无限脉冲响应数字滤波器的设计

1、第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 6.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计6.3 用脉冲响应不变法设计用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器6.4 用双线性变换法设计用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器6.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计数字高通、带通和带阻滤波器的设计6.6 IIR 数字滤波器的直接设计法数字滤波器的直接设计法6.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念 1. 数字滤波器的分类 数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应分类，可以分成无限脉冲响应(II

2、R)滤波器和有限脉冲响应(FIR)滤波器。它们的系统函数分别为： 0110( )1( )( )MrrrNkkkNnnb zH za zH zh n z(6.1.1) (6.1.2) 图6.1.1 理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性 （选通滤波器） )(ejH)(ejH)(ejH)(ejH0低通0高通0带通0带阻22222222 2数字滤波器的技术要求 我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤波器的传输函数H(e j)用下式表示： ()()()jjjH eH ee图6.1.2 低通滤波器的技术要求 通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数表示，通带内允许的最大衰减用p表示，阻带内允

3、许的最小衰减用s表示，p和s分别定义为：max()20lg,0min()()20lg()psjppjjsjH edBH eH edBH e通带中max阻带中max(6.1.3) (6.1.4) 对单调下降幅频特性，且|H(ej0)|归一化为1，(6.1.3)和(6.1.4)式则表示成：20lg()20lg()psjpjsH edBH edB (6.1.5) (6.1.6) 3. 数字滤波器设计方法概述 IIR滤波器和FIR滤波器的设计方法是很不相同的。IIR滤波器设计方法有两类：直接法和间接法。后者指的是借助于模拟滤波器的设计方法进行的。其设计步骤是：先设计模拟滤波器得到传输函数Ha(s)，然

4、后将Ha(s)按某种方法转换成数字滤波器的系统函数H(z)。直接法指直接在频率域或者时间域中进行设计，要解联立方程，需采用计算机辅助设计。 FIR滤波器不能采用间接法，常用的设计方法有窗函数法、频率采样法、Chebyshev等波纹逼近法等。 本章主要介绍IIR的间接设计法。6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计 模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Ellipse)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用

5、。 图6.2.1 各种理想滤波器的幅频特性 )(jaH低通带通带阻高通)(jaH)(jaH)(jaH000c 1.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法 模拟低通滤波器的设计指标有p, p,s和s。其中p和s分别称为通带截止频率和阻带截止频率，p是通带(=0p)中的最大衰减系数，s是阻带s的最小衰减系数，p和s一般用dB数表示。对于单调下降的幅度特性，可表示成：2222( 0)10lg()( 0)10lg()apapasasHjHjHjHj(6.2.1) (6.2.2) 如果=0处幅度已归一化到1，即|Ha(j0)|=1,p和s表示为 以上技术指标用图6.2.2表示。图中c称为3dB截止频率，因

6、2210lg()10lg()papsasHjHj (6.2.3) (6.2.4) ()1/20.707,20lg()3acacHjHjdB则图6.2.2 低通滤波器的幅度特性 滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的指标p和s，一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此2()()()( )()aaaaasjHjHjHjHs Hs (6.2.5) Ha(s)必须是因果稳定系统，因此其所有极点必须落在s平面的左半平面。 2.巴特沃斯低通滤波器的设计方法 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(j)|2用下式表示：221()1()aNcHj(6.2.6) 图6.

7、2.3 巴特沃斯幅度特性和N的关系 用s替换j, 将幅度平方函数|Ha(j)|2写成s的函数： 21( )()1()aaNcHs Hssj(6.2.7) 此式表明幅度平方函数有2N个极点，极点sk用下式表示：1121()222( 1)()kjNNkccsje (6.2.8) 图6.2.4 三阶巴特沃斯滤波器极点分布 为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha(s)，而右半平面的N个极点构成Ha(-s)。 Ha(s)的表示式为10( )()NcaNkkHsss设N=3，极点有6个，它们分别为23012321334135jccjcjccjcsessesesse 取s平面左

