电磁场与电磁波试题及答案

1、1. 麦克斯韦的物理意义：根据亥姆霍兹定理，矢量场的旋度和散度都表示矢量场的源。麦克斯韦方程表明了电磁场和 它们的源之间的全部关系：除了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电荷外，变化的磁场也是电 场的源。1. 写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式，并简要说明其物理意义。2. 答非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式为、二J D八EB =0 D = -，（3分）（表明tt了电磁场和它们的源之间的全部关系除了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电荷外，变化的磁 场也是电场的源。1. 简述集总参数电路和分布参数电路的区别：2. 答：总参数电路和分布参数电路的区别主要有

2、二：（1）集总参数电路上传输的信号的波长远大于传输线的几何尺寸 ;而分布参数电路上传输的信号的波长和传输线的几何尺寸可以比拟。（2）集总参数电路的传输线上各点电压（或电 流）的大小与相位可近似认为相同，无分布参数效应；而分布参数电路的传输线上各点电压（或电流）的大小与相位 均不相同，呈现出电路参数的分布效应。1. 写出求解静电场边值问题常用的三类边界条件。2. 答：实际边值问题的边界条件可以分为三类：第一类是整个边界上的电位已知，称为“狄利克莱”边界条件；第二 类是已知边界上的电位法向导数，称为“诺依曼”边界条件；第三类是一部分边界上电位已知，而另一部分上的电位 法向导数已知，称为混合边界条件

3、。1. 简述色散效应和趋肤效应。2. 答：在导电媒质中，电磁波的传播速度（相速）随频率改变的现象，称为色散效应。在良导体中电磁波只存在于导 体表面的现象称为趋肤效应。1. 在无界的理想媒质中传播的均匀平面波有何特性？在导电媒质中传播的均匀平面波有何特性？2. 在无界的理想媒质中传播的均匀平面波的特点如下：电场、磁场的振幅不随传播距离增加而衰减，幅度相差一个实 数因子n （理想媒质的本征阻抗）；时间相位相同；在空间相互垂直，与传播方向呈右手螺旋关系，为TE波。在导电媒质中传播的均匀平面波的特点如下：电磁场的振幅随传播距离增加而呈指数规律衰减；电、磁场不同相，电 场相位超前于磁场相位；在空间相互垂

4、直，与传播方向呈右手螺旋关系，为色散的TE啵。1. 写出时变电磁场在1为理想导体与2为理想介质分界面时的边界条件。2. 时变场的一般边界条件D2n 、E2t =0、=Js、畛 0。（或矢量式比D2、n E2=0、n H 2 = Js、髓B2 = 0）1. 写出矢量位、动态矢量位与动态标量位的表达式,并简要说明库仑规范与洛仑兹规范的意义。2. 答矢量位B二炒A八=0 ；动态矢量位E =或E 。库仑规范与洛仑兹规范的作用都trt是限制A的散度，从而使A的取值具有唯一性；库仑规范用在静态场，洛仑兹规范用在时变场。1. 简述穿过闭合曲面的通量及其物理定义2. ，口 A dS 是矢量A穿过闭合曲面S的通

5、量或发散量。若0，流出S面的通量大于流入的通量，即通S量由S面内向外扩散，说明S面内有正源若0,则流入S面的通量大于流出的通量，即通量向S面内汇集，说明S面内 有负源。若=0,则流入S面勺通量等于流出的通量，说明S面内无源。1. 证明位置矢量r =ex eyy ezz的散度，并由此说明矢量场的散度与坐标的选择无关。2. 证明在直角坐标系里计算 I ,则有+彳c +耳+ ey +ez f去+暮+gz)1exy+ = 3excycz若在球坐标系里计算，则1 1r（r） =-2 （r2r） =-2 （r3） = 3由此说明了矢量场的散度与坐标的选择无关。 r 奋呻 r cr1. 在直角坐标系证明、人

