中考16讲苏科版数学-第4讲--直线型函数图象的应用

1、中考16讲苏科版数学第 4讲直线型函数图象的应用一、填空题（本大题共1小题，共3.0分）1. 在正方形ABCD中，O是AD的中点，点P从点A出发沿ABCD的路线匀速运动，到点D时停止    （1）如图，若正方形的边长为12，点P的运动速度为2单位长度/秒，设t秒时，正方形ABCD与POD重叠部分的面积为y，     求当t4,8,14时，y的值；    求y关于t的函数解析式    （2）如图，若点Q从点D出发沿DCBA的路线匀速运动，运动到点A时停止P，Q两点同时出发，点P

2、的速度大于点Q的速度设t秒时，正方形ABCD与POQ(包括边缘及内部)重叠部分的面积为S，S关于t的函数图象如图所示，则：     P，Q两点在第_秒相遇；正方形ABCD的边长是_单位长度；    点P的速度为_单位长度/秒；点Q的速度为_单位长度/秒二、解答题（本大题共8小题，共64.0分）2. 老王乘坐7:00的高铁从A地去B地开会，出发后发现一份重要的文件未带，让同事小李乘坐8:00的动车将文件送至B地因火车会车原因，动车在途中停留了0.5h若高铁与动车的行驶路线相同，行驶过程中两车都以各自的速度匀速行驶，且A地到B地的全线长为

3、1350km设高铁出发时间为t(h)，高铁与动车的距离为y(km)，y与t的函数图象如图所示     （注：高铁出发时，动车在A地；高铁到达B地后进行补给，直至动车到达B地）    （1）高铁速度为_，m_；    （2）求动车的速度；    （3）若小李当天16:00前能到达B地火车站，老王的会议就不会受影响请通过计算说明老王的会议会不会受影响3. 一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发设慢车行驶的时间为x(h)，两车之间的距离为y(km)，图中的折线

4、表示y与x之间的函数关系根据图象进行以下探究：     （1）甲、乙两地之间的距离为_km；    （2）请解释图中点B和点C的实际意义：_；    （3）慢车的速度是_km/h，快车的速度是_km/h；    （4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围4. 现有一笔直的公路连接M，N两地，甲车从M地驶往N地，速度为60km/h；同时乙车从N地驶往M地，速度为80km/h途中甲车发生故障，于是停车修理了2.5h，修好后立即开车驶往N地设甲车行驶的

5、时间为t(h)，两车之间的距离为s(km)已知s与t的函数关系的部分图象如图所示     （1）问：甲车出发几小时后发生故障？    （2）请指出图中线段BC的实际意义；    （3）将s与t的函数图象补充完整（友情提醒：请对画出的图象用数据作适当的标注）5. 如图，点A，D分别在x轴和y轴上，CDx轴，BCy轴点P从点D出发，以1cm/s的速度，沿五边形DOABC的边匀速运动一周记顺次连接P，O，D三点所围成图形的面积为S(cm2)，点P运动的时间为t(s)已知S与t之间的函数关系如图中折线段OEFGH

6、I所示     （1）求A，B两点的坐标；    （2）若直线PD将五边形ABCD分成面积相等的两部分，求直线PD的解析式6. 如图，在ABC中，ABAC，BCa(cm)，B30°动点P以1cm/s的速度从点B出发，沿折线BAC运动到点C时停止运动设点P出发x(s)时，PBC的面积为y(cm2)已知y与x的函数图象如图所示请根据图中信息，解答下列问题：     （1）试判断DOE的形状，并说明理由；    （2）当a为何值时，DOE与ABC相似？7. 如图，在菱形A

7、BCD中，A60°，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿边AB，BC，CD匀速运动至点D终止，同时点Q从点A出发，沿边AD匀速运动至点D终止设点P运动的时间为t(s)APQ的面积S(cm2)与t(s)之间函数关系的图象由图中的曲线段OE与线段EF，FG给出     （1）求点Q运动的速度；    （2）求图中线段FG所在直线的解析式；    （3）问：是否存在这样的t，使PQ将菱形ABCD的面积恰好分成1:5的两部分？若存在，求出这样的t的值；若不存在，请说明理由8. 如图，B，D分别是x轴和y

