高一数学竞赛选拔试卷

1、高一数学竞赛选拔试卷准考证号 班级 姓名 学号 座位号 一、填空题1已知集合，则的非空子集的个数为 2函数的值域为 3在直角坐标平面内，曲线围成的图形的面积是 4给定集合，.若集合A、B满足，则点在直角坐标平面中的轨迹方程是 5函数的图象的对称中心为 6设是小于100的正整数，且满足为整数，则符合条件的所有正整数的和为 7.已知不等式组有唯一解，则实数= 8.已知，则符合上述条件的共有 组9已知函数是定义在上的奇函数，当时，.若对任意，有恒成立，则实数的取值范围为 10设表示不超过的最大整数，则= 11已知函数的最小值是0，则非零实数的值是 12已知方程的两个不等实根、满足 .则的值为 .13

2、.如果关于x的不等式的解集是R，则实数的取值范围是 14当时，不等式恒成立，则的最大值为 二、解答题15已知二次函数的图象过点（1，13）,且函数是偶函数.（1）求的解析式；（2）函数的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.16已知函数，对任意，有恒成立，求实数的取值范围.17如图，在中，它的内切圆分别与边、相切于点、，连接，与内切圆相交于另一点，连接、。（1）求证：； （2）若，求证：。18.设函数的最小值g(a) > 5，求实数a的取值范围19已知函数f(x)，为常数且若满足，但，则称为的二阶周期点如果

3、f(x)有两个二阶周期点x1，x2，试确定a的取值范围.20. 已知的三根分别为，并且是不全为零的有理数，求的值。高一数学试卷答案准考证号 班级 姓名 学号 座位号 一、填空题1. 63 2 3 5.（-1006,2011）6. 635 7. 8. 100 9. 10. 201311-2 12. 2010 13.（0,1） 14. 2二、解答题15解（1）因为函数是偶函数，所以二次函数的对称轴方程为，故. -2分又因为二次函数的图象过点（1，13），所以，故.因此，的解析式为. -6分（2）如果函数的图象上存在符合要求的点，设为P，其中为正整数，为自然数，则，从而，即. -10分注意到43是质

4、数，且，所以有解得因此，函数的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）. -14分17.【解答】（1）由条件知，又。 ，。 3分同理，由，知，。 ， 。 。 8分（2） ， 。 。 11分结合（1）可知，。又 ， ，。 、四点共圆。又 ， ，。 14分18.设函数的最小值g(a) > 5，求实数a的取值范围解： 2分（1）1-a < -时，即a >时，在（-¥，1-a上减，在1-a，-上减，-，+¥）上增 5分（2）-1 - a时，即a时，在（-¥，1-a上减，在1-a，+¥）上增 8分（3）1 - a >时,即a <时,在（-¥，上减，在，1-a上增，1-a，+¥）上增 11分总之，或或即 ，或，或，或 16分19已知函数f(x)，a为常数且a>0若x0满足f(f(x0)x0，但f(x0)x0，则称x0为函数f(x)的二阶周期点如果f(x)有两个二阶周期点x1，x2，试确定a的取值范围.解：当0a时，有f(f(x)所以f(f(x)x只有一个解x0，又f(0)0，故0不是二阶周期点 6分当时，有f(f(x)所以f(f(x)x有解集，又当时，f(x)x，故中的所有点都不是二阶