概率论习题全部.

1、习题二#习题二#习题一1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A:(1) 掷两枚均匀骰子，观察朝上面的点数，事件A表示“点数之和为7”；(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼唤次数，事件A表示“一分钟内呼唤次数不超 过3次”；(3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试它的寿命，事件A表示“寿命在2 000到2 500 小时之间” 2. 投掷三枚大小相同的均匀硬币，观察它们出现的面(1) 试写出该试验的样本空间；(2) 试写出下列事件所包含的样本点：A=至少出现一个正面，B=出现一正、二反， C=出现不多于一个正面；(3) 如记A=第i枚硬币出现正面( i=1，2，3)，试用A1,A2

2、,A3表示事件A, B, C.3. 袋中有10个球，分别编有号码110,从中任取1球，设A= 取得球的号码是偶数, B = 取得球的号码是奇数 , C=取得球的号码小于 5，问下列运算表示什么事件：(1) AU B ； (2) AB ； (3)4.在区间0,2上任取一数，记AC ； (4) AC ； (5) AC ； (6) B C ； (7) A-C.A = x1 :x乞1 , B= x1岂，求下列事件的表 2 J 1'42J达式：(1) MB ； (2) AB ； (3) AB , ( 4)B.5. 用事件A, B, C的运算关系式表示下列事件：(1) A出现，B, C都不出现；(

3、2) A, B都出现，C不出现；(3) 所有三个事件都出现；(4) 三个事件中至少有一个出现；(5) 三个事件都不出现；(6) 不多于一个事件出现；(7) 不多于二个事件出现；(8) 三个事件中至少有二个出现 .6. 批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三个产品，设A表示事件“第i次抽到废品”，试用A的运算表示下列各个事件：(1) 第一次、第二次中至少有一次抽到废品；(2) 只有第一次抽到废品；(3) 三次都抽到废品；(4) 至少有一次抽到合格品；(5) 只有两次抽到废品.7. 接连进行三次射击，设 A =第i次射击命中 (i = 1, 2, 3),试用A,A2,A3表示下 述事件：(1)

4、 A=前两次至少有一次击中目标 ；(2) B=三次射击恰好命中两次；(3) C=三次射击至少命中两次;(4) D=三次射击都未命中.8. 盒中放有a个白球b个黑球，从中有放回地抽取r次(每次抽一个，记录其颜色，然后放回盒中，再进行下一次抽取)记A =第i次抽到白球 (i= 1, 2,，r)，试用人表示下述事件：(1) A=首个白球出现在第 k次;(2) B=抽到的r个球同色,其中1 _k _r.*9.试说明什么情况下，下列事件的关系式成立：ABC=A; (2) AUBUC习题二3习题二1. 从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取 3件产品，求其中恰有 1件次品的 概率2. 一口袋中有5个

5、红球及2个白球从这袋中任取一球，看过它的颜色后放回袋中，然后，再从这袋中任取一球.设每次取球时口袋中各个球被取到的可能性相同.求：(1) 第一次、第二次都取到红球的概率；(2) 第一次取到红球、第二次取到白球的概率；(3) 两次取得的球为红、白各一的概率；(4) 第二次取到红球的概率.3. 一个口袋中装有6只球，分别编上号码16，随机地从这个口袋中取 2只球，试求：(1)最小号码是3的概率；(2)最大号码是3的概率.4. 一个盒子中装有 6只晶体管，其中有 2只是不合格品，现在作不放回抽样.接连取2次，每次随机地取 1只，试求下列事件的概率：(1) 2只都是合格品；(2) 1只是合格品，一只是

6、不合格品；(3) 至少有1只是合格品.5. 从某一装配线上生产的产品中选择10件产品来检查.假定选到有缺陷的和无缺陷的产品是等可能发生的，求至少观测到一件有缺陷的产品的概率，结合“实际推断原理”解释 得到的上述概率结果.6. 某人去银行取钱，可是他忘记密码的最后一位是哪个数字，他尝试从09这10个数字中随机地选一个，求他能在3次尝试之中解开密码的概率.7. 掷两颗骰子，求下列事件的概率：(1) 点数之和为7 ； (2)点数之和不超过 5； ( 3)点数之和为偶数.8. 把甲、乙、丙三名学生随机地分配到5间空置的宿舍中去， 假设每间宿舍最多可住 8人，试求这三名学生住在不同宿舍的概率.9. 总经

