能量守恒定律与能源小结

1、本章小结知识网络重点突破一、功的计算1.利用公式W=Fscos计算【例1】 如图5-1所示，恒力F绕滑轮拉细绳使物体A在水平桌面上产生位移s，恒力方向与水平方向成角，求此恒力所做的功.图5-1思路分析：力F为恒力，可考虑由功的定义式求解，即力与力的方向上的位移的乘积，也可用等效的方法，因为F的拉动使物体前进，物体相当于受水平拉力F和与水平方向成角的斜向上的拉力，物体发生的位移为s. 解法一：如图5-2所示，选绳上的一点P为研究对象.当物体前进位移s时，点P从A移到了A，AA为点P的位移，在力的方向上的位移则为AC图5-2 作BDAC，由于CD=AB=s，AB=sAD=ABcos=scos 故A

2、C=s（1+cos） 故W=F×AC=Fs（1+cos）. 解法二：力F做的总功，等效成水平力F及与水平成角的力F做功之和，故有：W=Fs+Fscos=Fs（1+cos）.答案：Fs（1+cos）类题演练 1如图5-3所示，人通过定滑轮拖住不计重的绳子，将重为G的物体匀速上拉，当人移动d m时，人拉的绳子由竖直方向变为与水平方向成角.求这个过程中拉力所做的功.图5-3思路分析：虽然拉力的大小始终等于G，但由于人拉绳子的方向不断改变，因而此题属于变力做功问题.但由于绳子质量不计，人所做的功等于绳子拉力对重物G所做的功.解析：人所做的功为W=Gs 由于s=d· 以W=.答案：2

3、.利用公式W=Pt计算【例2】 一辆汽车在平直的公路上以速度v0开始加速行驶，经过一段时间t，前进了距离s，此时恰好达到其最大速度vmax.设此过程中汽车发动机始终以额定功率P工作，汽车所受的阻力恒为F，则在这段时间里，发动机所做的功为（ ）A.Fvmaxt B.PtC.+Fs- D.Ft解析：汽车在恒定功率作用下是做变牵引力的加速运动，所以发动机做功为变力做功. 根据P=可求出W=Pt 而P=Fv=F·vmax，所以W=F·vmax·t 根据动能定理W-Fs= 所以W=+Fs-.答案：ABC二、功率的计算【例3】 电动机通过一绳吊起一质量为8 kg的物体，绳的拉

4、力不能超过120 N，电动机的功率不能超过1 200 W，要将此物体由静止起用最快的方式吊高90 m（已知此物体在被吊高接近90 m时已开始以最大速度匀速上升）所需时间为多少?思路分析：由P=F·v知v=.因牵引力最大值为120 N，所以vmin= m/s=10 m/s，故不可能开始就以额定功率上升，而题目要求以最快方式提升90 m，那只能开始以最大拉力作用下匀加速上升，达到额定功率后再以额定功率上升.解析：因为牵引力F最大值Fmax=120 N，所以上升过程要以额定功率上升，最小速度vmin= m/s=10 m/s，故不可能从静止开始以额定功率上升.要使重物上升90 m所用时间最短

5、，则必须开始以最大拉力匀加速上升，加速度a= m/s2=5 m/s2. 设匀加速上升t1到v1时达到额定功率 则据P=F·v得：1 200=120v1，所以v1=10 m/s 而v1=a1t1，所以t1=2 s 匀加速上升的高度h1=·t1=10 m 设最后以额定功率上升t2秒 由动能定理得P·t2-mg(h-h1)= 而最终速度vmax=m/s=15 m/s 将各数据代入得t2=5.75 s 所以共需时间t=t1+t2=7.75 s.答案：7.75 s三、作用力与反作用力的功【例4】下列关于作用力、反作用力的做功问题中，说法正确的是（ ）A.作用力做功，反作用力

6、也必定做功B.作用力做正功，反作用力一定做负功C.作用力做功数值一定等于反作用力做功数值D.单纯根据作用力的做功情况不能判断反作用力的做功情况解析：要解答这个问题，可设想一个具体例子，如图5-4所示，A、B两磁铁同名磁极相对，分别放在两辆小车上，同时释放后，在斥力作用下两车分开，作用力、反作用力都做正功；两车质量相等时，位移相等，做功数值也相等；而两车质量不相等时，位移不相等，做功数值当然也不相等；如按住A不动，只释放B，则A对B的作用力做正功，B对A的反作用力不做功.因此，单纯根据作用力做功情况不能确定反作用力做功的数值、正负.D正确.图5-4答案：D类题演练 2一个小孩站在船头，按图5-5