8、半平面的极点s0,s1,s2组成Ha(s)： 32233( )()()()cajjcccHsssese 由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有的频率归一化。这里采用对3dB截止频率c归一化，归一化后的Ha(s)表示为 令，ps/c=+j。 令=/c，称为归一化频率；p称为归一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为101( )()aNkkccG sss(6.2.10) 101( )()aNkkGppp(6.2.11) 式中，pk为归一化极点，用下式表示： 将极点表示式(6.2.12)代入(6.2.11)式，得到的Ha(p)的分母是p的N阶多项式，用下式表示： 121()22,0,1,

9、1kjNkpekN(6.2.12)/1021 ()10saNsc 将=s代入(6.2.6)式中，再将|Ha(js)|2代入(6.2.4)式中，得到：(6.2.14) (6.2.15) /1021 ()10papNc111101( )aNNNGppbpb pb同理： 由(6.2.14)和(6.2.15)式得到：/10/10101()101psapNas令1010101/,101psaspspspak ,则N由下式表示： lglgspspkN(6.2.16) 上式所求出的N不一定是整数，应取大于或等于N的最小整数。关于3dB截止频率c，如果技术指标中没有给出，可以按照(6.2.14)式或(6.2.

10、15)式求出，由(6.2.14)式得到： 10.1210.12(101)(101)psaNcpaNcs 或由(6.2.15)式得到： (6.2.17)(6.2.18) 总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下： (1)根据技术指标p,p,s和s，用(6.2.16)式求出滤波器的阶数N。 (2)按照(6.2.12)式，求出归一化极点pk，将pk代入(6.2.11)式，得到归一化传输函数Ga(p)。也可直接查表得到 pk (3)将Ha(p)去归一化。将p=s/c代入Ha(p)，得到实际的滤波器传输函数Ha(s)。 表6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数 例6.2.1 已知通带截止频率fp=5

11、kHz，通带最大衰减p=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减s=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。 解 (1) 确定阶数N。 0.10.11010.024210122.42lg0.02424.25,5lg2.4psaspassppkffNN (2) 按照(6.2.12)式，其极点为3455016523754,jjjjjsesesesese按照(6.2.11)式，归一化传输函数为401( )()akkGppp 上式分母可以展开成为五阶多项式，或者将共轭极点放在一起，形成因式分解形式。这里不如直接查表6.2.1简单，由N=5，直接查表得到： 极点：-0.3090j0.

12、9511,-0.8090j0.5878; -1.00005432432101( )aGppb pb pb pb pb 式 b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361 (3) 为将Ga(p)去归一化，先求3dB截止频率c。 按照(6.2.17)式，得到：10.1210.12(101)25.2755/(101)210.525/psaNcpaNsck rad sk rad s 将c代入(6.2.18)式，得到：将p=s/c代入Ga(p)中得到：554233245432( )10cacccccHssbsbsbsbsb 3.切比雪夫滤波器的设计方法

13、 我们这里仅介绍切比雪夫型滤波器的设计方法。图6.2.5分别画出阶数N为奇数与偶数时的切比雪夫型滤波器幅频特性。其幅度平方函数用A2()表示： 22221()()1()aNpAHjC (6.2.19) 图6.2.5 切比雪夫型滤波器幅频特性 式中，为小于1的正数，表示通带内幅度波动的程度，愈大，波动幅度也愈大。p称为通带截止频率。令=/p，称为对p的归一化频率。CN(x)称为N阶切比雪夫多项式，定义为cos(arccos ),1( )ch( arch ),1NNxxCxNxx前六个第一类切比雪夫多项式的图像，其中-1x1, -1y1; 按颜色依次是T0, T1, T2, T3, T4 T5.当

14、N=0时，C0(x)=1；当N=1时，C1(x)=x；当N=2时，C2(x)=2x2-1；当N=3时，C3(x)=4x 3-3x。由此可归纳出高阶切比雪夫多项式的递推公式为 C N+1 (x)=2xCN(x)C N-1 (x) (6.2.20) 图6.2.6示出了阶数N=0,4,5时的切比雪夫多项式特性。 由图可见： (1)切比雪夫多项式的过零点在|x|1的范围内； (2)当|x|1时，|CN(x)|1,在|x|1时，CN(x)是双曲线函数，随x单调上升。 N等于通带内最大值和最小值个数的和图6.2.6 N=0,4,5切比雪夫多项式曲线 按照(6.2.19)式，平方幅度函数与三个参数即,p和N