8、轴的正半轴上的点，ADx轴，ABy轴(ADAB)，点P从点C出发，以3cm/s的速度沿CDAB匀速运动，运动到点B时终止；点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BCD匀速运动，运动到点D时终止P，Q两点同时出发，设运动的时间为t(s)，PCQ的面积为S(cm2)，S与t之间的函数关系由图中的曲线段OE，线段EF，FG表示     （1）求A，D两点的坐标；    （2）求图中线段FG所在直线的解析式；    （3）是否存在这样的t，使得PCQ为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由9. 如

9、图，在矩形ABCD中，点P从点A出发，以3cm/s的速度沿边ABCDA匀速运动；同时点Q从点B出发，沿边BCD匀速运动，当其中一个点到达终点时两点同时停止运动设点P运动的时间为t(s)APQ的面积S(cm2)与t(s)之间函数关系的部分图象由图中的曲线段OE与线段EF给出     （1）点Q运动的速度为_cm/s，a_cm2；    （2）若BC3cm，    求t3时，S的函数解析式；    在图中画出中相应的函数图象答案和解析1.【答案】解：（1）正方形ABCD的边长为1

10、2，S 正方形ABCD=12 2=144 O是AD的中点，OA=OD=6 （）当t=4时，如图1 AP=2×4=8，OA=6， SOAP=12×AP×OA=24， y=S 正方形ABCD-S OAP=144-24=120； （）当t=8时，如图1 AB+BP=2×8=16，AB=12， BP=4，CP=12-4=8， yy=12（OD+CP）×CD=12×（6+8）×12=84;（）当t=14时，

11、如图1 AB+BC+CP=2×14=28，AB=BC=CD=12， DP=12×3-28=8， y=SODP=12×DP×OD=24； 分三种情况： （）当0t6时，点P在边AB上，如图1 AP=2t，OA=6， SOAP=12×AP×6=6t， y=S 正方形ABCD-S OAP=144-6t； （）当6t12时，点P在边BC上，如图1 AB+BP=2t，AB=CD=12， CP=24-2t， 

12、y=12（OD+CP）×CD=12×（6+24-2t）×12=180-12t； （）当12t18时，点P在边CD上，如图1 AB+BC+CP=2t，AB=BC=CD=12， DP=36-2t， y=SODP=12×DP×OD=108-6t 综上可知，y= 144-6t(0t6)180-12t(6t12)108-6t(12t18)； （2）4，4；2，1【解析】【分析】本题考查的是动点问题的函数图象与一次函数综合题，综合性很强，难度较大根据动点运动的速度及运动路线确定动点的位置

13、是解题的关键，运用分类讨论的思想正确进行分类是本题的难点（1）由于正方形ABCD的边长为12，点P从A点出发沿ABCD的路线匀速运动，且运动速度为2单位长度/秒，所以首先确定t=4，8，14时P点所在的位置，然后根据重叠部分的形状，运用相应的面积公式即可求出对应的y值； 由于点P在每一条边上运动的时间为6秒，所以分三种情况进行讨论：（）当0t6，即点P在边AB上时；（）当6t12，即点P在边BC上时；（）当12t18，即点P在边CD上时针对每一种情况，都可以根据重叠部分的形状，运用相应的面积公式求出对应的y关于t的函数解析式； （2）由于t=0时，点P与A点重合，点Q与D点

14、重合，此时S=16=S 正方形ABCD，所以得出正方形的边长=4；又因为S=0，P，Q两点相遇，而此时对应的t=4，所以P，Q两点在第4秒相遇； 由于S与t的函数图象由5段组成，而只有当P，Q相遇于C点时图象分为5段，其余情况图象分为6段，所以P，Q相遇于C点，根据时间相同时，速度之比等于路程之比得出点P的速度是点Q的速度的2倍，再由t=4时，P、Q两点运动的路程之和等于AB+BC+CD，据此列出方程，求解即可； 【解答】解：（1）见答案；（2）t=0时，S=S正方形ABCD=16，正方形ABCD的边长=4t=4时，S=0，P，Q两点在第4秒相遇；S与t的函数图象