6、 A = 02.47 AAZfAyAxFAAy（ ） （ 丿 （一x :-y:z:-y； z； x；z ；x1.简述亥姆霍兹定理并举例说明。-:Axy)=02.亥姆霍兹定理研究一个矢量场，必须研究它的散度和旋度，才能确定该矢量场的性质。 D-s例静电场1.2.dS八q。D =有源Qe dF =0V JR二R二r = r-r ，证明-RR i-R iR 二 exeez&x: y:zR=二R二 0已知 证明RF eR。无旋I z-z R1试写出一般电流连续性方程的积分与微分形式，恒定电流的呢?2. 一般电流 J d-dq dt Q 、J 屯7 t ；恒定电流Zd0 A 01.电偶极子在匀强电场中会

7、受作怎样的运动？在非匀强电场中呢？2.电偶极子在匀强电场中受一个力矩作用，发生转动；非匀强电场中，不仅受一个 力矩作用，发生转动，还要受力的作用，使 电偶极子中心发生平动，移向电场强的方向 1.试写出静电场基本方程的积分与微分形式。2.答静电场基本方程的积分形式E d x q，名0!微分形式i D / E = 01. 试写出静电场基本方程的微分形式，并说明其物理意义。2. 静电场基本方程微分形式I D / E = 0，说明激发静电场的源是空间电荷的分布（或是激发静电场的源是是电荷的分布）。1. 试说明导体处于静电平衡时特性。2. 答导体处于静电平衡时特性有 导体内E = 0 ； 导体是等位体（

8、导体表面是等位面）； 导体内无电荷，电荷分布在导体的表面（孤立导体，曲率）； 导体表面附近电场强度垂直于表面，且E = ；丁 */ ；0。1. 试写出两种介质分界面静电场的边界条件。2. 答在界面上D勺法向量连续D1n = D2n或（n, Dn! D2）； E勺切向分量连续E1t = E2t或（ n E = f E2）1. 试写出1为理想导体，二为理想介质分界面静电场的边界条件。,2. 在界面上D勺法向量D2n =二或（rt1 D2）； e的切向分量E2t = 0或（K E2 = 0）2.答电位函数：表示的两种介质分界面静电场的边界条件为】二2，：1 : 2 1 2 一.- n : n1.试推

9、导静电场的泊松方程。2.解由、/. v D=P ，其中-； E ；为常数2 j. 2-=-,泊松方程1.试写出电位函数：表示的两种介质分界面静电场的边界条件。1. 简述唯一性定理，并说明其物理意义2. 对于某一空间区域V,边界面为s, 0满足,给定厂T、_:（对导体给定q）则解是唯一的。只要满足唯一性定理中的条件，解是唯一的，可以用能想到的最简便的方法求解（直接求解法、镜 像法、分离变量法）,还可以由经验先写出试探解，只要满足给定的边界条件，也是唯一解。不满足唯一性定理 中的条件无解或有多解。1试写出恒定电场的边界条件。2. 答恒定电场的边界条件为： , :1. 分离变量法的基本步骤有哪些？2

10、. 答具体步骤是1、先假定待求的位函数由两个或三个各自仅含有一个坐标变量的乘积所组成。2、把假定的函数代入 拉氏方程，使原来的偏微分方程转换为两个或三个常微分方程。解这些方程，并利用给定的边界条件决定其中待定常 数和函数后，最终即可解得待求的位函数。1. 叙述什么是镜像法？其关键和理论依据各是什么？2. 答镜像法是用等效的镜像电荷代替原来场问题的边界，其关键是确定镜像电荷的大小和位置，理论依据是唯一性定 理。1. 试写出真空中恒定磁场的基本方程的积分与微分形式，并说明其物理意义。7 B dS=O_2s,V ”B =01 d H dl =送Lj=J说明恒定磁场是2. 答真空中恒定磁场的基本方程的