7、理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位秘书，求下列事件的概率：(1) 事件A=其中恰有一位精通英语；(2) 事件B=其中恰有两位精通英语；(3) 事件C=其中有人精通英语.10. 甲袋中有3只白球，7只红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑 球，现从两个袋中各取一球，求两球颜色相同的概率11. 有一轮盘游戏，是在一个划分为10等份弧长的圆轮上旋转一个球，这些弧上依次标着09十个数字.球停止在那段弧对应的数字就是一轮游戏的结果.数字按下面的方式涂色：0看作非奇非偶涂为绿色，奇数涂为红色，偶数涂为黑色.事件A=结果为奇数，事件B=结果为涂黑色的数.求以下事件的概率：(1)

8、P(A) ； (2) P(B) ； (3) P(AUB) ； (4) P(AB).12. 设一质点一定落在 xOy平面内由x轴，y轴及直线x+y=1所围成的三角形内，而落在这三角形内各点处的可能性相等，即落在这三角形内任何区域上的可能性与这区域的面积1成正比，计算这质点落在直线x= 的左边的概率.313. 甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6 h,假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率14.已知 A 二 B , P(A)二 0.4 , P(B)二 0.6，求:(1) P(A),P(B) ； (2) P(AUB) ; (3) P(AB) ; (4)

9、 P(BA),P(AB) ； (5) P(AB).15. 设 A, B 是两个事件，已知 P ( A) =0.5 , P ( B) =0.7 , P(J B) =0.8，试求：P (A-B) 与 P ( B-A).*16.盒中装有标号为1r的r个球，今随机地抽取n个，记录其标号后放回盒中；然后再进行第二次抽取，但此时抽取m个，同样记录其标号，这样得到球的标号记录的两个样本，求这两个样本中恰有k个标号相同的概率.习题二7习题二1.已知随机事件 A的概率P(A) =0.5，随机事件 B的概率P(B) =0.6及条件概率P(BA)=0.8，试求 P(AB)及 P(AB).2. 一批零件共100个，次

10、品率为10%，每次从中任取一个零件，取出的零件不再放回去，求第三次才取得正品的概率.3. 某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58，购买股票的概率为0.28,两项投资都做的概率为0.19.(1) 已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？(2) 已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？4. 罐中有m个白球，n个黑球，从中随机抽取一个，若不是白球则放回盒中，再随机抽取下一个；若是白球，则不放回，直接进行第二次抽取，求第二次取得黑球的概率.5. 一个食品处理机制造商分析了很多消费者的投诉，发现他们属于以下列出的6种类型：投诉原因擦伤凹痕外观保质期内18%13%32 %保质期后12%22%p%如

11、果收到一个消费者的投诉，已知投诉发生在保质期内，求投诉的原因是产品外观的概率.6. 给定 P(A) =0.5 , P(B)=0.3 , P(AB)=0.15，验证下面四个等式：P(AB)=P(A) ； P(AB)=P(A) ； P(BA) = P(B) ； P(BA) = P(B).7. 已知甲袋中装有 6只红球，4只白球，乙袋中装有8只红球，6只白球.求下列事件的 概率：(1)随机地取一只袋，再从该袋中随机地取一只球， 该球是红球；(2)合并两只口袋， 从中随机地取1只球，该球是红球.8. 设某一工厂有 A, B, C三间车间，它们生产同一种螺钉，每个车间的产量，分别占该厂生产螺钉总产量的2

12、5%、35%、40%，每个车间成品中次货的螺钉占该车间出产量的百分比分别为5%、4%、2% .如果从全厂总产品中抽取一件产品，(1)求抽取的产品是次品的概率；(2)已知得到的是次品，求它依次是车间A, B, C生产的概率.9. 某次大型体育运动会有 1 000名运动员参加，其中有 100人服用了违禁药品.在使用者中，假定有90人的药物检查呈阳性，而在未使用者中也有5人检验结果显示阳性.如果一个运动员的药物检查结果是阳性，求这名运动员确实使用违禁药品的概率10. 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“ * ”和“一”.由于通信系统受到干扰，当发出信号“ * ”时，收报台未必收到信号“ *”，而

13、是分别以概率 0.8和0.2收到信号“*”和“一”.同样，当发出信号“一”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“一”和“ * ”.求：(1)收报台收到信号“* ”的概率；(2)当收报台收到信号“ *”时，发报台确是发出信号“ *”的概率.*11.甲袋中有4个白球6个黑球，乙袋中有 4个白球2个黑球.先从甲袋中任取 2球投 入乙袋，然后再从乙袋中任取2球，求从乙袋中取到的 2个都是黑球的概率.12. 设事件A, B相互独立.证明：A, B相互独立，A, B相互独立.13. 设事件A与B相互独立，且P(A)二p , P(B)二q .求下列事件的概率：p(aUb), p(aUB),p(AUB)