15、由5段组成，P，Q相遇于C点，时间相同时，速度之比等于路程之比，而点P运动的路程=点Q运动的路程的2倍，点P的速度=点Q的速度的2倍设点Q的速度为a单位长度/秒，则点P的速度为2a单位长度/秒t=4时，P，Q相遇于C点，正方形ABCD的边长为4，4（a+2a）=4×3，a=1故点P的速度为2单位长度/秒，点Q的速度为1单位长度/秒故答案为4，4；2，12.【答案】解：（1）300km/h；4.5h；（2）设动车的速度为vkm/h，由图形得：n=4.5-0.5=4，300×4-（4-1）×v=600v=200答：动车的速度为200km/h；（3）不会，理由是：动车到

16、达的时间：1350200+0.5=7.25，8+7.25=15.2516，老王的会议不会受影响【解析】本题主要考查了一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，重点是理解每个点坐标真正意义，求出高铁和动车的速度是关键（1）根据速度=路程÷时间得出高铁速度，再利用时间关系得出m的值即可；（2）动车在途中停留了半小时，观察图形可知：动车停留在BC段，所以n=4；设动车的速度为vkm/h，由点B（4，600），可知4小时时动车与高铁距离为600千米，列方程求出v的值；（3）先计算动车从A地去B地运行的总时间，再计算几点钟到达，与16点相比较即可解：（1）高铁速度为=300km/hm=4.5h，

17、故答案为：300km/h，4.5h；（2）见答案；（3）见答案3.【答案】（1）900；（2）出发后4小时两车相遇，C点的实际意义是快车到达目的地；（3）75，150；（4）由题意可得：快车走完全程的时间为900÷150=6h，6小时时两车之间距离为225×（6-4）=450km，则C（6，450），设线段BC的解析式为y=kx+b，由题意可得：0=4k+b450=6k+b，解得：k=225b=-900，则y=225x-900，自变量x的取值范围为4x6.【解析】【分析】本题考查的是一次函数的综合应用有关知识.（1）根据坐标系中A点纵坐标为900，得出甲乙两地距离即可；（2

18、）根据两车相距0km，则点B即是两车相遇，C点的实际意义是快车到达目的地；（3）由函数图象的数据，根据速度=路程÷时间就可以得出慢车的速度，由相遇问题求出速度和就可以求出快车的速度进而得出结论；（4）由快车的速度求出快车走完全程的时间就可以求出点C的横坐标，由两车的距离=速度和×时间就可以求出C点坐标，由待定系数法就可以求出结论.【解答】解：（1）当x=0时，y=900，可知甲、乙两地之间的距离为900km，故答案为900；（2）B点坐标（4，0），结合坐标系中点的意义可知：图中B点的实际意义为出发后4小时两车相遇，故答案为出发后4小时两车相遇，C点的实际意义是快车到达目的

19、地；（3）由图中D点坐标（12，900）可知：慢车的速度为900÷12=75km/h；  由图中B点坐标（4，0）可知：快车的速度为900÷4-75=150km/h  答：慢车的速度为75km/h，快车的速度为150km/h.故答案为75，150；（4）见答案.4.【答案】解：（1）t=3时，两车距离为0，相遇，80×3=240km，发生故障前甲车行驶路程为300-240=60km，时间=60÷60=1小时；（2）甲停车修理了2.5h，t=3时，甲还在修车，线段BC的实际意义：乙从1h到3h单独行驶到遇见甲车；（3）甲车再次

20、行驶时，t=1+2.5=3.5h，乙车到达N地时，t=300÷80=3.75h，甲车到达M地时，t=300÷60+2.5=7.5h，所以，3t3.5时，s=80（t-3）=80t-240，t=3.5时，80t-240=80×3.5-240=40km，3.5t3.75时，s=80（t-3）+60（t-3.5）=140t-450，t=3.75时，140t-450=140×3.75-450=75km，3.75t7.5时，s=60（t-3.75）+75=60t-150，补全图形如图所示【解析】本题考查了一次函数的应用，主要利用了路程、时间、速度三者之间的关系，判