15、有关。其中与通带内允许的波动大小有关，定义允许的通带波纹(或书上的通带内最大衰减p）用下式表示： 2max2min22maxmin2( )10lg( )1( )1,( )1AAAA(6.2.21) A()与书上Ha(j )一样），因此 220.110lg(1)101 (6.2.22) 图6.2.7 切比雪夫型与巴特沃斯低通的A2()曲线注意这里是平方 设阻带的起始点频率(阻带截止频率)用s表示，在s处的A2(s)用(6.2.19)式确定： 2221()1()ssNPAC(6.2.23) 令s=s/p，由s1，有22211()ch arch()1()11arch1()arch()111arch1

16、()NsssssspsCNAANNA (6.2.24) (6.2.25)可以解出 3dB截止频率用c表示，22221()2()1,1()()ccNccpNccACCch NArch 按照(6.2.19)式，有通常取c1，因此上式中仅取正号，得到3dB截止频率计算公式： 11charch( )cpN (6.2.26) 以上p,和N确定后，可以求出滤波器的极点，并确定Ga(p)，p=s/p。求解的过程请参考有关资料。下面仅介绍一些有用的结果。 设Ha(s)的极点为si=i+ji，可以证明： 21sh sin()2,1,2,3,21ch cos()2ipipiNiNiN (6.2.27) 式中 22

17、222211arsh( )1shchiippN(6.2.28) (6.2.28)式是一个椭圆方程，长半轴为pch(在虚轴上)，短半轴为psh(在实轴上)。令bp和ap分别表示长半轴和短半轴，可推导出： 111121()21()2111NNNNab(6.2.29) (6.2.30) (6.2.31) 式中 图6.2.8 三阶切比雪夫滤波器的极点分布p 设N=3，平方幅度函数的极点分布如图6.2.8所示(极点用叉“X”表示)。为稳定，用左半平面的极点构成Ga(p)，即11( )()aNiiGpcpp(6.2.32) 式中c是待定系数。根据幅度平方函数(6.2.19)式可导出：c=2 N-1，代入(

18、6.2.32)式，得到归一化的传输函数为111( )2()aNNiiGppp(6.2.33a) 按照以上分析，下面介绍切比雪夫型滤波器设计步骤。 1) 确定技术要求p,p,s和s p是=p时的衰减系数，s是=s时的衰减系数，它们为 去归一化后的传输函数为11( )2()NpaNNipiHssp(6.2.33b) 22110lg()110lg()ppssAA(6.2.34) (6.2.35) 这里p就是前面定义的通带波纹，见(6.2.21)式。归一化频率 2) 求滤波器阶数N和参数 由(6.2.19)式，得到： 1,spsp222211()()11()()NppNssCACA 将以上两式代入(6

19、.2.34)式和(6.2.35)式，得到： 0.122220.12220.120.1101()1cos ( arccos1)1101()1ch ( arch)101ch ( arch)101psspNpNsssCnCNN 令 0.1110.11111101101ch archarch()arch()spaasskNkkN(6.2.36) (6.2.37)则 这样，先由(6.2.36)式求出k-11，代入(6.2.37)式，求出阶数N，最后取大于等于N的最小整数。 按照(6.2.22)式求，这里p=。 2=10 0.1-1 3) 求归一化传输函数Ga(p) 为求Ga(p)，先按照(6.2.27)

20、式求出归一化极点pk,k=1,2,N。 11/(21)(21)sh sinch cos221( )2()( )( )pkaNNiiaap skkpjNNGpppHsGp 将极点pk代入(6.2.33)式，得到： 4) 将Ga(p)去归一化，得到实际的Ha(s)，即 (6.2.38) (6.2.39) 例6.2.2设计低通切比雪夫滤波器，要求通带截止频率fp=3kHz，通带最大衰减p=0.1dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减s=60dB。 解 (1) 滤波器的技术要求： 0.1,260,21,4ppppssspspdBfdBfff (2) 求阶数N和：110.1110.10.10.

