微积分学PPt标准-第讲无穷小量的比较ppt课件

1、高等院校非数学类本科数学课程脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民 第三章 函数的极限与连续性本章学习要求： 了解函数极限的概念，知道运用“和 “X ”语言描 述函数的极限。 理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。 理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。 掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。 理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数 间断点的类型

2、。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及 闭区间上连续函数的性质介值定理、最值定理）。 理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法。一. 无穷小量比较的概念二. 关于等阶无穷小的性质和定理 设 , 是同一个极限过程中的两个无穷小量.则称 是 的假设, 0lim记为. )(o高阶无穷小,此时, ,lim也可称 是 的低阶无穷小.假设0limCC，为常数,记为则称 与 是同阶无穷小,. )(O假设0 , 0limkCCk，为常数,则称 为 的 k 阶无穷小, 记为. )(Ok . ,是同阶无穷小与此时k则称 是 的假设, 1lim记为. 等阶无穷小,不存在, 但又不是无穷大,假设lim则称 与

3、是不能比较的无穷小.x 0 时的几个无穷小量的比较：).0( )(o , 0lim ) 1 (220 xxxxxxxxxx2sinlim )2(0, 32limsinlim00 xxxxxx)O(2sinxxx)0( x例1xxx20sincos1lim )3(21sin2sin2lim22220 xxxxx)0( )(sinOcos1 2xxx1sinlim )4(0 xxx)0( sin xxxxxx220sin2sin2lim)0 , 0( ln1 axaxax证明1ln1 lim 0axaxx即要证 , 1 xay令ayyxaln)1ln()1 (logaxaxxln1lim 0故)0

4、( ln1 xaxax从而且时则 , 0 , 0 yx)1ln(lim0yyy1)1ln(1lim10yyy有何想法？例2证 ).0( )1ln( ,xxx得到由该例的证明过程 , 21cos1lim 20 xxx因为所以 1 cos x = O( x2 ) ( x 0 ) . )0( 21cos1 2xxx还有例3xxxxxx1sin lim1sinlim 00 x 0 时时,xx1sin不可比较的无穷小.不存在, 但不是无穷大, 与 x 是例4设在某一极限过程中, ) ( lim 或为若a . limlim 则, , 证综上所述, , lim 则设a , limlimlimlimlimli

5、ma , 0 , 0lim , lim 的情形即则设a . lim , 0lim 故于是 . limlim限过程中的第三个变量.z 是该极 设在某极限过程中, limlimzz( 或为 ), 那么假设, limaz zz lim lim，a由定理 1, 得0 1limz, 故 lim z = . 综上所述,设 那么, limaz z limlim那么设 ， 0 1lim z, lim z . limlimzz证设在某极限过程中, , , 那么 .传递性无穷小量可以用其等价无穷小量替代.定理告诉我们:在计算只含有乘、除法的极限时,例例 .21sintanlim 30 xxxx直接计算可得 如果在

6、加减法中用等价无穷小量替代, 则会产生错误: . 0limsintanlim3030 xxxxxxxx ) .sin ;tan , 0 (xxxxx时将常用的等阶无穷小列举如下: xx sinxx tan2cos12xxxx )1ln( mxxm11211xx nxxn1)1 (xex1axaxln12sintan3xxx xx arcsinxx arctan. 0 , , , aNnm其中 当 x 0 时xxx53lim053xxx5sin3tanlim0 xxx5sin3tanlim0求例5解xxx1sinlim2xxx1sinlim2求xxx1lim2xxlim例6解xxxxtansin

7、21lnlim0 xxx21lim0 xxxxtansin21lnlim0求xxxtan)1ln(21lim0 xxxtansin2lim0 xxx2lim0212例7解3221lnlimxxx02limxx3221lnlimxxx求322limxxx例8解2)(cos2lim0 xbaebxx12)()(lim 210 xbaxbax。，babxaxeebxaxxsinsinlim0求bxaxeebxaxxsinsinlim02)(sin2)(cos2) 1(lim)(0 xbaxbaeexbabxx2)(sin1lim)(0 xbaexbax 和差化积例9解 此题也可先在分子处加 1 减