11、积分与微分形式分别为个无散有旋场，电流是激发恒定磁场的源。1试写出恒定磁场的边界条件，并说明其物理意义。*詁2. 答:恒定磁场的边界条件为：（已H2）=Js 农（BiB2） = 0，说明磁场在不同的边界条件下磁场强度的切 向分量是不连续的，但是磁感应强强度的法向分量是连续。1. 由矢量位的表示式A (r )= 0d证明磁感应强度的积分公式0 J （r ） RB （r）0 .34二.RJ （r ）并证明2. 答、A (r)% J (r )%10d0 J(r ) i ()d4二R4 二RTT_LRR3J(r ) (3)d J4-R4 二TT B = 八 A(r) =01. 由麦克斯韦方程组出发，导

12、出点电荷的电场强度公式和泊松方程。2. 解 点电荷c产生的电场满足麦克斯韦方程、 E =0和一 D 二 由D得j 7 Ddi = PdiTT据散度定理，上式即为pD dS =qs利用球对称性，得故得点电荷的电场表示式D =erc4 - r2可取E =- ，则得Vx D = sV E =丹 N申=-刃2 = P即得泊松方程2z1. 写出在空气和二二的理想磁介质之间分界面上的边界条件2. 解空气和理想导体分界面的边界条件为n H = J s根据电磁对偶原理，采用以下对偶形式E H .- E J s r J ms即可得到空气和理想磁介质分界面上的边界条件=0_ J msn E式中，Jm为表面磁流密度

13、。1. 写出麦克斯韦方程组(在静止媒质中)的积分形式与微分形式。2.D -dl 二(J ) dSs呻a叫B 叫dlB dS.s CtD、H =J、E翌B = 0匚E JsB 能=0 sD 41. 试写媒质1为理想介质2为理想导体分界面时变场的边界条件。2. 答边界条件为4耳Eit =0 或 nEi = 04呻Hit 二 Js或n 比=JsBin二 B2n = 0或4 4n Bi = 04呻Di n二或n Di1试写出理想介质在无源区的麦克斯韦方程组的复数形式。2. 答:心:Hj ；讥 E八:E _H：亍 B = o D =oi试写出波的极化方式的分类，并说明它们各自有什么样的特点2.答波的极化

14、方式的分为圆极化，直线极化，椭圆极化三种。圆极化的特点Exm二吕，且Exm,Eym的相位差为_,2直线极化的特点Exm，Eym的相位差为相位相差0匚3T椭圆极化的特点Exm = Eym 且ExmEym的相位差为或0,二，21. 能流密度矢量（坡印廷矢量）S是怎样定义的？坡印廷定理是怎样描述的？2. 答能流密度矢量（坡印廷矢量）S定义为单位时间内穿过与能量流动方向垂直的单位截面的能量。坡印廷定理的表达式为一J（HH），dS = Q（We +W+P或 -H） dS =Qj（Ae2 +丄 4H2）d jYE2d ,反映 4dt”4叫 22弋了电磁场中能量的守恒和转换关系。1试简要说明导电媒质中的电磁

15、波具有什么样的性质？（设媒质无限大）2.答导电媒质中的电磁波性质有电场和磁场垂直；振幅沿传播方向衰减；电场和磁场不同向；以平面波形式传播。2.时变场的一般边界条件 Din -D2n 二-、Eit 二 E2t : Hit - H?t 二 Js、Bn 二 B2n （写成矢量式 HL（Di - D2）=匚 丄*丄八，人 八、n （Ei-E2）=0、n （比-无）7$、乩-即二。一样给5分）i. 写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式，并简要说明其物理意义。2答非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式为 H = J da E 退八6=0,D（表明了电磁 ctct场和它们的源之间的全部关系除了真实电流外，

16、变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电荷外，变化的磁场也是 电场的源。1. 写出时变电磁场在i为理想导体与2为理想介质分界面时的边界条件2. 时变场的一般边界条件D2n = ；丁、E2t =0、= Js、 =0 （写成矢量式HLDz -；：-、E2 =0、 n H2 二 Js、艷B2 =0 样给5分）i.写出矢量位、动态矢量位与动态标量位的表达式,并简要说明库仑规范与洛仑兹规范的意义。2.答矢量位B宀A,= 0 ；动态矢量位EA或E亠=。库仑规范与洛仑兹规范的作用ct&都是限制A的散度，从而使A的取值具有唯一性；库仑规范用在静态场，洛仑兹规范用在时变场。1. 描述天线特性的参数有哪些？2.