14、.114. 已知事件 A 与 B 相互独立，且 P(AB) ，P(AB)二 P(AB).求：P(A),P(B).915. 三个人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为0.25，0.35，0.4,求此密码被译出的概率.16. 设六个相同的元件，如下图所示那样安置在线路中设每个元件不通达的概率为p，求这个装置通达的概率假定各个元件通达、不通达是相互独立的.*17.(配对问题)房间中有 n个编号为1n的座位.今有n个人(每人持有编号为 1n 的票)随机入座，求至少有一人持有的票的编号与座位号一致的概率(提示：使用概率的性质 5的推广，即对任意n个事件A'AJH'A.，有PP(AA

15、j)川(-1严VP(f IHAJ 川(-1)2p(A川An).)1兰占也或宜*18.(波利亚(Pclya)罐子模型)罐中有 a个白球，b个黑球，每次从罐中随机抽取 一球，观察其颜色后，连同附加的c个同色球一起放回罐中，再进行下一次抽取.试用数学归纳法证明：第k次取得白球的概率为 一k_1为整数).(提示：记Ak =第k次取得白球, a +b使用全概率公式 p(Aj=p(A)P(Ak| A)+P(AJP(Ak A)及归纳假设.)19. 甲乙两人各自独立地投掷一枚均匀硬币n次，试求：两人掷出的正面次数相等的概率.20. 假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作.若一周

16、五个工作日里每天是否发生故障相互独立，试求一周五个工作日里发生3次故障的概率.21. 灯泡耐用时间在1 000 h以上的概率为0.2，求：三个灯泡在使用1 000 h以后最多只有一个坏了的概率.22. 某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻T,各电梯正在运行的概率均为0.75，求：(1 )在此时刻所有电梯都在运行的概率；2)在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率；(3 )在此时刻至少有1台电梯在运行的概率.23. 设在三次独立试验中，事件A在每次试验中出现的概率相同.若已知A至少出现一19次的概率等于，求事件A在每次试验中出现的概率P(A).27*24.设双胞胎中为两个男孩或两个女孩的概率分

17、别为a及b.今已知双胞胎中一个是男孩，求另一个也是男孩的概率.25. 两射手轮流打靶，谁先进行第一次射击是等可能的假设他们第一次的命中率分别为0.4及0.5,而以后每次射击的命中率相应递增0.05，如在第3次射击首次中靶，求是第一名射手首先进行第一次射击的概率.26. 袋中有2n-1个白球和2n个黑球，今随机（不放回）抽取n个，发现它们是同色的， 求同为黑色的概率*27. 3个外形相同但可辨别的球随机落入编号14的四个盒子，（1）求恰有两空盒的概率；（2） 已知恰有两空盒，求有球的盒子的最小编号为2的概率.习题二9习题四I. 下列给出的数列，哪些可作为随机变量的分布律，并说明理由(1) 口 丄

18、(i =0,123,4,5)；152/c、(5i )(2) Pi(i =0,1,2,3)；6"、 i +1(3) Pi(i =1,2,3,4,5) 25C2试确定常数C,使P(X =i)(i =0,1,2,3,4)成为某个随机变量 X的分布律，并求：(1) P(X >2) ; (2) P<；x<：5 I' (3) F(3)(其中 F ()为 X 的分布函数)122丿3. 一口袋中有6个球，在这6个球上分别标有-3, -3, 1,1,1, 2这样的数字从这口袋中任取一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字X的分布律与分布函数.4. 一袋中有5个

19、乒乓球，编号分别为1, 2, 3, 4, 5.从中随机地取3个，以X表示取出的3个球中最大号码，写出X的分布律和分布函数.5. 在相同条件下独立地进行5次射击，每次射击时击中目标的概率为0.6，求击中目标的次数X的分布律.6. 从一批含有10件正品及3件次品的产品中一件一件地抽取产品.设每次抽取时，所面对的各件产品被抽到的可能性相等.在下列三种情形下，分别求出直到取得正品为止所需次数X的分布律：(1) 每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品；(2) 每次取出的产品都不放回这批产品中；(3) 每次取出一件产品后总以一件正品放回这批产品中7. 设随机变量X B(6, p)，已知P(X =

20、1) = P(X = 5)，求p与P(X = 2)的值.8. 一张试卷印有十道题目，每个题目都为四个选项的选择题，四个选项中只有一项是 正确的.假设某位学生在做每道题时都是随机地选择，求该位学生未能答对一道题的概率以 及答对9道以上(包括9道)题的概率.9. 市120接听中心在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为0.5t的泊松分布，而与时间间隔的起点无关(时间以小时计算)：求：(1 )某天中午12点至下午3点没有收到紧急呼救的概率； (2)某天中午12点至下午5点至少收到1次紧急呼救的概率.10. 某商店出售某种物品，根据以往的经验，每月销售量X服从参数棗-4的泊松分布.问在月

