微积分多重积分

1、19.4 9.4 重积分的应用重积分的应用U=,Df x y dd把定积分的元素法推广到二重积分的应用中把定积分的元素法推广到二重积分的应用中. .若要计算的某个量若要计算的某个量U对于闭区域对于闭区域D具有可加性具有可加性(即当闭区域即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和等于部分量之和)，并且在闭区域并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域内任取一个直径很小的闭区域相应地部分量可近似地表示为相应地部分量可近似地表示为 的形式的形式,f x y d2一、曲面的面积一、曲面的面积卫星卫星hoxz3设曲面的

2、方程为：设曲面的方程为：),(yxfz ,Dxoy 面上的投影区域为面上的投影区域为在在,Dd 设小区域设小区域,),( dyx 点点.),(,(的切平面的切平面上过上过为为yxfyxMS .dsdAdAdsszd 则则有有，为为；截截切切平平面面为为柱柱面面，截截曲曲面面轴轴的的小小于于边边界界为为准准线线，母母线线平平行行以以 如图，如图， d),(yxMdAxyzs o 4,面上的投影面上的投影在在为为xoydAd ,cos dAd,11cos22yxff dffdAyx221,122 DyxdffA 曲面曲面S S的面积元素的面积元素曲面面积公式为：曲面面积公式为：dxdyAxyDyz

3、xz 22)()(1 d),(yxMdAxyzs o n A k 5设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(xzhy 曲面面积公式为：曲面面积公式为： .122dzdxAzxDxyzy 设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(zygx 曲面面积公式为：曲面面积公式为： ;122dydzAyzDzxyx 同理可得同理可得6卫星卫星hoxz7于于 是是 通通 讯讯 卫卫 星星 覆覆 盖盖 面面 积积 为为 解解222yxRz 2222sin:RyxD 卫星卫星hoxz如图建立坐标系如图建立坐标系通讯卫星覆盖的曲面通讯卫星覆盖的曲面 是上半是上半球面被半顶角为球面被半顶角为 的圆锥面所的圆锥面所截得的部

4、分，其方程为截得的部分，其方程为 dxdyzzADyx 2218 DdxdyyxRR222 sin022201RrdrrRdR).cos1(22 RhRR cos.2)1(222hRhRhRRRA 通讯卫星的覆盖面积与地球的表面积的比为通讯卫星的覆盖面积与地球的表面积的比为.425. 010)4 . 636(21036)(24662 hRhRA 9由由对对称称性性知知14AA , 1D：axyx 22 曲面方程曲面方程 222yxaz ,于于是是 221yzxz ,222yxaa 解解)0,( yx10面面积积dxdyzzADyx 12214 12224Ddxdyyxaa cos0220142

5、ardrrada.4222aa 11解解解方程组解方程组,22222 yxazazyx得两曲面的交线为圆周得两曲面的交线为圆周,222 azayx在在 平面上的投影域为平面上的投影域为xy,:222ayxDxy 12知知由由222yxaz 221yxzz, 2dxdyyxaaSxyD 222441故故dxdyxyD 2rdrraada 022204122 a ).15526(62 a得得由由)(122yxaz ,2axzx ,2ayzy 221yxzz22221 ayax,441222yxaa 13),(yx二、二、质心质心 1. 1.平面薄片的平面薄片的质质心心xMyM 对对 x 轴的轴的静

6、力矩静力矩 对对 y 轴的轴的静力矩静力矩14当当薄片是均匀的，薄片是均匀的，质质心心称为称为形心形心. .,1 DxdAx .1 DydAy DdA 其中其中,),(),( DDdyxdyxxx .),(),( DDdyxdyxyy 由元素法由元素法15P407 例9-19均匀薄片的质心均匀薄片的质心之间的之间的和和求位于两圆求位于两圆例例 sin4 sin2 4 rr16解解先求区域先求区域 D的面积的面积 A， 20t， ax 20 adxxyA20)( 20)sin()cos1(ttadta 2022)cos1(dtta.32a Da 2a )(xy,),(),( DDdyxdyxxx

7、 17 所所以以形形心心在在ax 上上，即即 ax , DydxdyAy1 )(0201xyaydydxA adxxya2022)(61 203cos16dtta.65 所求形心坐标为所求形心坐标为 ),(65 a.由于区域关于直线由于区域关于直线ax 对称对称 ，18设空间有设空间有n个质点个质点, ),(kkkzyx其质量分别其质量分别, ),2, 1(nkmk由力学知由力学知, 该质点系的质心坐标该质点系的质心坐标,11nkknkkkmmxx,11nkknkkkmmyynkknkkkmmzz11设物体占有空间域设物体占有空间域 ,),(zyx 有连续密度函数有连续密度函数则则 公式公式

8、,分别位于分别位于为为为为即即:采用采用 “分割、求和、取极限分割、求和、取极限” 可导出其质心可导出其质心 2. 2. 空间立体的空间立体的质质心心 ( (书书p/4p/40808) )19将将 分成分成 n 小块小块, ),(kkk 将第将第 k 块看作质量集中于点块看作质量集中于点),(kkk例如例如, nkkkkknkkkkkkvvx11),(),( 令各小区域的最大直径令各小区域的最大直径,0 zyxzyxzyxzyxxxddd),(ddd),( 系的质心坐标就近似该物体的质心坐标系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点的质点,即得即得此此质点质点在第在第 k 块上任取一点块上任取