21、01arch()arch()1016553101arch(6553)9.474.6,5arch(4)2.061011010.1526sppskNkNN (3) 求Ga(p):5(5 1)11( )0.1526 2()aiiGppp由(6.2.38)式求出N=5时的极点pi，代入上式，得到：2211( )2.442(0.5389)(0.33311.1949) (0.87200.6359)aGpppppp (4)将Ga(p)去归一化，得到：36/7261427140.974852 10( )( )(1.0158 10 )(6.2788 104.2459 10 )1(1.6437 102.2595

22、10 )paap sHsGpsssss模拟高通, 带通, 带阻滤波器设计流程4. 模拟高通、带通及带阻滤波器的设计设计模拟低通滤波器G(p)给定高通、带通或带阻的技术指标,psps 频率转换频率转换低通滤波器技术指标,psps 得到高通、带通或带阻滤波器H(s)频率转换频率转换pqspqj pj想办法实现高通到低通的转换： 低通幅频低通幅频高通幅频高通幅频给定高通滤波器的技术指标：,psps先作频率归一化：,1,1pps 4.1 模拟高通滤波器的设计10sp 01sp11或1 由：,1p 如何：( )G p( )H s（HP）实现：设计出( )G p（LP）111qjjjjpp:p:q归一化高

23、通滤波器的复变量(虚轴上）归一化低通滤波器的复变量(虚轴上）11( )( )( )pqH qG pGqppsqjj/( )( )|ppsH sG p得：于是可得到模拟高通滤波器的转移函数 后面带通、带阻滤波器和低通滤 波器的转换过程大体相同。 模拟高通滤波器具体的设计步骤如下： (1)确定高通滤波器的技术指标：通带边界频率p，阻带边界频率s，通带最大衰减p，阻带最小衰减s，并对p进行归一化处理。 (2)确定相应低通滤波器的设计指标：按照公式 将高通滤波器的边界频率转换成低通滤波器的边界频率，各项设计指标为： 低通滤波器通带截止频率p=1/p； 低通滤波器阻带截止频率s=1/s； 通带最大衰减仍

24、为p，阻带最小衰减仍为s。1 (3)设计归一化低通滤波器G(p)。 (4)求模拟高通的H(s)。将G(p)按照公式H(q)=1/ G(p) ，转换成归一化高通H(q)，再对频率去归一化，即将q=s/p代入H(q)中，得 例6.2.3 设计高通滤波器,fp=200Hz,fs=100Hz，幅度特性单调下降，fp处最大衰减为3dB，阻带最小衰减s=15dB。( )( )( )ppsqpsH sH qG p(6.2.42) 解 高通技术要求： fp=200Hz,p=3dB; fs=100Hz,s=15dB 归一化频率1,0.5pspsppffff低通技术要求：11,23,15psspsdBdB 设计归

25、一化低通G(p)。采用巴特沃斯滤波器，故0.10.1321010.181012lg2.47,3lg1( )221psspssppspspkkNNG pppp 求模拟高通H(s)： 33223( )( )222cpcccscpsH sG psssf 对带通滤波器，如何实现频率的归一化定义：有 ：31BWBW 用带宽归一化4.2 模拟带通滤波器的设计然后要实现带通滤波器技术指标到低通的转换。关键问题是找到 对应关系： 定义 中心频率：2213 221312300sppsslsh2231/22p31(1)图6.2.10 带通与低通滤波器的幅度特性 表6.2.2 与的对应关系 由与的对应关系，得到：2

26、202201upulu(6.2.43) (6.2.43)式称为低通到带通的频率变换公式。利用该式将带通的边界频率转换成低通的边界频率。下面推导由归一化低通到带通的转换公式。由于 pj 将(6.2.43)式代入上式，得到：220220pjqpq将q=j代入上式，得到：为去归一化，将q=s/B代入上式( ) ，得到：22()()( )( )luulluulspsspsH sG p (6.2.44) (6.2.45)ulB 上式就是由归一化低通直接转换成带通的计算公式。下面总结模拟带通的设计步骤。(1)确定模拟带通滤波器的技术指标，即：带通上限频率u，带通下限频率l下阻带上限频率 s1 ,上阻带下限

