£1432工+ 0.TCM位斑+ E jl0. 63918,其两个根分别为Z1= -2. 1690K r.7. 0811.故工丘四，5时+创工)>0即 只仍在 0,5上严格上升.又因 j(0)=«j>0+ 故 sCz)>0, =0*5再求得A44= P.O = U 仃1 yiatx

11、' 1 + U 则(乂 応*-丄)' = 2 IL丄的根为一I. 937氣0. 2518, 0. 6984, 1* 4411, 2. 650叭11. 6326.由定理证明知.爭S)在每吟区 fsJCO.O. 25J8>» <0. 2518,0. 6981), (0> 698d.lH41d>, (1. 4114,2. 6507), (2. 6507,5)上严格 单调.计算fir 5)在这些区间端点的值分別为一 0.0002陀，0. 000084, - 0. 00006154, 0” 00027, -0. 001925, 0. 22799.从而卍3

12、)在每个小区间上有一零点*分别为Ci = 0. I14K Q =0* 4756i es = Oh 9117, c< = 1. 7911 c*= 3* Q$343聋量大绝对逞差利用所碍到的拟合公式与标准正态分布表，求出及7=5处的1一 及6(巧值.并计算绝对误差.结果列于表匚表I丨一尸心几 触乂、及绝对溟蹇X6- 11410, 47560.9L471. 7S13,0B35!-*<!)5454150. 68X8230. 8198220633730+998m10,454214 682B2P30 81BS250眺335阳0. 99B90430. 9JI99997绝对漫墓«X1Q

13、12. ? X 10-'3 10 '210-s6.3XJ0-*3 乂 IL又因当r>5时.F(x) = 0,故误差心=1 一 GGOVj-S(5) = 3XM-J故拟合最大绝对误 差为 d=2X JO 5.利用同样方法，作者还得岀m=3*参数为ai = 0. 79031, «?=0, 3331 &1T rti = 0- 020546e 的拟合公武*最大绝对误差=1.9X10i» = 5 参数为 0. 797892, a2 0* 318237,矶=0. 0365896* n4 = 6 00523013, ns = 0. 000381127.毘大绝

14、对误差 4=2X10 s.5与已有拟合公式的比较在对标准正态分布函数拟合公式的寻求中.人们提出了各种公式.其中Haings提出了 简单实用的公式hm = 1 ii +yr)* * ,g = D. 278393, rj = 0. 230389» “ = (k 000972. m = 0, 078 J 08.WiHims根掠面积替代原理“用叭(“)= (1 一工卅”)山近似槪率积分函数= f' 壬总"d讥再到扣合公式门亠帕王摘功2发展了面积科代原理.得列了鹰率积分的近似公式仏=<1 一I J加吧f *其中蒋=W",)tan«工耳一 tant工巧

15、刃，于是有正态分布函数的拟合公X L 1" 1丿-】式 D+W*J)/2杨自强Z裸入分析了而积样代原理中的逞畏审补偿方法得到了形式更简单的公式| 维普资讯 h ttp:/Ki(w) = 1 e "P + 0.9_Yt (u) =1 一 电亡xp(uz/jt) (1 + (k 001102a1 >-i-expf- 2<3 3+ 0.001639?).从而有近似公式l + K(a)/2； = 1,2-文秦3的工作不足的垦渔有绪出近似公式的全局性的拟合误差.文口中在«=0-Q.l, 0.5, 1, 1.5,2>2.5, 3,3.5. 1. 1* 5 S

16、有限6点上计算了以上近似公式的值.并指出： 口+恥(却门朋的最大绝对饯差为6. 8X 10-' 1 +略&)/2最大绝对误差为1.7X 10 < 恥叫公式最大绝对误差为2X10- 1+Y.MJ/2最大绝对误差为9-3X JO"5. 口 + yMJ/2最大绝对谋差为扌X 10-v为便于比较，现将本文所得的拟合公式也在上述值上进行计算，并求得最大绝对误差 表 2)*表戈 标准正态分布函数的部分拉合值及境大腿对提養耿心 =3=4M= 3=-=50O. 50, 50. 50. 52. 50. 93790血 93790机 99379d0.99378乩10. 530S2B轨

17、53S712(k 53$B230. 53A82B3099650血 H8S78O+9B*G42D. MB4500.50. 6ftl4«ft. 4914U0. 691450. 6914623. 50.3987670. 89S783o.smeiql nmt1Ik. BUS4S 841326 341342 84134i<LI09»TSI.699940CL 9SB9691.5Ox 933163 Q33DW -O.S33307b $33192氣5r fl me r0. SMMB0. fl9B9»6Q.2OL 97725 ftM 97ns»4册T2佣 mw*J5

18、X10'1. 8 X 16- 11. 7X10 F2 XlO' 1量大览时溟趙在配处达刑.表2中峦5)值为标准正态分布裘值辽 可以见到、当 Z 时.本文所给公式精度高于 Hsings的个参数的公式*近于1 +略"门当” =4时.本文公式拟合精度高于】+ riC«)/2;当=5时*本文公式拟合稱度高于1+V,(h)/2.養号文献1 j Hasting* - Jh Appfxiinfttions lor DiItaJ Cwnpiiter, Princeton Univ. Press# 1955 ra 壬桶功.吉林大学自鑫科学学推】俩n 口人$zoE3J杨自毁应用槪率统计.ISfiBi 4t3)t 295-300The Fitting Method for Standard Normal