17、答描述天线的特性能数有辐射场强、方向性及它的辐射功率和效率。1. 天线辐射的远区场有什么特点？2. 答天线的远区场的电场与磁场都是与i/r成正比，并且它们同相，它们在空间相互垂直，其比值即为媒质的本征阻 抗，有能量向外辐射。1. 已知八QO#咨耳+ 2,牟)A/m 求 穿过面积-在：；方向的总电流(2) 在上述面积中心处电流密度的模；(3) 在上述面上的平均值。2.T二 j J ds= j J曳=O#二5”氐严-3 前)如A面积中心，(1)ydz-= -x12.6(3!-2s)399(2)2一 - ,A /= 281.25q -45耳 +81q.|7| =也81 莎 +亦衣 1亍二 296.1

18、21 A /it的平均值_ I399. 2 - 3 8)(3 - 2)1.4 圈 285 A /mz1. 利用直角坐标系证明i (fG)二f G r f) G2. 证明左边 * (fA) j (fAxg fAyg fAzSz)(二识泌 ：(fAy)e ：( fAz)eexcycz_ f Ax)/ A 卫危 f ；：戌.A 心)exx exdycyf z)ez. ArfWzL、厶.f:z:z珂 f 卫虫.f ：(Ay)ey .ex&y：:(f)eyr(f)gAyy Ayy:yy_ d 4f A A：(/ Ar(f)eiO 七一 ayXOe0 吟(v/m) 求(1)平面波的传播方向；(2) 频率；

19、(3) 波的极化方式；(4) 磁场强度；(5) 电磁波的平均坡印廷矢量Sav。2.解（1）平面波的传播方向为+z方向频率为 f *=3 109Hz2兀兀ji波的极化方式因为Exm二Eyr. =10, ； x - y =0，故为左旋圆极化.2 2磁场强度: E(0z 站0 jz a、 二丄住10一 jax1o)e-j20z0(5)平均功率坡印廷矢量SajRe2丄幺10鼻01(10)2=1 2 10$匾2 120 二=0.265 10“az(W/m2)E H*H-Re(ax10 jay10*)e-j20z2沁az01. 两平行无限长直线电流11和12，相距为d ,求每根导线单位长度受到的安培力F

20、m。2. 解无限长直线电流11产生的磁场为B e 打1B - e冲直线电流12每单位长度受到的安培力为1卩I IFm12 = . Fz B4 Z-02 0 1 2 0式中e12是由电流h指向电流丨2的单位矢量。 同理可得，直线电流山每单位长度受到的安培力为0丨1丨2F m21 = _Fm12 =。12 -2二 d2d1. 一个半径为a的导体球带电荷量为Q，当球体以均匀角速度绕一个直径旋转，求球心处的磁感应强度B。2. 解球面上的电荷面密度为_ Q2J =4二a当球体以均匀角速度绕一个直径旋转时，球面上位置矢量r =e ra点处的电流面密度为J s = ；： v 二二 3 r = ；： ezer

21、a口Qa二 e*；：；、asin v - e sin 二4 a将球面划分为无数个宽度为dl二adr的细圆环，贝y球面上任一个宽度为dl细圆环的电流为-可编辑修改-= JSdl细圆环的半径为b=asinT，圆环平面到球心的距离dacosE，利用电流圆环的轴线上的磁场公式，贝y该细圆环 电流在球心处产生的磁场为223d BA0b d I%BQa sin 日 d 日e 2(b2 +d2)32 乙 8ir(a2sin2 日 +a2 cos2日)323% Qsin vdv二 ez 8兀a故整个球面电流在球心处产生的磁场为B j土空亡d，1.半径为a的球体中充满密度?（r）的体电荷，已知电位移分布为r3