27、频率 s2 通带中心频率20=lu，通带宽度B=u-l与以上边界频率对应的归一化边界频率如下：121220,sslssluuluBBBB (2) 确定归一化低通技术要求： s与-s的绝对值可能不相等，一般取绝对值小的s，这样保证在较大的s处更能满足要求。 通带最大衰减仍为p，阻带最小衰减亦为s。 (3) 设计归一化低通G(p)。 (4) 由(6.2.45)式直接将G(p)转换成带通H(s)。 22222010211,sspssss 例6.2.4 设计模拟带通滤波器，通带带宽B=2200rad/s，中心频率0=21000rad/s，通带内最大衰减p=3dB，阻带s1=2830rad/s,s2=2

28、1200rad/s，阻带最小衰减s=15dB。 解 (1) 模拟带通的技术要求： 0=21000rad/s,p=3dB s1 =2830rad/s,s2=21200rad/s,s=15dB B=2200rad/s; 0=5,s1=4.15,s2=6 (2) 模拟归一化低通技术要求：22222010211,1.833,1.874sspssss 取s=1.833,p=3dB,s=15dB。 (3)设计模拟归一化低通滤波器G(p)： 采用巴特沃斯型，有0.10.11010.181011.833lg2.83lgpsspssppspspkkN 取N=3，查表6.2.1，得232()1( )221( )(

29、 )luulspsG ppppH sG p (4) 求模拟带通H(s)： 23652242330042224610000( )2(32)(4)(32)2SH ss B sBBsBB sBsBs 3) 模拟带阻滤波器的设计 低通与带阻滤波器的幅频特性如图6.2.11所示。 图6.2.11 低通与带阻滤波器的幅频特性 图中，l和u分别是下通带截止频率和上通带截止频率，s1和s2分别为阻带的下限频率和上限频率，0为阻带中心频率，20=ul，定义阻带带宽为B=u-l，B作为归一化参考频率。相应的归一化边界频率为 u=u/B,l=l/B,s1=s1/B,s2=s2/B; 20=ul 表6.2.3 与的对

30、应关系 根据与的对应关系，可得到： 且ul=1，p=1，(6.2.46)式称为低通到带阻的频率变换公式。将(6.2.46)式代入p=j，并去归一化，可得 上式就是直接由归一化低通转换成带阻的频率变换公式。 220(6.2.46) 2220()ululsBspss (6.2.47) 220( )( )sBpsH sG p(6.2.48) 下面总结设计带阻滤波器的步骤：(1)确定模拟带阻滤波器的技术要求，即：下通带截止频率l,上通带截止频率u阻带下限频率s1，阻带上限频率s2阻带中心频率02=ul，阻带宽度B=u-l它们相应的归一化边界频率为 l=l/B,u=u/B,s1=s1/B; s2=s2/

31、B,20=ul以及通带最大衰减p和阻带最小衰减s。 (2) 确定归一化模拟低通技术要求，即： 取s和-s的绝对值较小的s；通带最大衰减为p，阻带最小衰减为s。 (3) 设计归一化模拟低通G(p)。 (4) 按照(6.2.48)式直接将G(p)转换成带阻滤波器H(s)。12222210201,sspssss 例6.2.5 设计模拟带阻滤波器，其技术要求为： l=2905rad/s, s1=2980rad/s, s2= 21020rad/s,u=21105rad/s,p=3dB, s=25dB。试设计巴特沃斯带阻滤波器。 解 (1) 模拟带阻滤波器的技术要求： l=2905,u=21105; s1

32、=2980,s2=21020; 20=lu=421000025, B=u-l=2200; l=l/B=4.525,u=u/B=5.525; s1=s1/B=4.9,s2=5.1; 20=lu=25 (2) 归一化低通的技术要求：222101,4.95,4.953,25spssspsdBdB (3)设计归一化低通滤波器G(p):0.10.121010.05621014.95lg1.8,2lg1( )21psspssppspspkkNNG ppp (4) 带阻滤波器的H(s)为22042240042222240002( )( )2(2)2sBpssssH sG psBBsBs 6.3 用脉冲响应不