7、两种情况用同样大小的力拉绳，水的阻力不计，经过相同的时间t（船未碰撞），小孩所做的功W1、W2及在时间t内小孩拉绳的功率P1、P2的关系为（ ）图5-5A.W1W2，P1=P2 B.W1W2，P1P2C.W1=W2，P1=P2 D.W1W2，P1=P2解析：因为不计水的阻力，只有拉力作用，由牛顿运动定律和运动学公式可知，小孩所在的船前后两次的位移是相同的，因此第一次小孩做的功为W1=Fx1；第二次小孩做的功为W2=F(x1+x2)，所以正确选项为B.答案：B四、动能定理的综合应用【例5】 质量为m=3 000 t的火车，在恒定的额定功率下由静止出发，运动中受到一个恒定不变的阻力作用，经过103

8、 s，行程12 km后，达到最大速度72 km/h.求列车的额定功率和它受到的阻力.思路分析：火车在达到最大速度之前，牵引力F=将是一个与速度有关的量.阻力为Ff，则火车的加速度a=，即加速度随着速度的增大而减小，火车做加速度减小的变加速运动.由于a是变量，所以此类问题采用牛顿运动定律和运动学公式将是无能为力的.解析：在从速度为零达到速度最大这一过程中：机车牵引力做功为Pt，阻力做功为-Ffs，动能增量为，则由动能定理可得Pt-Ffs=. 在达到最大速度这一瞬间，是加速度为零的时刻 所以F=Ff，F=即P=Ff·vmax.Ffvmaxt-Ffs= 列车受到的阻力Ff=7.5×

9、;104 N 列车的额定功率P=Ffvmax=1.5×106 W.答案：1.5×106 W 7.5×104 N五、功能关系【例6】 质量为m的物体，在距地面h高处以g的加速度由静止竖直下落到地面，下面的说法中正确的是（ ）A.物体的重力势能减少mghB.物体的机械能减少mghC.物体的动能增加mghD.物体的重力做功mgh解析：物体在h高处时，重力势能为mgh，落到地面时，重力势能为零，这一过程中，重力做功为mgh，重力势能减小mgh，A选项错误，D选项正确.物体的加速度为g，可见合外力为mg，合外力做的功为mgh，根据动能定理，物体动能增加mgh，C选项正确.物

10、体重力势能减少mgh，动能增加mgh，机械能减少mgh，B选项正确.答案：BCD类题演练 3（经典回放）在离地面高为h处竖直上抛一质量为m的物块，抛出时的速度为v0，当它落到地面时速度为v，用g表示重力加速度，则在此过程中物块克服空气阻力所做的功等于（ ）A.mgh-mv2-B.-mghC.mgh+mv2D.mgh+mv2-解析：物块克服空气阻力所做的功等于物块机械能的减少量，即Wf=mgh+mv2，C正确.答案：C类题演练 4(2004上海高考)滑块以速率v1靠惯性沿固定斜面由底端向上运动，当它回到出发点时速率变为v2，且v2v1，若滑块向上运动的位移中点为A，取斜面底端重力势能为零，则（

11、）A.上升时机械能减小，下降时机械能增大B.上升时机械能减小，下降时机械能也减小C.上升过程中动能和势能相等的位置在A点上方D.上升过程中动能和势能相等的位置在A点下方解析：如图所示，无论上升过程还是下降过程，摩擦力皆做负功，机械能均减少，A错，B对. 设A点的高度为h，斜面的倾角为，物体与斜面间的动摩擦因数为，整个过程由动能定理得：2mgh+2mgcos 解得：h= 设滑块在B点时动能与势能相等，高度为h，则有：mgh=mv2-mgh-mgcos· 解得：h= 由以上结果知，hh，故C对，D错.答案：BC六、系统机械能守恒与机械能的变化【例7】某人在距离地面2.6 m的高处，将质量