21、断出点C为两车相遇是解题的关键，难点在于（3）根据两车的行驶情况分情况讨论（1）根据图象，3小时时两车相遇，再求出相遇时甲车行驶的路程，然后根据时间=路程÷速度计算即可得解；（2）根据甲修车的时间可知BC段只有乙车行驶解答；（3）分甲修好车前乙单独行驶，甲修好车后至乙车到达M地，甲车到达N地三段分别求出两车间的距离与时间的关系式，然后补全图形即可5.【答案】解：（1）连接AD，设点A的坐标为（a，0），由图2知，DO+OA=6cm，则DO=6-AO=6-a，由图2知SAOD=4，12DOAO=12a（6-a）=4，整理得：a2-6a+8=0，解得a=2或a=4，由图2知，DO3，AO

22、3，a=2，A的坐标为（2，0），D点坐标为（0，4），在图1中，延长CB交x轴于M，由图2，知AB=5cm，CB=1cm，MB=3，AM=AB2-MB2=4OM=6，B点坐标为（6，3）；（2）因为P在OA、BC、CD上时，直线PD都不能将五边形OABCD分成面积相等的两部分，所以只有点P一定在AB上时，才能将五边形OABCD分成面积相等的两部分，设点P（x，y），连PC、PO，则S四边形DPBC=SDPC+SPBC=12S五边形OABCD=12（S矩形OMCD-SABM）=9，12×6×（4-y）+12×1×（6-x）=9，即x+6y=12，同理，由

23、S四边形DPAO=9可得2x+y=9，由2x+y=9x+6y=12，解得x=4211，y=1511P（4211，1511），设直线PD的函数关系式为y=kx+4（k0），则1511=4211k+4，k=-2942，直线PD的函数关系式为y=-2942x+4【解析】此题考查了动点问题的函数图象，解题的关键是根据题意设出函数关系式，是难点，也是中考的重点，需熟练掌握（1）先连接AD，设点A的坐标为（a，0），由图2得出DO=6-AO和SAOD=4，即可得出DOAO=4，从而得出a的值，再根据图2得出A的坐标，再延长CB交x轴于M，根据D点的坐标得出AB=5cm，CB=1cm，即可求出AM=4，从而

24、得出点B的坐标（2）先设点P（x，y），连PC、PO，得出S四边形DPBC的面积，再进行整理，即可得出x与y的关系，再由A，B点的坐标，求出直线AB的函数关系式，从而求出x、y的值，即可得出P点的坐标，再设直线PD的函数关系式为y=kx+4，求出K的值，即可得出直线PD的函数关系式6.【答案】解：（1）DOE是等腰三角形理由如下：过点A作AMBC于M，AB=AC，BC=acm，B=30°，AM=33×a2=36a，AC=AB=33a，SABC=12BCAM=312a2，P在边AB上时，y=xABSABC=14ax，P在边AC上时，y=AB+AC-xABSABC=36a2-1

25、4ax，作DFOE于F，AB=AC，点P以1cm/s的速度运动，点P在边AB和AC上的运动时间相同，点F是OE的中点，DF是OE的垂直平分线，DO=DE，DOE是等腰三角形（2）由题意得：AB=AC，BC=acm，B=30°，AM=33×a2=36a，AB=33a，D（33a，312a2），DO=DE，AB=AC，当且仅当DOE=ABC时，DOEABC，在RtDOF中，tanDOF=yDxD=3a21233a=14a，由14a=tan30°=33，得a=433，当a=433时，DOEABC【解析】此题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质以及线段垂直