21、初进货时，要进多少才能以99%的概率充分满足顾客的需要？II. 有一汽车站有大量汽车通过，每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为0.000 1.在某天该段时间内有 1 000辆汽车通过，求事故次数不少于2的概率.设鸡下蛋数X服从参数为'的泊松分布，但由于鸡舍是封闭的， 我们只能观察到从 鸡舍输出的鸡蛋.记Y为观察到的鸡蛋数，即 Y的分布与给定X>0的条件下X的分布相同， 今求Y的分布律.11工程数学概率统计简明教程（第二版）(提示：P(Y =k) =P(X =k X >0),对于k =1,2,出.)12. 袋中有n把钥匙，其中只有一把能把门打开，每次抽取一把钥匙去试着开门试在

22、：(1) 有放回抽取；(2)不放回抽取两种情况下，求首次打开门时试用钥匙次数的分布律.13. 袋中有a个白球、b个黑球，有放回地随机抽取，每次取1个，直到取到白球停止抽取，X为抽取次数，求 P(X - n).14. 据统计，某高校在 2010年上海世博会上的学生志愿者有 6 000名，其中女生3 500名.现从中随机抽取100名学生前往各世博地铁站作引导员，求这些学生中女生数X的分布律.2x 0 f x f A15. 设随机变量X的密度函数为f(x) = 2'廿:试求：(1)常数A;P(0cX c0.5).2，其他，16. 设随机变量X的密度函数为f(x)= Ai/ (-： : x )

23、,求：(1)系数A ；(2) P(0 ： X ：1) ; ( 3) X 的分布函数.CX2I x c>017. 证明：函数f(x)， X-0，( c为正的常数)可作为一个密度函数.0, x : 0,18. 经常往来于某两地的火车晚点的时间X (单位：min )是一个连续型随机变量，其密度函数为32(25 X2), 一5 ： x ： 5,f (x)二 5000,其他X为负值表示火车早到了 .求火车至少晚点2 min的概率.0x兰019. 设随机变量X的分布函数为F(x)二丄一求X的密度函数，并计算1(1+x)e ,x>0,P(X -1)和 P(X 2).20. 设随机变量X在(1,6

24、)上服从均匀分布，求方程 t2 Xt0有实根的概率.21. 设随机变量 X在(0,1)上服从均匀分布，证明：对于a 一0, b 0,a P(a -X -b) =b -a，并解释这个结果.122. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(单位：min)是一随机变量，它服从二54r1上e 5 x > 0的指数分布，其密度函数为f(x)=5e某顾客在窗口等待服务，若超过 10 min，他0,其匕.就离开（1）设某顾客某天去银行，求他未等到服务就离开的概率；（2） 设某顾客一个月要去银行五次，求他五次中至多有一次未等到服务而离开的概率.23. 以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待

25、时间（单位：min），0.2x1 -e, x=0,X的分布函数是F （x）=0, 其他.求：（1）X的密度函数；（2 ）P（至多等待2 min）；（ 3）P（至少等待4 min）；（ 4）P（等待2 min至4 min之间）；（5）P （等待至多 2 min或至少4 min）.24. 设随机变量X的分布函数为F（x） =A - Barctanx（-： ：x ： ：），求：（1）常数A，B ；（ 2） P（X ：1） ；（ 3）随机变量X的密度函数.25. 设随机变量X服从N（0,1），借助于标准正态分布的分布函数表计算：（1） P（X : 2.2）;（2） P（X>1.76）;（3） P

26、（X<-0.78）;（4） P（X|c1.55）;（5） P（X>2.5）;（6）确定a,使得 P（X : a）二 0.99.26. 设随机变量X服从N（-1,16），借助于标准正态分布的分布函数表计算：(1) P(X<2.44); ( 2 ) P(X>1.5); ( 3) P(Xc2.8); ( 4) P(Xc4)； ( 5)P(5vX <2)； ( 6) P(X 1 =1); ( 7)确定 a，使得 P(X a a) = P(X < a).27. 设随机变量X服从正态分布 N（,；2），且二次方程t2 4t 0无实根的概率1为丄求4的值.2，28. 某厂

27、生产的滚珠直径 X服从正态分布 N （2.05,0.01），合格品的规格规定直径为2 -0.2，求滚珠的合格率.29. 某人上班路上所需的时间X N （30,100）（单位：min），已知上班时间是8： 30.他每天7: 50分出门，求：（1）某天迟到的概率；（2） 周（以5天计）最多迟到一次的概 率.习题五13习题五/ 1 1. 二维随机变量（X,Y）只能取下列数组中的值：（0, 0）, （-1, 1）, .1, , （2, 0）, 3丿1115且取这些组值的概率依次为，-，求这二维随机变量的分布律，并写出关于X及关6 3 12 12于Y的边缘分布律.2. 一口袋中有四个球，它们依次标有数字