22、Ar2a5 Aa4(r沏(r - a)其中A为常数，试求电荷密度（r）。2解由 |_|D，有珥r）八Ld二丄二仃乜）r d r故在r : a区域珥r）=；。丄2（3 Ar2） = ；0（5r2 4Ar） r d r在r a区域54r(r)1 d 2 (a Aa )0r 2 = r drr1. 一个半径为a薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为Q为的体电荷，球壳上又另充有电 荷量Q。已知球内部的电场为E二er（rfa）4，设球内介质为真空。计算（1）球内的电荷分布；（2）球壳外表面的 电荷面密度。2解（1）由高斯定理的微分形式可求得球内的电荷体密度为1 d 21 d 2 r4r3

23、: UEp丁（r E）八二丁（-）H6-7 r drr dr aa（2）球体内的总电量Q为a3Q = 6 ； 4二 r2dr *；a2Ta球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷- Q，而且在球壳外表面上还要感应电荷Q，所以球壳外表面上的总电荷为2q ，故球壳外表面上的电荷面密度为2Q4 二 a2=2 ；其中K为一常数。（1）计算束缚电荷1. 一个半径为R的介质球，介电常数为；，球内的极化强度P二K r体密度和面密度；（2）计算自由电荷密度；（3）计算球内、外的电场和电位分布 2解 （1）介质球内的束缚电荷体密度为?p_d r2 dr在r =只的球面上，束缚电荷面密度为二 n|_P r 厂 er _

24、P r zR = R(2)由于D = ；。E P，所以i |_D 二0、_EJ _P 二上 iD iPz即(1-亠 |_d j|_p由此可得到介质球内的自由电荷体密度为总的自由电荷量- =d = Lp 二(；- ；0)名K R 12q =：?d2 4二 r dr 口- 0 0 r- - 04二；RKT(3)介质球内、外的电场强度分别为=er(r : R)-p(； - p) r；RK-2 = e r2 (rR)4 庇 rS02 齢)r介质球内、外的电位分别为1 二.Ebdl=EprE2drRQOdr ；RKr ( ； - ；0)R ；0( ； - ；0)rdrK , R ；K In0 r ；0(

25、 ； - ；0)；RK(r - R)E2dr；0(-0)r2 dr；RK；o(； - ；o)r(r -R)(x,y)二4Uon二 y、. ,n：xsinh()sin()二 n土3,5,屮 nsinh(n- b a)aaU02bU仝 Asin(空)sin()ePbbWm01400 0.001Wm，l2 二 r0 _l02 二 0.150.001= 1.4871 9 H 二eycos(9 10 t 30z)A/m3兀9E =ex40cos(9 10 t 30z)V/m1.海水的电导率=4S/m，相对介电常数 =81。求频率为10kHz 100kHz 1MHz 10MHz 100MHz1GH的电磁波

26、在海水中的波长、衰减系数和波阻抗。2解先判定海水在各频率下的属性丄 Y48.8 勺08g 2兀 f% 2兀181%f可见，当f 107HzV1时，满足，；，海水可视为良导体。此时f=10kHZ 寸二 f-0(1 j)一-10 1034二0.126 二=0.396 Np/m= 15.87 m0.126 :d101034二10 = 0.099(1 j)门f=100kHZ 寸:-.二 100 103 4二 102 4 =1.26二 Np/m5 mP 1.26兀c =(1 j)二 100 103 4二 10”0.314(1 j)1f=1MH时二106 4二 10门 4 =3.96Np/m3.96：=1.587m=(1 j)= 0.99(1