33、变法设计用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器 为了保证转换后的H(z)稳定且满足技术要求，对转换关系提出两点要求： (1) 因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。s平面的左半平面映射到z平面的单位圆内。 (2)数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响，s平面的虚轴映射z平面的单位圆，相应的频率之间成线性关系。 设模拟滤波器的传输函数为Ha(s),相应的单位冲激响应是ha(t) ( )( )aaHsLT h t 设模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将Ha(s)用部分分式表示： 1( )NiaiiAHsss(6.3.1) 式

34、中si为Ha(s)的单阶极点。将Ha(s)进行逆拉氏变换得到ha(t)：1( )( )iNs taiih tAe u t(6.3.2) 式中u(t)是单位阶跃函数。对ha(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到： 1( )()()iNs nTaiih nh nTAeu nT(6.3.3)对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)： 11( )1iNis TiAH zez (6.3.4)设ha(t)的理想采样信号用 表示，( )( ) ()aanh th ttnT( )ah t 对 进行拉氏变换，得到: ( )aht( )( )( ) ()()staastansnTanHsh t edt

35、h ttnT edth nT e 式中ha(nT)是ha(t)在采样点t=nT时的幅度值，它与序列h(n)的幅度值相等，即h(n)=ha(nT)，因此得到: ( )( )( )( )sTsTsnTnaz ez ennHsh n eh n zH z(6.3.5) 上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系可用下式表示： 我们知道模拟信号ha(t)的傅里叶变换Ha(j)和其采样信号 的傅里叶变换 之间的关系满足(1.5.5)式，重写如下：sTze(6.3.6) ( )aht()aHj1()()1( )()1( )()sTaaskaaskasz ekHjHjjkTHsHsjkTH

36、zHsjkT 将s=j代入上式，得由(6.3.5)式和(6.3.8)式得到:(6.3.7) (6.3.8) (6.3.9) 上式表明将模拟信号ha(t)的拉氏变换在s平面上沿虚轴按照周期s=2/T延拓后，再按照(6.3.6)式映射关系，映射到z平面上，就得到H(z)。(6.3.6)式可称为标准映射关系。下面进一步分析这种映射关系。设jsjzre 按照(6.3.6)式，得到:jTj Treee因此得到:TreT (6.3.10) 那么 =0,r=1 0,r0,r1 另外，注意到z=esT是一个周期函数，可写成2(),jM TsTTj TTTeeeeeM为任意整数图6.3.1 z=esT,s平面与

37、z平面之间的映射关系图6.3.2 脉冲响应不变法的频率混叠现象 假设 没有频率混叠现象，即满足 按照(6.3.9)式，并将关系式s=j代入，=T，代入得到： 令()aHj()0,/aHjT 1()(),jaH eHjTT11( )()( )1()(/),iaNis Tijah nTh nTTAH zezH eHjT 一般Ha(s)的极点si是一个复数，且以共轭成对的形式出现，在(6.3.1)式中将一对复数共轭极点放在一起，形成一个二阶基本节。如果模拟滤波器的二阶基本节的形式为1112211()sjs 极点为(6.3.11) 可以推导出相应的数字滤波器二阶基本节(只有实数乘法)的形式为 1111

38、121211cos12cosTTTz eTz eTz e (6.3.12) 例6.3.1 已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为 用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H(z)。 解 首先将Ha(s)写成部分分式：20.5012( )0.64490.7079aHsss0.32240.3224( )0.32240.77720.32240.7772ajjHssjsj极点为12(0.32240.772),(0.32240.7772)sjsj 那么H(z)的极点为1212,s Ts Tzeze按照(6.3.4)式，并经过整理，得到 设T=1s时用H1(z)表示，T=0.1s时用H2(z)

