微分几何25曲面论的基本定理ppt课件

1、第五节 曲面论的基本定理一些符号222112112121,rrrrrrrrrrrrvuuuvvvuuvuuvu22222112211111,grrGggrrFgrrEgggggFEG2221121122222211221121111,LnrNLLnrnrMLnrL,2121,21,babababajijiii注意1和号中上，下标与字母选取无关，（2只对上，下标相同的标号求和。jijiijdudugdudugdudugdudugdudugGdvFdudvEdu,2222122121121111222jijiijduduLNdvMdudvLdu,2225、1 曲面的基本方程与克氏符号 给出了一个

2、类的曲面S： ，可确定三个向量对这三个向量求导，就得到一个类似于曲线论中基本公式的式子，但我们希望用一个简便的式子表示，于是令3c),(vurrnrr,21ijjiikijkkijijjirnnrr) 1 ()2 , 1,(, 上式中第一式点乘 ，得到nijijkijkkijijLnnnrrn又 ，两边求导得jiijrrg,jlijillijrrrrug,ljilijjilrrrrug,lijljiijlrrrrug后两式相加并减去第一式得)2()(21,klkkijlijlijijljilgrruguguglij 令 是 的逆矩阵并采用克罗内尔符号)(ijg)(ijg. 2 , 1, 0,

3、1jijijiggkijkjik. 2 , 1,.)(21,kjiggggugugugglijgkijkkijlklklkkijklkkijlkllijijljillkllkl还可得到 ，称为第二类克里斯托费尔符号，也称连络系数，ij,k称为第一类的克里斯托费尔符号，采用原来的符号有P133。对于曲面上的正交网，F=0，有P133。kjikij对1中的第二式两边点乘kr. 2 , 1,kigrnLjkjjikiik.kjijikjjkjkjijkjjikjkikkjkggggLg用过去的符号有P133。于是得到 的导向量公式： 称为曲面的基本方程，其中第一式叫高斯方程，第二式叫温加顿方程。nr

4、r,21kjjkjikikijkkijijjirgLnnLrr,) 1 ()2 , 1,(,5.2 曲面的黎曼曲率张量和高斯-科达齐公式一、曲率张量1、定义：曲面的曲率张量第二类黎曼曲率张量为. 2 , 1, )(lkjiuuRplpjpiklpkpijjlikklijlijk2、性质1反对称性关于j,k），即 直接代入定义可得到。特别地：likjlijkRR0lijjR性质2三个下标作循环置换后相加的和为0，即 此式称为Ricci恒等式。（直接验算）0lkijljkilijkRRR3、定义另一方种黎曼曲率张量为由于4个指标有16种排列，所以有16个分量，它们有如下性质：2 , 1,kjimR

5、gRlijklmlmijk 4、性质1反对称性：,mikjmijkRR,imjkmijkRR. 0mmjkR. 0mijjR性质2对称性：性质3对后三个下标作循环置换后相加的和为0，即.jkmimijkRR. 0mkijmjkimijkRRR 证明：0)(lkijljkilijklmlllkijmllljkimllijklmlmkijmjkimijkRRRgRgRgRgRRR 由反对称性 这里共有12个分量为0，又由对称性及反对称性得到因此16个分量中只有R1212为独立的，它其实就是高斯曲率。最后指出，黎曼曲率张量只与gij有关，即为曲面的内蕴量。. 022112211mimijkjkRRR

6、R2121122121121212RRRR二、高斯-科达齐-迈因纳尔迪公式命题1高斯公式 2科达齐迈因纳尔迪公式mjikmkijmijkLLLLR. )(llklijljlikjikkijLLuLuL 三、高斯定理：曲面的高斯曲率为内蕴量。 由前面知，Rmijk的16个分量中只有一个是独立的，即R1212 ，并且为内蕴量，利用高斯公式得到 所以)()(222221112121212FEGKMLNLNMLLLLRgRK1212 对高斯方程求导. 2 , 1, )()(jinLrrlijllijijlkijkijlklijlklijkijnLnuLrrur)()(llmlmklmijkijlkml

7、mmlklijlklijijkrLgLnuLnLrrur)()(,kjjkjikikijkkijijrgLnnLrr,llmlmklmijkijlkllijmlmmlklijlklijijkrLgLnuLnLrrur,llmlmjlmikjikljllikmlmmljlikljlikikjrLgLnuLnLrrur, 上面两式相减，左边为0，而右边为 的线性组合，但l,m=1，2，所以实际上右边为 的线性组合，可写为 但 线性无关不共面），故p,q,r均 为0，如 p=0，有nrrml,nrr,21021nrrqrpnrr,21.)()()(1111111111mmjmikmkmijlljli

8、klklijjikkijrLgLLgLrruurp)()(11111mmjikmkijmlljliklklijjikkijLLLLguu)()(mmjikmkijlmplpjpiklpkpijjlikklijlijkLLLLguuR)2 , 1,(.)(mkjiLLLLLLLLggRgRmjikmkijmmjikmkijlmlmllijklmlmijk即为高斯公式。同理对q=0有：两式合并得l 改为p）)()(22222mmjikmkijmlljliklklijjikkijLLLLguu利用 的系数为零得n. 2 , 1, )(kjiLLuLuLllklijljlikjikkij. 0)(llklijljlikjikkijLLuLuL注意：这量共有222=8 个式子，但只有2个是独立的。即为. )(221122122221lllllLLuLuLlllllLLuLuL)(211112112211 把克氏符号代入可得到具体表达式，P138。 四、高斯曲率的具体表达式用第一基本量表示）。GFGFEEGEGFGFEGFEFEGEFFEGKuvuvvuvvuuuuvvuv21212121212121212121220)(1对于正交网来说有 F = 0，所以vvuuGEEGEGK1 设是给定的两个二次微分形式，其中