12、为0.2 kg的小球以v0=12 m/s的速度斜向上抛出，小球的初速度方向与水平方向之间的夹角为30°，g取10 m/s2，求：（1）人抛球时对球做多少功?（2）若不计空气阻力，小球落地时的速度大小是多少?（3）若小球落地时的速度大小为v1=13 m/s，小球在空中运动过程中克服阻力做了多少功?思路分析：人抛球的力为变力，飞行中阻力也为变力，故此题（1）、（3）两问应该用动能定理去求力所做的功，第（2）问中不计阻力，只有重力做功，则既可用动能定理，又可以用机械能守恒定律求解.解析：（1）在抛出小球的过程中，只有人对小球做功，初态为静止，末态小球离手时速度为v0 根据动能定理：W=Ek

13、=14.4 J.（2）选地面为零势能面 在高处时的机械能：E1=mgh+ 落地时的机械能：E2=mv2 在空中运动的过程中，机械能守恒，即E1=E2. 所以：mgh+=mv2 代入数据可求得：v=14 m/s.（3）空气阻力对小球做的功等于小球机械能的变化：W=mv2=-2.7 J.答案：（1）14.4 J （2）14 m/s （3）2.7 J类题演练 5如图5-6所示，O点离地面高度为H，以O点为圆心，制作一四分之一光滑圆弧轨道，小球从与O点等高的圆弧最高点滚下水平抛出，试求：图5-6（1）小球落地点到O点的水平距离.（2）要使这一距离最大，只应满足什么条件?最大距离为多少?解析：（1）小球

14、在圆弧上滑下过程中受重力和轨道弹力作用，但轨道弹力不做功，即只有重力做功，机械能守恒，可求得小球平抛的初速度v0.根据机械能守恒定律得mgR=设水平距离为s，根据平抛运动规律可得s=.（2）因H为定值，则当R=H-R，即R=时，s最大，最大水平距离为smax=H.答案：（1）（2）当R=时，最大距离为H【例8】如图5-7，ABCD是一条长轨道，其中AB段是倾角为的斜面，CD段是水平的，BC是与AB和CD都相切的一小段圆弧，其长度可略去不计.一质量为m的小滑块在A点从静止状态释放，沿轨道滑下，最后停在D点.现用一沿着轨道方向的力推滑块，使它缓缓地由D点推回到A点时停下.设滑块与轨道间的动摩擦因数

15、为，则推力对滑块做的功等于（ ）图5-7A.mgh B.2mghC.mg() D.mgs+mghcot解析：小滑块从A到D的过程中，只有重力和轨道摩擦力做功.设A到D过程中轨道摩擦力做功的大小为Wf，由动能定理得：mgh-Wf=0当把小滑块从D推回A停下的过程中，设推力做功为WF，摩擦力做功的大小为Wf，同理得：WF-mgh-Wf=0 由于两情况中摩擦力的功相同，即Wf=Wf，于是由上述两式即得推力做功：WF=2mgh.B正确.答案：B类题演练 6（经典回放）两个底面积都是S的圆桶，中间有管道连接并用阀门K隔开，放在同一水平面上，桶内装满水，水面分别是高为h1和h2，且h1h2，如图5-8所示

16、.现在把连接两桶的阀门K打开，最后两桶水的高度相同.设水的密度为，问这一过程中水的重力做多少功?图5-8思路分析：打开阀门，在重力作用下最后两桶水面等高.因此，重力做功的效果相当于把左边h高的部分移到右边，如图所示，因此重力做功的大小等于左边部分水移动后重力势能的数值.解析：移动的水的质量m=S(h1-h2)，这部分水的重心下降高度h=(h1-h2)，所以，重力对这部分水做的功W=mg·h=gS(h1-h2)2.答案：gS(h1-h2)2本章测试1.物体在下列运动过程中，机械能守恒的是（ ）A.直升机载物匀速上升 B.起重机匀速下放物体C.物体沿光滑斜面加速下滑 D.电梯载物匀加速上