39、表示，则111212120.3276( )1 1.03280.2470.0485( )1 1.93070.9375zH zzzzHzzz 转换时，也可以直接按照(6.3.11),(6.3.12)式进行转换。首先将Ha(s)写成(6.3.12)式的形式，如极点s1,2=1j1,则0.3224110.32240.6449220.3224sin(0.7772 )( )12cos(0.7772 )TTeT zH zz eTez112222111110.5012( )0.6449()()aHsss再按照(6.3.14)式，H(z)为111112121sin( )0.644912cosTTTz eTH z

40、z eTz e图6.3.3 例6.3.1的幅度特性不同采样频率对转换结果的影响6.4 用双线性变换法设计用双线性变换法设计IIR数字数字低通滤波器低通滤波器 为消除频谱混叠现象，用正切变换实现频率压缩： 121tan()2TT (6.4.1) 式中T仍是采样间隔，当1从-/T经过0变化到/T时，则由-经过0变化到+，实现了s平面上整个虚轴完全压缩到s1平面上虚轴的/T之间的转换。这样便有112 11s Ts TesTe(6.4.2) 再通过 转换到z平面上，得到：1s Tze112 1122zsTzsTzsT(6.4.3) (6.4.4) 下面分析模拟频率和数字频率之间的关系。 图6.4.1

41、双线性变换法的映射关系 令s=j,z=e j，并代入(6.4.3)式中，有2 1121tan2jjejTeT (6.4.5) 图6.4.2 双线性变换法的频率变换关系图6.4.3 双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射 设 1120122012211120121212( )( )( )( )1kkakkazsTzkkkkAAsA sA sHsBB sB sB sH zHsaa za za zH zAb zb zb z将上面第二式整理成第三式当阶数较高时是件比较困难的事，当阶数较低时，可以查询已有的表格。如下： 表6.4.1 系数关系表 例6.4.1试分别用脉冲响应不变法和双线性不变法将图6.4

42、.4所示的RC低通滤波器转换成数字滤波器。 解 首先按照图6.4.4写出该滤波器的传输函数Ha(s)为1( ),aHssRC 利用脉冲响应不变法转换，数字滤波器的系统函数H1(z)为 11( )1TH zez 利用双线性变换法转换，数字滤波器的系统函数H2(z)为 111121212112(1)( )( )12,22azsTzzHzHszTTTTH1(z)和H2(z)的网络结构分别如图6.4.5(a),(b)所示。图6.4.5 例6.4.1图H1(z)和H2(z)的网络结构 (a)H1(z); (b)H2(z) 下面我们总结利用模拟滤波器设计IIR数字低通滤波器的步骤。 (1)确定数字低通滤波

43、器的技术指标：通带截止频率p、通带衰减p、阻带截止频率s、阻带衰减s。 (2)将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标（脉冲响应不变法）。 /21tan()2TT 如果采用双线性变换法，边界频率的转换关系为图6.4.6例6.4.1 图数字滤波器H1(z)和H2(z)的幅频特性及T的影响 (3)按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器。 (4)将模拟滤波器Ha(s)，从s平面转换到z平面，得到数字低通滤波器系统函数H(z)。 例6.4.2 设计低通数字滤波器，要求在通带内频率低于0.2 rad时，容许幅度误差在1dB以内；在频率0.3到之间的阻带衰减大于15dB。指定模拟滤

44、波器采用巴特沃斯低通滤波器。试分别用脉冲响应不变法和双线性变换法设计滤波器。 解 (1) 用脉冲响应不变法设计数字低通滤波器。 数字低通的技术指标为 p=0.2rad,p=1dB; s=0.3rad,s=15dB 模拟低通的技术指标为 T=1s,p=0.2rad/s,p=1dB; s=0.3rad/s,s=15dB 设计巴特沃斯低通滤波器。先计算阶数N及3dB截止频率c。 0.10.1lglg0.31.50.21010.092101lg0.0925.884lg1.5psspspssppspkNkN 取N=6。为求3dB截止频率c,将p和p代入(6.2.17)式，得到c=0.7032rad/s，