28、1, 2，2, 3从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球设每次取球时，袋中每个球被取到的可能性相同 以X,Y分别记第一、二次取得的球上标有的数字，求（X,Y）的分布律及P（X =Y）.*3.从3名数据处理经理、2名高级系统分析师和 2名质量控制工程师中随机挑选4人组成一个委员会，研究某项目的可行性.设X表示从委员会选出来的数据处理人数，Y表示选出来的高级系统分析师的人数，求：（1）X与Y的联合分布律；（2）P（X_Y）.*4.盒中有4个红球4个黑球，不放回抽取4次，每次取1个，X=前2次抽中红球数,丫=4次共抽中红球数,求（1）二维随机变量（X,Y）的联合分布律：（2）给定X =1

29、, Y的条件分布律5.箱子中装有10件产品，其中2件是次品，每次从箱子中任取一件产品，共取2次.定义随机变量X,Y如下:1 ,若第次取出正品次取出次品0 ,若第二次取出正品1 ,若第二次取出次品F面两种情况（1）放回抽样，（2）不放回抽样.求：（1）二维随机变量（X,Y）的联合分布律（2）关于X及关于Y的边缘分布律；（3）X与Y是否独立，为什么？6.设二维随机变量（X,Y）的联合密度函数为_1_f(X, y)=三4. xy0,0 x ： 1,0 ： y ： 1,其他求：（1）关于X及关于Y的边缘密度函数；（2） P 0辽X1,。乞丫乞丄.I 22丿7.设二维随机变量（X,Y）服从在区域D上的均

30、匀分布，其中区域 D为x轴，y轴及直线y=2x+1围成的三角形区域.求:（1） （X,Y）的联合密度函数;(2) Pl 1 ： X : 0,0 : Y -；I 44丿（3）关于X及关于Y的边缘密度函数；（4） X与Y是否独立，为什么?8.设二维随机变量（X,Y）服从在区域D上的均匀分布，其中D为由直线x+y=1 ,x+y=-1.习题五#(2)P(X <Y);X与Y是否独立，为什么?(3)9.设随机变量X , Y是相互独立且分别具有下列分布律:X-2-100.5概率111143123Y-0.513概率111244写出表示(X,Y)的联合分布律10 设进入邮局的人数服从参数为 为p (0&l

31、t;p<1) , X为进入邮局的男性人数, 分布律；(2) X与Y是否独立，为什么?每一个进入邮局的人是男性的概率11.设X与Y是相互独立的随机变量,'的泊松分布，Y为女性人数，求：(1)关于X及关于Y的边缘X服从0,0.2上的均匀分布，Y服从参数为5x-y=1 , x-y=-1围成的区域.求：(1)关于X及关于Y的边缘密度函数;习题五#习题五#的指数分布，求：(X,Y)的联合密度函数及 P(X _ Y).12.设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)二叮”囂0, 求: (1)系习题五#习题五#数 K(2)P(0 _ X _1,0 _Y _2);(3)证明 X 与Y

32、相互独立.k(1 x) y ,0 <x<1,0 < y< x其他,13. 已知二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x, y) =，,(1)求常数k; (2)分别求关于X及关于Y的边缘密度函数；(3) X与Y是否独立？为什么.14. 设随机变量X与Y的联合分布律为：Y01X2025b31a2521_2_2525a, b的值;3且 P(Y =1X =0)，求：(1)常数5与Y是否独立，为什么？(2)当a，b取(1)中的值时，X习题五#*15.对于第2题中的二维随机变量(X,Y)的分布，求当Y=2时X的条件分布律习题五15(11 1 )*16.对于第7题中的二维随机变量

33、(X,Y)的分布，求:( 1)PcX <0一丫；< 442丿(2)当X uxHcxcO时Y的条件密度函数fYX(yx).(2 .丿 YX*17.设二维连续型随机变量 (X,Y)，证明：对任何 x,有址IP(X mx)=二 P(X xY = y)fY(y)dy,其中fY(D为Y的边缘密度函数习题五#习题六1. 设随机变量X的分布律为X-2-0.5024概率1111184863求出:(1)X 2； (2) - X 1 ；( 3)X2 的分布律.0 若 X < 12. 设随机变量X服从参数人=1的泊松分布，记随机变量丫 =丿卄 一试求随机变1 若 X >1.量丫的分布律.2x