17、升解析：对A、B、D而言，都有重力以外的力做了功，不符合机械能守恒的条件.答案：C2.在同一高度将质量相等的三个小球以大小相同的速度分别竖直上抛、竖直下抛、水平抛出，不计空气阻力.从抛出到落地过程中，三球（ ）A.运动时间相同 B.落地时的速度相同C.落地时重力的功率相同 D.落地时的动能相同解析：尽管高度、加速度相同，但竖直方向的初速度大小不同，因此运动时间不同，A错.落地速度方向是不同的，B、C都错.答案：D3.关于功率的概念，下面的说法中正确的是（ ）A.功率是描述力对物体做功多少的物理量B.由PW/t可知，W越大，功率越大C.由PFv可知，力越大，则功率越大D.某个力对物体做功越快，它

18、的功率就一定大解析：功率是描述做功快慢的物理量，A不对.功率和功的大小及做功时间都有关系，B不对.功率的另外一个表达式为PFv，某个力的功率和力的大小及物体速度成正比，C不对.答案：D4.从地面竖直向上抛出一小球，不计空气阻力，则小球两次经过离地h高的某点时，小球具有相同的（ ）A.速度 B.加速度 C.动能 D.机械能解析：在这个过程中，小球只受重力作用，所以加速度相同，B对.整个过程中机械能守恒，在经过相同高度的某点时，具有相同的动能、势能和机械能.答案：BCD5.如图5-1所示，在水平的船板上有一人拉着固定在岸边树上的绳子，用力使船向前移动.关于力对船做功的下列说法中正确的是（ ）图5-

19、1A.绳的拉力对船做了功 B.人对绳的拉力对船做了功C.树对绳子的拉力对船做了功 D.人对船的静摩擦力对船做了功解析：绳的拉力、人对绳的拉力和树对绳子的拉力并没有作用于船，没有对船做功.只有人对船的静摩擦力作用于船，且船发生了位移，故对船做了功，且做正功.设想一下若船板光滑，人与船之间无摩擦力，则人拉绳时，人前进了，船则在原处不动，没有力对船做功.答案：D6.一物体由H高处自由落下，当物体的动能等于势能时，物体运动的时间为（ ）A. B. C. D.解析：依题意有：Mv2=Mg（H-h）Mv2=Mgh可求得物体的动能等于势能时物体运动的速度v（h是此时的离地高度），进一步由v=gt可求得运动时

20、间.答案：B7.如图5-2所示，在自动扶梯以恒定的速度v运动时，第一次有一个人站到扶梯上后相对扶梯静止不动，扶梯载他上楼过程中对他做功为W1，做功功率为P1.第二次此人在运动的扶梯上又以相对扶梯的速度v同时匀速向上走.则这次扶梯对该人做功为W2，做功功率为 P2.以下说法中正确的是（ ）图5-2A.W1W2,P1P2 B.W1W2,P1=P2C.W1=W2,P1P2 D.W1=W2,P1=P2解析：在扶梯上，人相对扶梯静止不动和人相对于扶梯匀速向上运动，相对地面来说，人都是做匀速直线运动.两次人均处于平衡状态，两次人受到的力情况相同.即扶梯对人向上的支持力等于重力，而两次扶梯载人运动的距离不同

21、，所以可用W=Fscos来判定功的大小.两次扶梯运动的速率v不变，所以可用P=Fvcos来判定功率的大小. 由功的计算公式，得扶梯对人做功为：W=Fscos 式中是扶梯对人的支持力（等于人的重力）和扶梯所在斜面的夹角.由于第二次人沿扶梯向上走了一段距离，所以第一次扶梯载人运动的距离要比第二次扶梯载人运动的距离长，即s1s2，故W1W2.两次扶梯运动的速率v不变，对人作用力不变，根据P=Fvcos知P1=P2.故本题正确选项为B.答案：B8.如图5-3所示，A球用线悬挂且通过弹簧与B球相连，两球质量相等.当两球都静止时，将悬线烧断，下列说法正确的是（ ）图5-3A.线断瞬间，A球的加速度大于B球

