2.4连续型随机变量及其概率密度ppt课件

1、一、连续型随机变量的概念一、连续型随机变量的概念二、常见连续型随机变量的分布二、常见连续型随机变量的分布三、小结三、小结第四节连续型随机变量及其概率第四节连续型随机变量及其概率密度密度定义定义 设设 X X 是一随机变量，若存在一个非负是一随机变量，若存在一个非负 可积函数可积函数 f ( x ), f ( x ), 使得使得xttfxXPxFxd)()(其中其中F ( x )F ( x )是它的分布函数是它的分布函数则称则称 X X 是连续型随机变量，是连续型随机变量，f ( x )f ( x )是它的是它的概率密度函数，简称为密度函数或概率密度概率密度函数，简称为密度函数或概率密度一、连续

2、型随机变量及其概率密度一、连续型随机变量及其概率密度-10-550.020.040.060.08x xf ( x)f ( x)x xF ( x )F ( x )分布函数分布函数F ( x )F ( x )与密度函数与密度函数 f ( x ) f ( x )的几何意义的几何意义)(xfy 概率密度函数概率密度函数f ( x )f ( x )的性质的性质1 1、0)(xf2 2、1)(d)(Fxxf常利用这两个性质检验一个函数能否作为连常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性随机变量的密度函数，或求其中的未知续性随机变量的密度函数，或求其中的未知参数参数3 3、在在 f ( x ) f ( x

3、) 的连续点处，的连续点处，)()(xFxff ( x ) f ( x ) 描述了描述了X X 在在 x x 附近单位长度的区间内附近单位长度的区间内取值的概率取值的概率4 4 对于任意可能值对于任意可能值 a , a ,连续型随机变连续型随机变量取量取 a a 的概率等于零的概率等于零. .即即. 0 aXP)(aX )(aXxa0 x事实上事实上)()(0aXxaPaXPaxaxxfd)(axaxxxfaXPd)(lim)(0000)(aXP由此可得：由此可得：)(bXaP)(bXaP)(bXaP)(bXaP)()(d)(aFbFxxfbab bx xf ( x)f ( x)-10-550

4、.020.040.060.08a a连续型随机变量取值落在某一连续型随机变量取值落在某一区间的概率与区间的开闭无关区间的概率与区间的开闭无关)()()(bFbXPbXP)(1)()(aFaXPaXPxf ( x)-10-550.020.040.060.08a. 0 aXP若若X是连续型随机变量，是连续型随机变量， X=a 是不是不可能事件，则有可能事件，则有, 0 aXP若若是不可能事件是不可能事件aX . 0 aXP假设假设 X 为离散型随机变量为离散型随机变量, （3 3）连连续续型型离离散散型型是是不不可可能能事事件件则则不不能能确确定定aX .1)2(;) 1 (., 0, 20),2

5、4()(2XPcxxxcxfX求确定常数其它具有概率密度随机变量设解解, 1d)()1( xxf由由例例1 1, 1d)24(202xxxc得.83c解之得的概率密度为知由Xc83)2(., 020),24(83)(2其它xxxxf 2102483122121dxdxxxdxxfXP例例 设连续性随机变量设连续性随机变量X的分布函数为的分布函数为 解：由F(x)的连续性，有xfAxxAxxxF及概率密度求常数1,110,0,02 1110121limAFAxFx 其他, 010 ,2xxxFxf二、常见连续型随机变量的分布二、常见连续型随机变量的分布).,(,),(, 0,1)(baUXbaX

6、bxaabxfX记为记为区间上服从均匀分布区间上服从均匀分布在区间在区间则称则称其它其它具有概率密度具有概率密度设连续型随机变量设连续型随机变量定义定义 1. 均匀分布均匀分布xo)(xf a b概率密度概率密度函数图形函数图形均匀分布概率密度函数演示均匀分布概率密度函数演示均匀分布的意义均匀分布的意义,),(Xba变量变量上服从均匀分布的随机上服从均匀分布的随机在区间在区间.),(性性是是相相同同的的内内的的可可能能中中任任意意等等长长度度的的子子区区间间落落在在区区间间baxo)(xf a bab 1 lablp l即即 X X 的取值在的取值在(a,b)(a,b)内任何长为内任何长为 d

7、 c d c 的小区间的小区间的概率与小区间的位置无关的概率与小区间的位置无关, , 只与其长度成正只与其长度成正比比. . 这正是几何概型的情形这正是几何概型的情形. . ., 1, 0)(bxbxaabaxaxxF分布函数分布函数xo)(xF a b 1均匀分布分布函数图形演示均匀分布分布函数图形演示 例例2 某公共汽车站从上午某公共汽车站从上午7时起，每时起，每15分钟来一班分钟来一班车，即车，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等时刻有汽车到达此等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间站，如果乘客到达此站时间 X 是是7:00 到到 7:30 之间的之间的均匀随机变量均匀随

