空间几何体的表面积和体积例题

1、例题讲解：例1一个长方体全面积是 20cm2，所有棱长的和是 24cm,求长方体的对角线长解析：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm、Icm依题意得：；'2(xy + yz + zx)=2°4(x+y+z) = 24(2)由(2)2 得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36( 3)由(3) ( 1)得 x2+y2+z2 = 16即所以-。点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素(对角线、内切)与面积、体积之间的关系。例.L如图 所示，在平行六面体匕匚U八

2、中，已知/ ,3()求证：顶点二在底面 Lh上的射影在十的平分线上; ()求这个平行六面体的体积。图图解析：(一)如图-,连结 '-,贝y '底面 。作 交于，作'-交，于',连结。由三垂线定得得,从而''o点'在的平分线上。K-3兀cos43显。2又在 中,3、2=30 2。，平行六面体的体积为2例一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是- 2,6，这个长方体对角线的长是LT解析：设长方体共一顶点的三边长分别为_,2 , =、.、3，则对角线 的长为,a2 b2 c =6 ;答案-'o点评：解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积

3、、体积的几何要素棱长。例4如图，三棱柱 ABC- ABQ中，若E、F分别为AB AC的中点，平面 EBC将三棱柱分 成体积为 V V2的两部分，那么 V : V2= o解析：设三棱柱的高为h,上下底的面积为 S,体积为V,则V=V+Va= Sho E、F分别为AB AC的中点,Sa aef= S1117V= h(S+ S+, S )= Sh34412V2=Sh-V = Sh,2,_2" - O点评：解题的关键是棱柱、 棱台间的转化关系, 关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可。建立起求解体积的几何元素之间的对应题型一：锥体的体积和表面积例（-上海，一-）在四棱锥1中,底面是边长为的

4、菱形，/一- ，对角线 u与相交于点'-,丄平面- -：】，一与平面-.F所成的角为一-，求四棱锥 一 -二1的体积?解析：（）在四棱锥-中，由厂厂平面 得是-与平面亠：所成的角，+：:o+ + + +在一. 一 中一一 -:由一 于是3，而底面菱形的面积为 、3 o四棱锥 1:的体积一 - 33 o3点评：本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。在能力 方面主要考查空间想象能力。例一-（-京皖春文，-）在三棱锥-一中，口 U ，且U U-5 o （如图所示）（）证明：；）求侧面 u与底面 u所成二面角的大小;(.)求三棱锥的体积L。解析：()证明：- 一-。又

5、一一平面 L.o由于-，即U U,由三垂线定理，得1(-) ，一.一.。-是侧面- -与底面 u所成二面角的平面角。在-一- l中，U5，得 - SB? - BC? -_-在.U中 LJ , U ， U JAC =2 =丄，SC 102口 -，即侧面-与底面-所成的二面角的大小为一- (.)解：在中，-.SC2 - AC2 102 -52 75，252- U 11 空 75332125 36点评：本题比较全面地考查了空间点、线、面的位置关系。 要求对图形必须具备一定的洞察力，并进行一定的逻辑推理。题型 ：锥体体积、表面积综合问题例匕是边长为一的正方形，、分别是二一、，的中点，二一垂直于正方形一

6、一.1所在的平面，且- =，求点到平面的距离？解析：如图，取一的中点连接一、构造三棱锥 一 oG设点至U平面一-的距离为',7 = 4,2 ,=22 , U = - x 43 2 。4GO =4C02 GC2 = . （3、. 2）222 二罰8 4 »；22 °而L -平面也，且U=°11由 VB EFG =VGEFB，得EF GO h = _ EFB63点评：该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解。构造以点为顶点，-为底面的三棱锥是解此题的关键，利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程是 解这类题的方法，从而简化了运算。OFE例（-一江

7、西理， ）如图，在四面体ABCD中，截面 AEF经过四面体的内切球（与四个 面都相切的球）球心 0,且与BC, DC分别截于E、 F,如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设 四棱锥A- BEFD与三棱锥A- EFC的表面积分别是 S, S2,则必有（）A. Si <SaB. Si >S2C. Si=S2D. Si, S2的大小关系不能确定解析：连 L、 . U、T ,贝 Ur-g = 一冷+ 一 w+ s三丑F壬-打 土-=走片二-二呼壬曲=41而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故-一+二又面公共，故选-.点评：该题通过复合平面图形的分割过程，增加了题目处理的难度，求解

8、棱锥的体积、 表面积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系。例一（北京理，）如图-一，在多面体匚匕口八中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于 ，两点，上、下底面矩形的长、宽分别为,与_ ,.，且_ > : > ,两底面间的距离为'o（求侧面一-与底面所成二面角的大小；（）证明： 面也；）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式L估中截面-:来计算已知它的体积公式是=一（三底面=一予截面二冇底面），试判断 帚与弓勺大小关系，并加以证明。6（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面）图（）

9、解：过 U作底面 3的垂直平面，交底面于 幕，过 作,垂足为。如图所示：平面一二平面U ,二 ,-为所求二面角的平面角过U作U,垂足为由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等，故四边形 为等腰梯形。1 (-),又b2一d(>),QU.Q L.，即所求二面角的大小为b -db-d）证明：一-，&是矩形 匚匕的一组对边，有- ,又丄是面 1厂与面1 的交线，-面。-是面二一-与面儿的交线，。-一是平面 口儿内的一条直线， 在平面 匕外, 面 一 .。（.）估 V L证明：_ ： > IL, J > ,a cb d a cb d估(cd ab 4)-6 2 2 2h12_ 一，- -一 一 匚 -一_ （ ： _ ）h12-估 V 。点评：该题背景较新颖，把求二面角的大小与证明线、面平行这一常规运算置于非规则几何体（拟柱体）中，能考查考生的应变能力和适应能力，而第三步研究拟柱体的近似计算公式与可精确计算体积的辛普生公式之间计算误差的问题，是极具实际意义的问题。 考查了考生继续学习的潜能。例 （一）（一-一全国，）如果棱台的两底面积分别是、，中截面的面积是 J那么（）.2 So = S 亠 SSo = S S U. - - -一 = +，一二- 一（）（-一全国，）已知正六棱台的上、下底面边长分别为和，高为 ，则其体积为（）3解析：（）解析：设该棱台为正棱