45、显然此值满足通带技术要求，同时给阻带衰减留一定余量，这对防止频率混叠有一定好处。 根据阶数N=6，查表6.2.1，得到归一化传输函数为234561( )13.86377.46419.14167.46413.8637aHppppppp 为去归一化，将p=s/c代入Ha(p)中，得到实际的传输函数Ha(s), 62652433425665432( )3.86377.46419.14167.46413.86370.12092.7163.6913.1791.8250.1210.1209accccccHsssssssssssss 用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成H(z)。首先将Ha(s)转变成部分分式

46、，并按照(6.3.11)式、(6.3.12)式，或者(6.3.13)式和(6.3.14)式，得到：1112121120.28710.44662.14281.1454( )10.12970.69491 1.06910.36991.85580.630410.99720.2570zzH zzzzzzzz图6.4.7 例6.4.2图用脉冲响应不变法设计的数字低通滤波器的幅度特性 (2) 用双线性变换法设计数字低通滤波器。 数字低通技术指标仍为 p=0.2rad,p=1dB; s=0.3rad,s=15dB 模拟低通的技术指标为21tan,122tan0.10.65/ ,12tan0.151.019/

47、,15PpssTTrad sdBrad sdB 设计巴特沃斯低通滤波器。阶数N计算如下：lglg1.0191.5680.650.092lg0.0925.306lg1.568spspssppspkNkN 取N=6。为求c,将s和s代入(6.2.18)式中，得到c=0.7662rad/s。这样阻带技术指标满足要求，通带指标已经超过。 根据N=6，查表6.2.1得到的归一化传输函数Ha(p)与脉冲响应不变法得到的相同。为去归一化，将p=s/c代入Ha(p)，得实际的Ha(s)， 用双线性变换法将Ha(s)转换成数字滤波器H(z)：2220.2024( )(0.3960.5871)(1.0830.58

48、71)(1.4800.5871)aHsssssss111 61212121120.0007378(1)( )( )(1 1.2680.7051)(1 1.0100.358)110.90440.2155azszzH zHszzzzzz图6.4.8 例6.4.2图用双线性变换法设计的数字低通滤波器的幅度特性6.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计数字高通、带通和带阻滤波器的设计 例如高通数字滤波器等。具体设计步骤如下： (1) 确定所需类型数字滤波器的技术指标。 (2) 将所需类型数字滤波器的技术指标转换成所需类型模拟滤波器的技术指标，转换公式为 21tan2T (3)将所需类型模拟滤波器技术指标

49、转换成模拟低通滤波器技术指标(具体转换公式参考本章6.2节)。 (4)设计模拟低通滤波器。 (5)将模拟低通通过频率变换，转换成所需类型的模拟滤波器。 (6)采用双线性变换法，将所需类型的模拟滤波器转换成所需类型的数字滤波器。 例6.5.1 设计一个数字高通滤波器，要求通带截止频率p=0.8rad，通带衰减不大于3dB，阻带截止频率s=0.44rad,阻带衰减不小于15dB。希望采用巴特沃斯型滤波器。 解 (1)数字高通的技术指标为 p=0.8rad,p=3dB; s=0.44rad,s=15dB (2) 模拟高通的技术指标计算如下： 令T=1，则有12tan6.155/ ,3212tan1.

50、655/ ,32pppsssrad sdBrad sdB (3)模拟低通滤波器的技术指标计算如下：10.163/ ,36.15510.604/ ,151.655ppssrad sdBrad sdB 将p和s对3dB截止频率c归一化，这里c=p, (4)设计归一化模拟低通滤波器G(p)。模拟低通滤波器的阶数N计算如下：1,3.71spsp0.10.1lglg1010.18031013.711.31,2psspspspssppkNkNN 查表6.2.1，得到归一化模拟低通传输函数G(p)为22221( )21( )2cccG pppG sss 为去归一化，将p=s/c代入上式得到： (5) 将模拟低通转换成模拟高通。将上式中G(s)的变量换成1/s，得到模拟高通Ha(s)： 22221( )( )21caccsHsGsss (6)用双线性变换法将模拟高通H (s)转换成数字高通H(z)：11121( )( )azszH zHs实际上(5)、(6)两步可合并成一步，即1111211 21 21212( )