8、机变量, 试求他候车时间少于试求他候车时间少于5 分钟的概率分钟的概率.解解依题意，依题意， X U ( 0, 30 ) 以以7:00为起点为起点0，以分为单位，以分为单位其它, 0300,301)(xxf 为使候车时间为使候车时间X少于少于 5 分钟，乘客必须在分钟，乘客必须在 7:10 到到 7:15 之间，或在之间，或在7:25 到到 7:30 之间到达车站之间到达车站.所求概率为：所求概率为：30251510XPXP3130130130251510dxdx即乘客候车时间少于即乘客候车时间少于5 分钟的概率是分钟的概率是1/3.从上午从上午7时起，每时起，每15分钟来一班车，即分钟来一班

9、车，即 7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，等时刻有汽车到达汽车站，例例3 3设随机变量设随机变量X X服从服从(1,6)(1,6)上的均匀分布，求上的均匀分布，求一元两次方程一元两次方程t2+Xt+1=0t2+Xt+1=0有实根的概率有实根的概率. . 解解: :.01,0422有有实实根根时时因因为为当当 XttX故所求概率为故所求概率为: : )04(2XP)22( XXP或或而而X X的密度函数为的密度函数为 : : ,0;61,51)(其其他他xxf, 0)2(,54)()2(62 XPdttfXP且且因此所求概率因此所求概率 .54)04(2 XP2 2 指数分布指

10、数分布假设假设 X X 的密度函数为的密度函数为其他, 00,)(xexfx则称则称 X X 服从服从 参数为参数为的指数分布的指数分布)(EX记作记作X X 的分布函数为的分布函数为0,10, 0)(xexxFx 0 0 为常数为常数对于任意的对于任意的 0 a b, 0 a 0， 那么 称 X 服从参数为 和 的正态分布. 2 2 其中:正态概率密度函数的几何特征正态概率密度函数的几何特征;)1(对对称称曲曲线线关关于于x ;21)(,)2(xfx取取得得最最大大值值时时当当 ; 0)(,)3(xfx时时当当;)4(处有拐点处有拐点曲线在曲线在x 即，渐近线为x轴参数称为位置轴作平移变换着

11、只是沿图形的形状不变的大小时改变当固定xxf;,)(,)5(称为形状参数图形越矮越胖越大图形越高越瘦越小而形状在改变不变图形的对称轴的大小时改变当固定xf.,)(,)6(正态分布密度函数图形演示正态分布密度函数图形演示正态分布由它的两个参数和唯一确定， 当和不同时，对应的是不同的正态分布。标准正态分布下面介绍一种最重要的正态分布标准正态分布其密度函数和分布函数常用 和 表示：( )x ( )x 221( ),2xxex 221( )2txxedt 01, 的正态分布为标准正态分布.称其图形为:( ) x ( ) x 密度函数( )x ( )x 分布函数教材P439附表2为标准正态分布函数数值表

12、，借助于附表2 ，可以查表计算一般正态分布的概率问题。关于正态分布表()1( )xx 221( )2txxedt xx表中给出的是 时, (x)的值.0 x 当 时有：0 x例题例题 设连续性随机变量设连续性随机变量XN(0，1),求求1P1X2; 2)P-1X2 1P1X2=2）-1） =0.97725-0.8413=0.13595 2)P-1X80=1-F(80)=1-(80-72/12)=1-0.7486=0.25142)P60X84=(84-72/12)-(60-72/12)=0.68263)PX60=(60-72/12)=(-1)=1-(1)=0.1587已知自动车床生产的零件的长度

13、X(毫米)服从正态分布)75. 0 ,50(2N,如果规定零件的长度在5 . 150 毫米之间为合格品.求:生产零件是合格品的概率解:)75. 0 ,50(2NX例.)5 . 150( XP)5 .515 .48( XP51.550()0.75 所求的概率为：48.550()0.75 )2()2( )2(1()2( 1)2(2 19772. 02 9544. 0 查附表2例.),5 ,27(2NX从旅馆到飞机场沿 A 路走(路程断，交通拥挤)所需时间(分钟)沿 B 路走路程)2 ,30(2NY长，阻塞少)所需时间(分钟)若现在只有 30分钟.问：分别选择哪一条路为好? 解:依题意，选择所需时间

14、超过规定时间的概率较小的路线为好.当只有30分钟可用时:A 路: )30(XP)30(1 XP30271()5 1(0.6)7257. 01 2743. 0 B 路:)30( YP)30(1 YP30301()2 5 . 01 5 . 0 结论：此时应选择A路液体的温度X)5 . 0 ,(2dNX(以计)是一个随机变量，且将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器调整在0d C例.(1) 假设90 d, 求 X 小于89的概率.(2) 若要求保持液体的温度至少为80的概率 不低于0.99，问 d 至少为多少?解:(1)(89)P X )5 . 090895 . 090( XP)5 . 0805 . 0(1dd