34、 0疋x疋13. 设随机变量X的分布密度为f(X)=，U '求出以下随机变量的密度函数: 0,其他，(1)2X ；(2)-X 1 ；（3）X2.习题五#4. 对圆片直径进行测量.测量值X服从(5,6)上的均匀分布，求圆片面积丫的密度函数5. 设随机变量X服从正态分布 N (0,1)，试求随机变量函数 Y=X2的密度函数fY(y).6. 设随机变量 X服从参数，=1的指数分布，求随机变量函数Y= eX的密度函数fY(y).7. 设随机变量 X服从N(0,1)，证明：匚X a服从N(a»2)，其中a,二为两个常数 且二 0.8. 设随机变量X在区间-1,2上服从均匀分布，随机变量

35、1，若 X 0,丫 = « 0，若X =0,试求随机变量函数 丫的分布律._1，若 X C0.#工程数学概率统计简明教程（第二版）求以下随机变量的分布律：(1) X Y ； (2) X -Y ； (3) 2X ； ( 4) XY .f 1 )( 1 ?10. 设随机变量x,Y相互独立，且7叩,訂yLbiT(1) 记随机变量Z二X Y，求Z的分布律；(2) 记随机变量U =2X，求U的分布律.从而证实：即使 X , Y服从同样的分布，X Y与2X的分布并不一定相同*11.设随机变量X服从参数为的泊松分布，给定 X =k, Y的条件分布为参数为 k， p的二项分布(0<p<1

36、，k为非负整数)求：(1) Y的分布律；(2) X-Y的分布律；(3)证明: Y与X-Y相互独立-bo(提示：p(Y = y)=£ P(Y = y X = k)P(X = k),y=0,1,|.)k=y12.设二维随机变量 X，Y的联合分布律为#工程数学概率统计简明教程（第二版）#工程数学概率统计简明教程（第二版）1929求：(1) U = max(X,Y)的分布律;(2) V = min( X,Y)的分布律;(3) (U,V)的联合分布律13.设二维随机变量X,Y服从在D上的均匀分布，其中x =2,y =2所围成的区域，求 X -Y的分布函数及密度函数.*14.设随机变量X, Y相

37、互独立，且有相同的分布 N(0,1) , U = X Y, V=|XY , 求:(1) U的密度函数；(2) V的密度函数.15. 设二维随机变量 X,Y的分布密度为f (x, y)，用函数f表达随机变量X Y的密度 函数.16. 设随机变量X N(a,；2) , Y N(b, 2)，且X, Y相互独立，Z = X Y ,求Z X =x的条件分布密度函数.17. 用于计算机接线柱上的保险丝寿命服从参数氛=0.2的指数分布.每个接线柱要求两个这样的保险丝，这两个保险丝有独立的寿命X与Y. (1)其中一个充当备用件，仅当第一个保险丝失效时投入使用.求总的有效寿命 Z= X+Y的密度函数.(2)若这

38、两个保险丝同时 独立使用，则求有效寿命 U二max（X,Y）的密度函数.18. 设随机变量X，Y相互独立，且都服从区间（0, 1）上的均匀分布，记 Z是以X，Y 为边长的矩形的面积，求 Z的密度函数.X*19.设随机变量 X，Y相互独立，且都服从区间（0, 1）上的均匀分布，求 Z 的 密度函数1（提示：使用 FZ（z） = P（Z 兰z） = JP（Z EzY = y）fY（y）dy = L P（X 兰 yz）dy，其中用到X与Y的独立性.）习题七19习题七#习题七1. 设随机变量X的分布律为X-101212概率11111366124求: (1) E(x); (2) E(-X 1); (3)

39、 E(X2); (4) D(X).2. 设随机变量 X服从参数为 丸的泊松分布(人0 )，且已知E(X 2)(X 3) =2 , 求的值.23. 设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4,试求X的数学期望E(X2).4. 国际市场每年对我国某种出口商品的需求量X是一个随机变量.它在2 000, 4 000(单位：吨)上服从均匀分布.若每售出一吨，可得外汇3万美元，若销售不出而积压，则每吨需保养费1万美元.问应组织多少货源，才能使平均收益最大？5. 一台设备由三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率相应为0.1,0.2,0.3.假设各部件的状态相互独立，以X

40、表示同时需要调整的部件数，试求X的数学期望E(X)和方差D(X).6. 设随机变量X有分布律：Pk 二 P(X 二 k)二 pqk'(k =1,2,川)，其中0 ： p ： 1,q =1 - p，称X服从具有参数p的几何分布，求E(X)和D(X).(提示:由幕级数逐项求导的性质可知O0、kqk =k AoO,' k(k-1)q2 二kd习题七#习题七21=2k! - qk =e7. 设随机变量X的密度函数为 心)=1肿，求：(1) E(X); (2) E(X2)的值.8.某商店经销商品的利润率X的密度函数为f(x)=2(1 x) ,0 : x ： 1,0, 其他，求 E(X)，