22、的加速度B.线断后最初一段时间里，重力势能转化为动能和弹性势能C.在下落过程中，两小球、弹簧和地球组成的系统机械能守恒D.线断后最初一段时间里，动能的增加大于重力势能的减少解析：悬线烧断前弹簧处于伸长状态，弹簧对A球的作用力向下，对B球的作用力向上.当悬线烧断瞬间，弹簧的伸长来不及改变，对A球作用力仍然向下，故A球的加速度大于B球的加速度，即选项A正确.在下落过程中，只有重力和弹力做功，故两小球、弹簧和地球组成的系统机械能守恒，即选项C正确.悬线烧断后最初的一段时间里，弹簧缩短到原长以前，重力势能和弹性势能均减少，系统的动能增加，即选项D正确.答案：ACD9.汽车额定功率为P，汽车质量为m，在

23、平直路面上行驶时所受阻力为车重的k倍，则汽车在此水平路面上运动的最大速度为_.解析：故.答案：10.质量为2 kg的物体，从长6.6 m的斜面顶端由静止下滑，斜面倾角为30°，物体与斜面间的动摩擦因数为0.2.那么，物体从顶端滑到底端过程中，重力做功的功率为_W；滑到底端时重力对物体做功的功率为_W.解析：物体从顶端滑到底端的过程中，重力做的功W=mgl·cos60°=66 J物体沿斜面下滑的加速度=3.3 m/s2.由l=at2，得运动时间t=2 s.物体从顶端滑到底端的过程中，重力做功的功率为=33 W；滑至底端时的功率P=mgv·cos60

24、6;，而v=at，所以P=66 W.答案：33 6611.某喷水池中一喷水管，连续不断地竖直向上喷水.水柱可达到5 m高，空中水的体积恒为2 cm3，则该管的喷水功率为_W.（g取10 m/s2）解析：水的出管速度v0= m/s =10 m/s.被喷出的水在空中运动的时间为t= s=2 s.则每2 s喷出的水的体积等于空中水的体积，其质量m=V=1.0×103×2×10-3 kg=2 kg.那么喷水功率P= W=50 W.答案：5012.如图5-4甲所示，用包有白纸的质量为1.00 kg的圆柱棒替代纸带和重物，蘸有颜料的毛笔固定在电动机上并随之转动，使之替代打点计

25、时器.当烧断悬挂圆柱棒的线后，圆柱棒竖直自由下落，毛笔就在圆柱棒面上的纸上画出记号，如图5-4乙所示，设毛笔接触棒时不影响棒的运动.测得记号之间的距离依次为26.0 mm、42.0 mm、58.0 mm、74.0 mm、90.0 mm、106.0 mm，已知电动机铭牌上标有“1 440 r/min”字样，由此验证机械能守衡.根据以上内容.回答下列问题（计算结果保留三位有效数字）： 甲 乙图5-4（1）毛笔画相邻两条线的时间间隔T=_s，图乙中的圆柱棒的_端是悬挂端（填“左”或“右”）.（2）根据乙图所给的数据，可知毛笔画下记号C时，圆柱棒下落的速度vC=_m/s；画下记号D时，圆柱棒下落的速度

26、vD=_m/s；记号C、D之间棒的动能的变化量为_J，重力势能的变化量为_J（g=9.8 m/s2）.由此可得出的结论是_.解析：回顾教材实验，利用类比想象来理解本实验原理.本题将包有白纸的圆柱棒替代纸带和重物，蘸有颜料的毛笔固定在马达上并随之转动，使之替代打点计时器，从而验证了机械能守恒定律.这种实验方法是对教材中“验证机械能守恒定律”实验的创新，实验器材不同，但其依据的实验原理及数据处理方法跟教材上的实验是一致的.（1）由马达铭牌“1 440 rmin”算出毛笔画的线距的时间间隔为 s0.04 s.随着物体下落速度增大，相同时间内通过的位移越大，故图乙中的圆柱棒的左端是悬挂端.（2）匀变速直线运动过程中，某一时间中间时刻的瞬时速度等于其平均速度vn=，故vc=1.19 m/svD=1.584 m/sC、D之间棒的动能的变化量为Ek=mvD2-mvC2=m(vD2-vC2)=×1.00×(1.5842-1.192) J=0.524 J重力势能的变化量为Ep=mgh=mghCD=0.568 J，可以看出，在误差允许的范围内，圆柱棒的机械能是守恒的.答案：见解析13.在离地2.4 m高的光滑水平桌面上停放着质量为0.5 kg的小铁块，一个大小为2 N的水平推力持续作用在小铁块上，移动2 m后被撤去，同时小铁块