26、平分线的性质等知识此题综合性较强，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用（1）首先作DFOE于F，由AB=AC，点P以1cm/s的速度运动，可得点P在边AB和AC上的运动时间相同，即可得点F是OE的中点，即可证得DF是OE的垂直平分线，可得DOE是等腰三角形；（2）设D（a，a2），由DO=DE，AB=AC，可得当且仅当DOE=ABC时，DOEABC，然后由三角函数的性质，即可求得当a=时，DOEABC7.【答案】解：（1）由题意，可知题图2中点E表示点P运动至点B时的情形，所用时间为3s，则菱形的边长AB=2×3=6cm此时如答图1所示：AQ边上的高h=ABsin60°

27、=6×32=33cm，S=SAPQ=12AQh=12AQ×33=932，解得AQ=3cm，点Q的运动速度为：3÷3=1cm/s（2）由题意，可知题图2中FG段表示点P在线段CD上运动时的情形如答图2所示：点Q运动至点D所需时间为：6÷1=6s，点P运动至点C所需时间为12÷2=6s，至终点D所需时间为18÷2=9s因此在FG段内，点Q运动至点D停止运动，点P在线段CD上继续运动，且时间t的取值范围为：6t9过点P作PEAD交AD的延长线于点E，则PE=PDsin60°=（18-2t）×32=-3t+93S=SAPQ

28、=12ADPE=12×6×（-3t+93）=-33t+273，FG段的函数表达式为：S=-33t+273（6t9）（3）菱形ABCD的面积为：6×6×sin60°=183当点P在AB上运动时，PQ将菱形ABCD分成APQ和五边形PBCDQ两部分，如答图3所示此时APQ的面积S=12AQAPsin60°=12t2t×32=32t2，根据题意，得32t2=16×183，解得t=6s（舍去负值）；当点P在BC上运动时，PQ将菱形分为梯形ABPQ和梯形PCDQ两部分，如答图4所示此时，有S梯形ABPQ=56S菱形ABCD，

29、即12（2t-6+t）×6×32=56×183，解得t=163s存在t=6和t=163，使PQ将菱形ABCD的面积恰好分成1：5的两部分【解析】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、菱形的性质、解直角三角形、图形面积等知识点解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程（1）根据函数图象中E点所代表的实际意义求解E点表示点P运动到与点B重合时的情形，运动时间为3s，可得AB=6cm；再由SAPQ=，可求得AQ的长度，进而得到点Q的运动速度；（2）函数图象中线段FG，表示点Q运动至终点D之后停止运动，而点P在线段C

30、D上继续运动的情形如答图2所示，求出S的表达式，并确定t的取值范围；（3）当点P在AB上运动时，PQ将菱形ABCD分成APQ和五边形PBCDQ两部分，如答图3所示，求出t的值；当点P在BC上运动时，PQ将菱形分为梯形ABPQ和梯形PCDQ两部分，如答图4所示，求出t的值8.【答案】解：（1）设AD=BC=a，由图象可知CD=AB=3，点Q到达点C时，点P到达点A，a3=a-32，a=6，点A坐标（6，3），点D坐标（0，3）（2）当点Q在CD上，点P在AB上时，对应的函数图象是线段FG，S=12PC6=3PC=3（2t-6）=6t-18（3）Q在BC上，P在CD上时，由CP=CQ得6-2t=3

31、t，解得t=65，Q在BC上，P在AD上时，由CP=CQ得6-2t=32+(3t-3)2，整理得5t2+6t+54=0，0无解由PQ=CQ，如图1中， 作PKOB于K，则DP=OK=3t-3，KQ=6-2t-（3t-3）=9-5t，PQ=PK2+KQ2=32+(9-5t)2 32+(9-5t)2=6-2t，整理得7t2-22t+18=0，0，无解当PC=PQ如图2中， 作PKOB于K，则OK=KQ=DP，OQ=2DP，6-2t=2（3t-3），解得t=32，Q在CD上，P在AB上时，由CP=PQ，如图3中， 作PKOD于K，则KQ=OK=PB，2PB=OQ，2（12-3t）=2t-6，解得t=154，综上所述t=65s或32s或154s时，PCQ为等腰三角形是等腰三角形【解析】本题考