3-测试第二章信号描述-FFTppt课件

1、华北电力大学机械工程学院测试技术第三节 非周期信号的频域描述 非周期信号是时间上不会重复出现的信号，一般为时非周期信号是时间上不会重复出现的信号，一般为时域有限信号，具有收敛可积条件，其能量为有限值。这种域有限信号，具有收敛可积条件，其能量为有限值。这种信号的频域分析手段是傅立叶变换。信号的频域分析手段是傅立叶变换。公式公式: x tXedXx t edtj tj t( )( )( )( )12或或dtetxfXdfefXtxftjftj22)()()()(傅里叶变换FT）傅里叶反变换 (IFT)傅里叶变换与傅里叶反变换构成一对傅里叶变换对x(t)FTIFTX(f)华北电力大学机械工程学院测试

2、技术由傅里叶级数到傅里叶变换由傅里叶级数到傅里叶变换 非周期信号按照定义不能按傅里叶级数分解成许多正非周期信号按照定义不能按傅里叶级数分解成许多正(余余)弦弦谐波之和，但为了了解其频域描述，谐波之和，但为了了解其频域描述， 可援引周期信号的方法加可援引周期信号的方法加以解决，即将一非周期信号仍当作周期信号处理，以解决，即将一非周期信号仍当作周期信号处理， 认为其周期认为其周期趋于无穷大。趋于无穷大。设x(t)为周期信号在(-T/2, T/2)区间内傅里叶展开式为 ntnneCtx0j)(ttxTCtnTTnde )(10j22其中其中 将Cn代入，得 华北电力大学机械工程学院测试技术Tttxe

3、ttxTtxtnnTTtntnnTTtn2ede )(21de )(1)(0000j22jj22j Tnn2) 1(000相邻谐波谱线间的频率增量改写上式tntnTTnttxtx00jj -22ede )(21)(式中，n取整数0，1，2，因而各谐波频率n0只能取离散值；若T，则0， 原来只能取离散值的谐波频率n0变为可连续取值的连续变量。华北电力大学机械工程学院测试技术在数学上，T就意味着上式中 22,d,TTdede )(21)(jj -ttttxtx将将=2f=2f代入上式得代入上式得 fttxtxftftdede )()(j2j2-避免了在傅里叶变换中出现避免了在傅里叶变换中出现1/2

4、的常数因子的常数因子傅里叶变换傅里叶变换华北电力大学机械工程学院测试技术傅里叶积分存在条件是：傅里叶积分存在条件是： (1) x(t)在有限区间上满足狄里赫条件；在有限区间上满足狄里赫条件； (2) 积分收敛，即积分收敛，即x(t)在无限区间上绝对可积。在无限区间上绝对可积。 周期信号可以通过傅里叶级数分解成为无限多项谐波的代周期信号可以通过傅里叶级数分解成为无限多项谐波的代数和。与此类似，非周期信号则可通过傅里叶积分数和。与此类似，非周期信号则可通过傅里叶积分 “分解分解” 成成 “无限多项谐波无限多项谐波” 的积分和。从所起的作用看，傅里叶积的积分和。从所起的作用看，傅里叶积分与傅里叶级数

5、类似。分与傅里叶级数类似。 ttxd)(华北电力大学机械工程学院测试技术由于非周期信号的周期由于非周期信号的周期T，基频，基频fdf，它包含了从零到无穷大的，它包含了从零到无穷大的所有频率分量，各频率分量的幅值为所有频率分量，各频率分量的幅值为X(f)df，这是无穷小量，所以频，这是无穷小量，所以频谱不能再用幅值表示，而必须用幅值密度函数描述。谱不能再用幅值表示，而必须用幅值密度函数描述。 另外，与周期信号不同的是，非周期信号的谱线出现另外，与周期信号不同的是，非周期信号的谱线出现在在0,fmax的各连续频率值上，这种频谱称为连续谱。的各连续频率值上，这种频谱称为连续谱。)()()(fjefX