41、D(X).9. 设随机变量X服从参数为的泊松分布，求E(X 1) .10.设随机变量X服从参数为p的几何分布，M .0为整数，Y二max(X,M)，求E(Y).*11.设随机变量X有分布律：¥N - MTk I 门 _ k Pk=P(X=k),k =0,1,2, |, n M，其中 n M = mi n(n, M).Nln广f 、提示:使用ln| n fn _1 "i n(n _1) Fn 一2 m-1 ym(m -1)一 2 丿 /*12.将已写好n封信的信纸随机地装入已写好的n个收信人的对应地址的信封，若有一封信的信纸的收信人与信封一致时，称之为有一个配对今X为n封已随

42、机装好的信的配对数，求 E(X), D(X).1,第i封信配对，若 J提示：记 Xi(i =1,2,川，n),有Xi,先求 E(X)E(XiXj)|0,其他ynn n及cov(Xi,Xj),使用公式 D(x)= 2! D(Xi)+2瓦 E cov(X1, Xj). Ii=1i£jV 卡je1x>013 设随机变量X的概率密度为f(x)=2''求E(X)，E(2X)，E(X+e'X)，I 0,xE0,D(X).14. 设随机向量(X,Y)的联合分布律为：求 E(X),E(Y),E(X -2Y),E(3XY),D(X),D(Y),cov(X,Y),"

43、;15. 盒中有3个白球和2个黑球，从中随机抽取2个，X，Y分别是抽到的2个球中的白球数和黑球数，求 X与Y之间的相关系数 PX,Y.16设随机变量X,Y相互独立，它们的密度函数分别为2e2x ,x 0 ,4e刘，y0缶fX(x)= °< 小2)=仁 < D(X+Y).0 ,xW0,0 ,yE0,*17.设随机变量XjH,Xn独立，具有公共的(0, 1)上的均匀分布，令 Y=mXi,求 E(Y),D(Y).X：” X 0,*18.设随机变量X有密度函数f(x)=iC)('00为常数)，、0,其他则称X服从具有参数(：，)的伽玛分布，记为X : (：,),其中(：)

44、= 0-y2edy.有性质：对任意实数X，有(x1)=x(x)，特别对正整数n有(n 1 n!.今设Y : C 1 / )， Z : C 2, )，且 Y 与 Z 相互独立，W = Z，求 E(W) 提示：使用独立性,有E(WE' ZLe(Z)EI.Il丫丿l丫丿丿*19.设随机变量X服从参数为(a， b)的贝搭分布，即有密度-(a b) a Jb Ax (1 - x) , 0 ： x : 1,f(x)=三|)丨(b)求E(X), D(X).提示：已知贝搭函数|0,其他，'提示：已知贝搭函数=哙1一0匹dt,有关系式P(a, B)=罟)J).20. 验证：当(X,Y)为二维连续

45、型随机变量时，按公式 E(X) -；xf (x,y)dydx及按公式E(X)二：；xf(x)dx算得的E(X)值相等.这里,f (x, y) , f(x)依次表示(X,Y), X的分 布密度，即证明：E(X)二xf(x,y)dydx = xf (x)dx_oO -oO_oO21. 设二维随机变量(X,Y)服从在A上的均匀分布，其中A为x轴，y轴及直线x+y+仁0所围成的区域，求：(1)E(X) ; (2)E(-3X 2Y); (3)E(XY)的值.M2y2 0 EvEx兰122. 设随机变量(X,Y)的联合密度函数为f (x, y)求E(X)， E(Y)，I 0, 其他.E(XY)，E(X2

46、Y2)，D(X)，D(Y).23. 设随机变量X,Y相互独立，且E(X)二E(Y) ,1 D(X)=2， D(Y)=3.求：(1)E(X2),E(Y2) ； ( 2)D(XY).'n 一24. 袋中有2n个外形完全相同的球，其中个标有数字k ( k=0, 1,，n),从中不*丿放回抽取m次(每次取1个)，以X表示取到的m个球上的数字之和，求 E (X)23工程数学概率统计简明教程(第二版)mm(提示：记 Xi=第i次抽到的球上的数字，贝y X =7 Xi,E(X)=v E(X)i -1i -125. 设 D(X) =25 , D(Y) =36 , ：、(X,Y)二 0.4，求：(1)

