(甲)研讨一等差数列之次方数有何规律

1、(甲)研討一：等差數列之次方數有何規律？附表1：等差數列之次方數階差表等差數列1234567891011121314公 差1111111111111二次方數149162536496481100121144169196一 階 差3579111315171921232527二 階 差222222222222三次方數18276412521634351272910001331172821972744一 階 差719376191127169217271331397469547二 階 差121824303642485460667278三 階 差666666666661. 造一個等差數列，並應用Excel軟

2、體做出其次方數及各階差。如附表1： 四次方數1168125662512962401409665611000014641207362856138416一 階 差156517536967111051695246534394641609578259855二 階 差501101943024345907709741202145417302030三 階 差6084108132156180204228252276300四 階 差24242424242424242424五次方數132243102431257776168073276859049100000161051248832371293537824一 階

3、差312117812101465190311596126281409516105187781122461166531二 階 差1805701320255043806930103201467020100267303468044070三 階 差390750123018302550339043505430663079509390四 階 差3604806007208409601080120013201440五 階 差1201201201201201201201201202. 根據附表1，我們再將等差數列的公差為1時與各次方數之階差關係，重新整理歸納。如附表2：附表2：等差數列的公差為1時與各次方數之階

4、差關係表次 方 數會形成等差數列的階差數會形成常數數列的階差數公階差（次方數的公差）二次方數第一階差第二階差2三次方數第二階差第三階差6四次方數第三階差第四階差24五次方數第四階差第五階差1203.我們的發現： 等差數列的n次方數也會在第n1階差時形成等差數列，如：三次方數會在第二階差時形成等差數列。 等差數列的n次方數會在第n階差時形成常數數列，如：三次方數會在第三階差時形成常數為6的數列。 次方數的公階差似乎與幾次方的階乘有關。現在分析如下：二次方數的公階差22！21 三次方數的公階差63！321四次方數的公階差244！4321 五次方數的公階差1205！54321 由上面的分析可知：等差

5、數列公差為1時，其n次方數的公階差會等於n階乘。3. 再以不同公差造一些等差數列，並應用Excel軟體做出其次方數及各階差。如附表3：附表3：不同公差之次方數階差表等差數列13579111314710131619公 差222222333333二次方數1925498112116911649100169256361一 階 差8162432400481533516987105二 階 差888881818181818因數分解82222221183323321等差數列15913172125161116212631公 差444444555555二次方數125811692894416251361212564

6、41676961一 階 差2456881201521843585135185235285二 階 差32323232325050505050因數分解324424421505525521等差數列13579111314710131619公 差222222333333三次方數127125343729133121971643431000219740966859一 階 差269821838660286663279657119718992763二 階 差72120168216264216378540702864三 階 差48484848162162162162因數分解48222622232116233363

7、33321等差數列15913172125161116212631公 差444444555555三次方數11257292197491392611562512161331409692611757629791一 階 差1246041468271643486364215111527655165831512215二 階 差4808641248163220169001650240031503900三 階 差384384384384750750750750因數分解38444464443217505556555321等差數列13579111314710131619公 差222222333333四次方數1816

8、2524016561146412856112562401100002856165536130321一 階 差805441776416080801392025521457599185613697564785二 階 差464123223843920584018905454109621841427810三 階 差7681152153619203564550874529396四 階 差384384384194419441944因數分解38422222422224321194433332433334321等差數列15913172125161116212631公 差444444555555四次方數1625

9、65612856183521194481390625112961464165536194481456976923521一 階 差6245936220005496011096019614412951334550895128945262495466545二 階 差531216064329605600085184120503755078050133550204050三 階 差1075216896230402918425500405005550070500四 階 差614461446144150001500015000因數分解6144444424444443211500055552455554321等

10、差數列13579111314710131619公 差222222333333五次方數124331251680759049161051371293110241680710000037129310485762476099一 階 差24228821368242242102002210242102315783831932712936772831427523二 階 差26401080028560597601082401476067410188100405990750240三 階 差816017760312004848052650120690217890344250四 階 差960013440172806

11、804097200126360五 階 差384038402916029160因數分解384022222120222225432129160333331203333354321等差數列15913172125161116212631公 差444444555555五次方數131255904937129314198574084101976562517776161051104857640841011188137628629151一 階 差31245592431224410485642664244568152477751532758875253035525779727516747775二 階 差52800

12、25632073632016156803017280145500734250214800047617508950500三 階 差2035204800008793601401600588750141375026137504188750四 階 差27648039936052224082500012000001575000五 階 差122880122880375000375000因數分解1228804444412044444543213750005555512055555543214. 根據附表3，我們再將等差數列的不同公差與次方數的公階差關係，重新整理歸納。如附表4：附表4：等差數列的不同公差與次

13、方數的公階差關係表等差數列的公差二次方數的公階差三次方數的公階差四次方數的公階差五次方數的公階差28222！482223！38422224！3840222225！318332！1623333！194433334！29160333335！432442！3844443！614444444！122880444445！550552！7505553！1500055554！375000555555！6.根據上表之分析可知：n次方數的公階差會等於公差的n次方再乘以n階乘。7.研討一之結果： 根據以上的探討，我們歸納其結果於下表：如附表5附表5：等差數列各次方數的規律比較表次方數二次方數三次方數四次方數n次方數備 註形成等差數列