6、fX)(Im)(Re)(22fXfXfX)(Re)(Im)(fXfXarctgf X(f)为为x(t)的频域描述的频域描述,是复函数是复函数幅值谱幅值谱相位谱相位谱华北电力大学机械工程学院测试技术)(212sin00220tfjtfjeejtf例1 求矩形窗函数 t的频谱特点：特点：1 非周期信号的频谱是连续谱非周期信号的频谱是连续谱 2 幅值谱是单位频宽上的幅值幅值谱是单位频宽上的幅值 3 时域有限，谱域无限时域有限，谱域无限 4一般一般,随频率值增大随频率值增大,对应的幅值逐对应的幅值逐渐降低渐降低(特殊情况下不成立特殊情况下不成立)提示:由欧拉公式：华北电力大学机械工程学院测试技术波形波

7、形sinc 函数函数华北电力大学机械工程学院测试技术三、三、 傅立叶变换的主要性质傅立叶变换的主要性质华北电力大学机械工程学院测试技术n假设假设n那么那么三、三、 傅立叶变换的主要性质傅立叶变换的主要性质a. 奇偶虚实性奇偶虚实性 b. 线性叠加性线性叠加性 c. 对称性对称性 d. 时间尺度改变性时间尺度改变性 e. 时移性时移性 f.时域卷积定理时域卷积定理)()()(*)();()()(*)();()();()(fXfHtxthXHtxthXtxHthFTFTFTFT时域卷积定理：时间函数卷积的频谱等于各个时间函数时域卷积定理：时间函数卷积的频谱等于各个时间函数频谱的乘积，既在时间域中两

8、信号的卷积，等效于在频频谱的乘积，既在时间域中两信号的卷积，等效于在频域中频谱中相乘。域中频谱中相乘。 主要性质的证明主要性质的证明P13-16 华北电力大学机械工程学院测试技术互易对偶性质(对称性) 华北电力大学机械工程学院测试技术时间展缩性质 华北电力大学机械工程学院测试技术华北电力大学机械工程学院测试技术例子：求下图波形的频谱例子：求下图波形的频谱+X1(f)X2(f)用线性叠加定理简化用线性叠加定理简化线性叠加性线性叠加性华北电力大学机械工程学院测试技术例2单位脉冲函数(函数)1) 函数的定义函数的定义在数学上，如果函数在数学上，如果函数s(t)仅在区间仅在区间0, 上具有脉冲样上具有

9、脉冲样图形图形(矩形脉冲、矩形脉冲、 三角形脉冲等三角形脉冲等)， 并且此图形与并且此图形与t轴围成的面轴围成的面积为积为1， 如图如图5.14(a)所示，所示， 那么当脉冲宽度那么当脉冲宽度0时，时， 函数函数s(t)的极限称为的极限称为函数。函数。 根据此定义不难看出根据此定义不难看出函数有如下特点：函数有如下特点： 0)(tt=0 0t1d)(d)(0ttstt华北电力大学机械工程学院测试技术2) 函数的采样性质若x(t)为一时域连续信号，则乘积(t)x(t)仅在t=0处得到(t)x(0)，其余均为零，于是 )0(d)()0(d)0()(d)()(xttxtxtttxt可见(t)与x(t

10、)相乘后积分， 其作用就是取出了信号x(t)在t=0时刻的一个值， x(0)为一个采样点。 华北电力大学机械工程学院测试技术同样，对有延时的函数(t-t0)，其值仅在t=t0时刻才不为零， 于是 )(d )()(d)()(d)()(000000txttttxttxttttxtt此时，得到了x(t)在t=t0时刻的一个采样点x(t0)。 在工程上，利用单位脉冲函数的概念， 可将采样过程看成是信号与单位脉冲函数的简单乘积。 华北电力大学机械工程学院测试技术3) 函数与其它函数的卷积)()()()d-()(d )()()()(txdttxtxtxttx同样: 卷积定义卷积定义d )()()()(ty