9、一点20同理可得同理可得 zyxzyxzyxzyxyyddd),(ddd),( zyxzyxzyxzyxzzddd),(ddd),( ,),(常数时常数时当当 zyx 则得则得形心坐标形心坐标：,dddVzyxxx ,dddVzyxyy Vzyxzz ddd 的体积的体积为为 zyxVddd21三、转动惯量三、转动惯量 1.1.平面薄片的转动惯量平面薄片的转动惯量22,),(2 DxdyxyI .),(2 DydyxxI 薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量x薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量y23解解设三角形的两直角边分别在设三角形的两直角边分别在x轴和轴和y轴上，如图轴上，如

10、图aboyx对对y轴的转动惯量为轴的转动惯量为dxdyxIDy 2 babydxxdy0)1(02 .1213 ba dxdyyIDx 2 .1213 ab 24解解先求形心先求形心,1 DxdxdyAx.1 DydxdyAy 建建立立坐坐标标系系如如图图oyx, hbA 区域面积区域面积 因因为为矩矩形形板板均均匀匀,由由对对称称性性知知形形心心坐坐标标2bx ，2hy .hb25将将坐坐标标系系平平移移如如图图oyxhbuvo 对对u轴轴的的转转动动惯惯量量 DududvvI2 22222hhbbdudvv .123 bh 对对v轴的转动惯量轴的转动惯量 DvdudvuI2 .123 hb

11、 2. 空间立体的转动惯量空间立体的转动惯量设物体占有空间区域设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数有连续分布的密度函数. ),(zyx 该立体绕该立体绕x轴、轴、y轴与轴与z 轴的转动惯量分别为轴的转动惯量分别为 26 zyxzyxIxddd),( zyxzyxIyddd),( zyxzyxIoddd),( )(22zy )(22zx )(222zyx 对对 x 轴的转动惯量轴的转动惯量对对 y 轴的转动惯量轴的转动惯量对原点的转动惯量对原点的转动惯量 zyxzyxyxIzddd),()(22 对对 z z 轴轴 的转动惯量的转动惯量: :27空间物体对单位质点的引力空间物体对单位质点

12、的引力,zyxFFFF ,)()()()(,(32020200dvzzyyxxxxzyxkFx为引力常数为引力常数k四、引力四、引力 1. 1. 空间物体对质点的引力空间物体对质点的引力,)()()()(,(32020200dvzzyyxxyyzyxkFy,)()()()(z,(32020200dvzzyyxxzzyxkFz28Rxyzo例例8. 求半径求半径 R 的均匀球的均匀球2222Rzyx对位于对位于)(), 0 , 0(0RaaM的单位质量质点的引力的单位质量质点的引力.解解: 利用对称性知引力分量利用对称性知引力分量0yxFFzF RRzazkd)( vazyxazkd)(2322

13、2 RRzazkd)( 200232222)(ddzRazrrr点点zDazyxyx23222)(dd0MazD29RRzazd )(zF k2 22211azaRza200232222)(ddzRazrrr RRzazkd)( k2RRaza)(1222daazR2aMk R2343RM 为球的质量30薄片对薄片对轴上单位质点的引力轴上单位质点的引力z),(zyxFFFF ,)(),(23222 dayxxyxkFDx ,)(),(23222 dayxyyxkFDy .)(),(23222 dayxyxakFDz 为引力常数为引力常数k 2. 2. 平面薄片对质点的引力平面薄片对质点的引力3

14、1解解由积分区域的对称性知由积分区域的对称性知, 0 yxFF dayxyxafFDz 23)(),(222 dayxafD 23)(1222oyzxFdrrardafR 0222023)(1.11222 aaRfa所求引力为所求引力为.112, 0, 022 aaRfa32五、立体体积五、立体体积1. 曲顶柱体曲顶柱体的顶为连续曲面的顶为连续曲面),(yxfz 则其体积为则其体积为DyxyxfVdd),(,),(Dyx2. 占有空间有界域占有空间有界域 的立体的体积的立体的体积为为zyxVddd33例例10. 求两个底圆半径为求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积的直角圆柱面所围的体积.

15、xyzRRo解解: 设两个直圆柱方程为设两个直圆柱方程为,222Ryx利用对称性利用对称性, 考虑第一卦限部分考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为其曲顶柱体的顶为则所求体积为则所求体积为yxxRVDdd822 220dxRyxxRRd)(80223316R222Rzx22xRz 00:),(22RxxRyDyxxxRRd8022 222Ryx 222Rzx D341:221yxzS任一点的切平面与曲面任一点的切平面与曲面222:yxzS所围立体的体积所围立体的体积 V . 解解: 曲面曲面1S的切平面方程为的切平面方程为202000122yxyyxxz它与曲面它与曲面22yxz的交线在的交线在 xoy 面上的投影为面上的投影为1)()(2020 yyxxyxVDdd 22yx 202000122yxyyxxyxDdd 12020)()(yyxxsin,cos00ryyrxx令2(记记所围域为所围域为D ),(000zyx在点在点Drrrdd2例例11. 求曲面求曲面rr dd1032035xoyza2例例12. 求半径为求半径为a 的球面与半顶角为的球面与半顶角为 的的内接锥面所围成