8、1xbxaxnmx11lim0 xbxxaxnxmx11lim11lim00nbmaxbxnxaxmxx1lim1lim00 xbxaxnmx) 11() 11(lim0 xbxaxnmx11lim0求例10解证明：若在某极限过程中0, 0, . 0lim在某极限过程中, 假设 , 那么1limlim011lim1且 0, 那么 的充要条件是例11证反之, , 0lim 若那么lim)(lim101lim1故. ? 55 , 0 332的几阶无穷小量是时当xxxx , 55 55333232xxxx由于 , 555lim55 lim330303232xxxxxx . 32 55 ,0 332阶

9、无穷小量的是时故xxxx)O(5532332xxx例12解 )(limCxxfk解例13 . )122( lim xxxxx求 ,0 , ,1 于是时则令yxyxyyyy11221lim0原式yyyyy)11 (2121lim0yyyyyy11lim2121lim00 . 011解例14 . )2cos1cos(1lim 40 xxx求 ),0( 2cos1 2得由xxx420402)2cos1 (lim )2cos1cos(1lim xxxxxx . 28)2(lim22)2(lim4404220 xxxxxx解例15 . )sin1 (lim cos1120 xxxxe求xxexexxxx

10、xcos1)sin1ln(limexp)sin1 (lim 20cos1120 , )0( 2cos1 , )1ln( 2得由xxxxx220sin 2limexpxxexx . sinlim2lim exp22200exxexxx 也可再用等价无穷小替代 ?这样做行不行 .sin 0 , , 1sinlim 22220 xxexxxexxx时所以由于 )(1lim)sin1 (lim cos1120cos1120 xxxxxxxe故 .)1 (lim22 202exxx) )0( ,21cos1 (2xxx请看下面的定理. , 等价无穷小量为某极限过程中的两个和设 ,)1lim( ,)(li

11、m ,)(axx又在该极限过程中 .)1lim()1lim( )()(axx则有证证 )1lim()1ln()(lim)1ln(lim)()(xxeex )(lim)(limxxee )()1ln(lim)1ln()(limxeex .)1lim()(x ).1ln()1ln( , :则若还可得到等价无穷小 替代解例16 . )( )sin1 ()sin1 ()sin1)(sin1 (lim 132Nnxxxxnnx求 , )0( 11 故由于xmxxmxxxxxxnxsin1sin1sin1sin1sin1sin1lim32原式xxxxxxnxsin11) 1(sin1sin11) 1(si

12、n1sin11) 1(sin1lim32 . ! 113121nn解例17 .coslncoslim 20 xxexx求)1(cos1ln(cos1)1(cos1ln(1lim20 xxxexx原式)1(cos1ln(cos1lim0 xxx)1(cos1ln(1lim20 xexx1coslim20 xxx1coscos1lim0 xxx.)1ln( ;2cos1 ,02xxxxx 时3解例180) , ,( ,lim 2111211nxnxnxxxaaanaaa求 lnlim exp11211naaanxxnxxx原式 11lnlim exp11211naaanxxnxxx 1lim ex

13、p11211naaanxxnxxx)1() 1() 1(limexp11211xnxxxaxaxax .lnlnexpln2121nnaaaaaaaxaxxxxln1)1ln( 0时解例19 . ),cos1 (1)1 ( , 0 312axaxx求常数时已知 ,2cos1 ;1 , 0 2得时由xxnxxxn ,322 3 limcos11)1 (lim12203120axaxxaxxx.23 a故判别级数1)cos1(nnx的敛散性. ( x 0为常数)由于21cos1limnnxn)0( 022xx而121nn是 n = 2 的 P 级数, 它是收敛的,解解即 . )cos1(1收敛nnx故 原级数，212lim2222xnnxn例20解例21 ).(lim 2112sin)(1 lim , )(lim 0 30