11、xtytx)()()(00ttxtttx函数与其它函数的卷积重要结论：重要结论： 任意函数和任意函数和函数的卷积，函数的卷积， 就是简单地将该函数就是简单地将该函数在自己的横轴上平移到在自己的横轴上平移到函数所对应的位置函数所对应的位置华北电力大学机械工程学院测试技术函数与函数的卷积华北电力大学机械工程学院测试技术4) 函数的频谱将函数进行傅里叶变换，即可得到其频谱函数： 1d )(ede )()(02jttttfft由此可见，时域的脉冲信号具有无限宽广的频谱， 而且各频率上的信号强度都相等。 在信号的检测中， 一般爆发电火花地方(如雷电、 火花塞等)都会对测试系统引起严重干扰， 这是因为尖脉

12、冲(类似函数， 能量均匀地分布在0的频带内)的高频部分以射频形式发射出来，对测试系统形成干扰的缘故。 凡是频谱为常数的信号俗称白噪声。 “白” 是由白色光引申而来， 意即白色的光谱频率丰富。 脉冲就是一种理想的白噪声。 华北电力大学机械工程学院测试技术根据傅里叶变换的对称性、时移性和频移性等，可得到下列傅里叶变换对： 时域 频域 )(ee)()(11)(02j2j000ffttfttfft华北电力大学机械工程学院测试技术例3正余弦由欧拉公式：)(212cos00220tfjtfjeetf)(212sin00220tfjtfjeejtf由频移性傅里叶级数的复指数展开傅里叶级数的复指数展开和傅里叶

13、变换和傅里叶变换 获得相同获得相同的频谱的频谱)()(212sin)()(21j2sin000000fffftffffftf)(ee)()(11)(02j2j000ffttfttfft华北电力大学机械工程学院测试技术例4指数衰减信号的频谱华北电力大学机械工程学院测试技术华北电力大学机械工程学院测试技术5 频谱分析的应用频谱分析的应用 频谱分析主要用于识别信号中的周期分量，是信号分析中最常用的一种手段。案例：在齿轮箱故障诊断案例：在齿轮箱故障诊断通过齿轮箱振动信号频谱分析，通过齿轮箱振动信号频谱分析，确定最大频率分量，然后根据确定最大频率分量，然后根据机床转速和传动链，找出故障机床转速和传动链，

14、找出故障齿轮。齿轮。案例：螺旋浆设计案例：螺旋浆设计可以通过频谱分析确定螺旋浆可以通过频谱分析确定螺旋浆的固有频率和临界转速，确定的固有频率和临界转速，确定螺旋浆转速工作范围。螺旋浆转速工作范围。华北电力大学机械工程学院测试技术 谱阵分析：设备启谱阵分析：设备启/停车变速过程分析停车变速过程分析 华北电力大学机械工程学院测试技术第四节 几种典型信号的频谱周期方波周期方波正余弦正余弦矩形窗矩形窗三角窗三角窗单位脉冲单位脉冲周期单位脉冲采样函数）周期单位脉冲采样函数）华北电力大学机械工程学院测试技术周期单位脉冲采样函数）周期单位脉冲采样函数）等间隔的周期性单位脉冲序列的周期为Ts， 如图5.16(

15、a)所示。 它的数学表达式为 nnnTtt)()(sn=0, 1, 2 若用傅里叶级数表示，那么 ntnfnnsCt2je)(华北电力大学机械工程学院测试技术s02js222js222js1e1de )(1de )(1TTttTttTCttnfTTtnfTTtnfnnsssssss所以 ntnfsnsTt2je1)(（5.26） 两端取傅里叶变换，即得n(t)的频谱 华北电力大学机械工程学院测试技术nssnssnTnfTnffTf)(1)(1)(频谱图可以看出， 时域中周期为Ts的脉冲序列在频域中仍是周期为1/ Ts的脉冲序列， 其幅值为时域中脉冲幅值的1/ Ts倍。 华北电力大学机械工程学院测试技术用计算机进行信号分析时， 首先要将连续的模拟信号x(t)变为一连串离散的时间序列。 以数字量的形式存入一个个内存单元中， 然后进行各种计算。 为了实现这一过程，