递推数列专题集锦doc

1、递推数列高一数学第三章数列专题讲座之三我们把数列连续若干项之间的等量关系称为数列的递推关系， 由递推关系及初始值可以确定的数列叫递推数列， 常见的递推数列是线性递推数列 （或称循环数列， 线性递归数列） .一、推数列通项公式的基本求法1 形如 an1an fn的递归式 ，其通项求法为ana1a2a1a3a2anan 1 = a1f 1f 2f n 1例 1 已知 a11， anan 11，（ n 2） ,求 an2n2 1解：ana1a2a1a3a2anan 1 = 1 + 3 2n 1 = 22n 1 n 222n n1n n12 形如 an1fn an 型的递归式 ，其通项求法为ana1

2、f 1 f2fn1 n2例 2设数列an中， a11 ，且 Snn 2 an ，求 an .解：当 n 2 时， anSnSn 1 ，依题意，有 Snn 2an，Sn12 a1两式相减得：n 1nann 2 ann 1 2 an 1 ，故 ann 1 an 1 ， f nn 1 ，n1n1 ann 1an 1n 1 n 2 n 3 2 a12， 由 于 a11满足上式n 1 n n 1 4 3 n n 1n 1an2n n13 形 如an 1panq p1型的一阶递推式，可化为an 11qpp an1qpp1 的形式， an1qa1qpn 1p 1求解p1 p例 3设数列an中， a11 ，且

3、 an3an1 4 ，（ n 2）,求 an .解： an2 3 an 12 ， an2 a12 3n 1 = 2 3n 14 形如1型的递推式 ，两边同除以n 1an 1anq nan1panq n pp，得pn 1p np n 1转化为第一种形式求解 .例 4设数列an中， a11 ，且 an2an 1 3 5n ，（ n 2） ,求 an .解：两边同除以nanan 13 5n，令anan 1bn1 ，2 得，2n 12n2nbn ，则2n2 n 11525n5n bnb1b2b1b3b2bnbn 1 =3=122222n52 an5n 13 2n 1,本题也可以将原式两边同除以5n 得

4、， an2an13 ，令 anbn ，5n55n15nan 1bn 1 ，则原式变为 bn23 再按一阶递推数列的求法也可求出 .则 n 1bn 1555 特征方程 :对于二阶线性递推数列xn ，满足 xn 2axn 1bxn0 ，其中 a,b 是常数，且b.若有等比数列xn满足公式，则x 必满足相应的方程0x2axb0； 反之，特征方程有一个实根 ，则等比数列n必满足递推公式；当 a 24b0 ，方程有两个不相等的实根 ， ，则数列n，n均是的解，并且对任意常数c1 ,c2 ，有 c1nc2n也是的解 . 如果给出初始条件，则可以求出通项公式 .例 5 已知数列an中， a12， a23，且

5、 an 25an 16an0，求 an .解：解法1，（特征根法）对于相应的特征根方程x 25x60 有两个不等的实根2，3，则 它 的 通 解 为 anc1 2 nc2 3n， 把 a12 ， a23代入得 2c1 2 c2 3 ，3 c1 22c2 32 ， c13， c21，故所求的通解是：an32n 13n 123解法2：（待定系数法）设5,6，即2,3，则数列an的递推公式可以改写成 an223 an 16an0 ，即：an 22an13 an 12an=32 an2an 1=3n a22a13nan 23an 12 an 13an = 22 an3an 1 = = 2n a23a1

6、3 2n 由 、 得an3 2n 13n16 韦达定理法 ：例如已知 a00, an 15an24an21 ，求通项 an ，通过去根号，整理 得 ： a 2 n 110an an 121 0 ， 以 n 1代 替 上 式 中 的 nan得 ：a 2n10anaa210 ，这样 an1 与 an1 是二次方程 x 210a xa 21 0的两1 nn 1nn根，由韦达定理知an1an110an ，再仿照5 特征根法求解 .7 简 单 的 分 式 数 列 ： 设 f xax b c0, ad bc 0， an满足递推关系cxdaxbanfan 1，其中 n 2，且初始值 a1fa1p,q,.若方

7、程 xd有两个不等的实根cx则anpkan 1p ，这里 kapc ，即anp 是以 kapc 的等比数列；若anqan 1qa qcanqa qc方程 xaxb 有唯一的实根p,则11k ，这里 k2c，即an1cx danp an 1pa dp是以 k 为公差的等差数列 .例 7已知数列 an中， a14 ， an 13an2an4，求 an 的通项公式 .解：解方程x3x2得，有两个不等的实根 1 和2，x4an12an 11a1n 11 2an2 5 an 12a12 512n 12 n15n1， an255n12n28 可转化为等差（比）的数列：例 8 若数列 an中， a11 ，

8、anan 1，且 4an an 1anan 11 2n 1，求 an 通项公式 .解：显然数列各项均为不小于1 的正值，开方得 2 anan1anan11，配方有an 1an2an 1 ，所以an 1an1，故an1，因为 an是等差数列，得ann ， ann2. 例 9已知 an中， a16 ， an 1ann1 ，求 an 的通项公2an1式.解：由条件得112，所以数列1是等差数列，112 n 112 n 11 ，anan 1anan666.例 10 已知 a1 2 ，且 an 1an 22，求 an的通项公式 .an2ann 112n 11x 222，由此可得解 ： 解 方 程 x得，有两解2x2an22an 1，22an2an 12an2， 两 式 相 除 有 ： an 12an2anan 12anan 12an2an222，两边取对数得lg2 lg， 所 以 数 列 lgan 12an2an2是等比数列，所以an