47、D(X Y) ; (2) D(X -Y).Y N(-2,1),求26.设随机变量X,Y相互独立，且X N(1,1),E(2X Y), D(2X Y).27. 设随机变量X的方差为2.5,禾U用切比雪夫不等式估计P(X -E(X) _7.5)的值.28. 设随机变量X和Y的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，而相关系数为-0.5,根据切比雪夫不等式估计P(X Y _6)的值.129. 在次品率为 丄的一大批产品中，任意抽取300件产品，利用中心极限定理计算抽取6的产品中次品件数在 40与60之间的概率.30. 有一批钢材，其中80%的长度不小于3 m.现从钢材中随机取出 100根，试用中心

48、极 限定理求小于3 m的钢材不超过30根的概率.31. 有3 000个同龄的人参加某保险公司的人寿保险，保险期限为1年.假设在1年内每人的死亡率为0.1 %，参加保险的人在投保日须交付保费10元，被保险人在保险期间死亡时家属可以从保险公司领取2 000元.试用中心极限定理求保险公司亏本的概率.32. 某种电器有100个独立的电源可供使用.每个电源的寿命服从均值为10 h的指数分布，求这个电器的使用总寿命大于1 200 h的概率.33.设随机变量X的概率密度为,0 ： x ： 1,其他，求X的中位数0,27工程数学概率统计简明教程(第二版)习题八1. 设Xi,，X6是来自服从参数为的泊松分布?（

49、）的样本，试写出样本的联合分布律.2. 设X1，X6是来自（0,旳上均匀分布的样本，二0未知（1）写出样本的联合密度函数；（2）指出下列样本函数中哪些是统计量，哪些不是？为什么？X1十+X6T|， T2 - X - t1 ，= X6 - E（XJ， T4 二 max（ Xjl|, X6）6（3） 如样本的一组观察是：0.5，1，0.7，0.6，1 , 1,写出样本均值，样本方差和标准 差.3. 某一马拉松比赛中前 30名运动员成绩如下（单位： min）:129， 130， 130， 133， 134， 135， 136， 136， 138， 138， 138， 141， 141， 141， 1

50、42，142， 142， 142， 143， 143， 143， 143， 143， 144， 144， 145， 145， 145， 145， 145，（1）计算该30名运动员成绩的均值和样本标准差；（2）计算这组成绩的样本中位数 .4. 为研究训练水平与心脏血液输出量之间的关系，随机抽取20人，并将他们随机分成四组，每组一个训练水平，训练15分钟后，测量他们的心脏血液输出量（单位：mL/m in ），结果如下：序号训练水平x心脏血液输出量y序号训练水平x心脏血液输出量y104.41160012.8205.61260013.4305.21360013.2405.41460012.6504.4

51、1560013.263009.11690017.073008.61790017.383008.51890016.593009.31990016.8103009.02090017.2试计算样本相关系数，并由此解释训练水平与心脏血液输出量之间的相关关系5.查表求益99 （12），尤爲（12）， t°.99（12），t°.01（12）.6. 设随机变量T t（10），求常数C使P（T c）二0.95.7. 设X1,Xn是来自正态总体 N（0,；2）的样本，试证:nXi2 2(n)；i d 2 2.8.设Xi,，X5是独立且服从相同分布的随机变量，且每一个Xi (i =1,2，,5

52、)都服从 N(0,1).(i)试给出常数c，使得c(xf x2)服从2分布，并指出它的自由度;(2)试给出常数x + xd，使得d12一 服从t分布，并指出它的自由度;JX；+X：+X；(3)试给出常数Xf x；222X3 x' x5服从F分布，并指出它的自由度9.设(Xi,X2，Xn)是取自总体X的一个样本，在下列三种情况下，分别求E(X)，D(X)，E(S2):(1) X B(1, p) ； ( 2) X E( ) ； (3) X R(0,2v),其中 v 0.*10.某市有100 000个年满18岁的居民，他们中10%年收入超过15万，20%受过高 等教育今从中抽取1 600人的

53、随机样本，求：(1)样本中不少于11%的人年收入超过15万 的概率；(2)样本中19%和21%之间的人受过高等教育的概率 .习题十29习题九1. 设X!，Xn是取自总体X的一个样本，在下列情形下，试求总体参数的矩估计与最大似然估计：（1）X B（1, p），其中 p 未知，0 p ： 1 ；（2）X E（），其中未知， 0 .2. 设X1,Xn是取自总体X的一个样本，其中X服从参数为的泊松分布，其中未知，0，求的矩估计与最大似然估计如得到一组样本观测值：X01234频数17201021求的矩估计值与最大似然估计值3. 设X1,Xn是取自总体X的一个样本，其中 X服从区间（0,扪上的均匀分布，其 中二 0未知，求二的矩估计.2x £4. 设X1,，Xn是取自总体X的一个样本，X的密度函数为f（x）- ?，0：XE其、_ 0, 其他，中二未知，