x02-1导数与微分82232ppt课件

1、xxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000一、问题的提出一、问题的提出实例实例: :正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量. .20 xA 0 x0 x,00 xxx 变到变到设边长由设边长由,20 xA 正方形面积正方形面积2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;,的的主主要要部部分分且且为为的的线线性性函函数数Ax .,很很小小时时可可忽忽略略当当的的高高阶阶无无穷穷小小xx :)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 0.,03yxxxy 求函数的改变量求函数的改变量时时为为处的改变量处的改变量在点在点设函数设函数303

2、0)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很很小小时时当当 x .320 xxy ),()2(xox 的高阶无穷小的高阶无穷小是是既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值二、微分的定义二、微分的定义1、定义、定义0000000( ),()()()(),( ),( ),(),.x xx xyf xyf xxf xkxoxkxyf xxkxyf xxxdydf xdykx 设函数在某区间内有定义成立 其中 是与无关的常数则称函数在点可微 并且称为函数在点相应于的微分记作或即0 xxxxdxdxx 称为自变量 的微分记为即2、可微与连续的关系、可微与连续的关系证

3、证,)(0可微在点设函数xxf()yA xox 00limlim()0 xxyA xox .)(0连连续续在在点点函函数数xxf定理定理函数函数f(x)f(x)在点在点x x可微则可微则f(x)f(x)在点在点x x连续连续三、导数定义三、导数定义1. 变速直线运动的速度变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为)(tfs 0t那么 到 的平均速度为0tt v)()(0tftf0tt 而在 时刻的瞬时速度为0t lim0ttv)()(0tftf0tt 221tgs so)(0tf)(tft自由落体运动 xyo)(xfy C2. 曲线的切线斜率曲线的切线斜率曲线)(:xfyCNT0 xM在 M

4、 点处的切线x割线 M N 的极限位置 M T(当 时)割线 M N 的斜率tan)()(0 xfxf0 xx切线 MT 的斜率tanktanlim lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx导数的定义导数的定义定义定义 . 设函数设函数)(xfy 在点0 x0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx存在,)(xf并称此极限为)(xfy 记作:;0 xxy; )(0 xf ;dd0 xxxy0d)(dxxxxf即0 xxy)(0 xf xyx0limxxfxxfx)()(lim000hxfhxfh)()(lim000则称函数假设的某邻域内有定义 , 在

5、点0 x处可导, 在点0 x的导数. 关于导数的说明：关于导数的说明： 假如xyx0lim存在，,lim0 xyx处导数为无穷大0 x在处不可导则称可导与不可导可导与不可导假如xyx0lim不存在，0 x xfy 在处可导则称假如 xfy 则称0 x在 xfy 某点的导数与导函数. 开区间(a,b)内每一个确定的值x0都对应着一个确定的f(x0),它们构成了一个新的函数，就是导函数，简称导数。 函数的导数，是对某一区间内任意点而言的，也就是导函数。求函数在一点处的导数，一般是先求f(x),再求 f(x0)=f(x)|x=x.)(),(,.)(.)(,dxxdfdxdyxfyxfxfIx或或记记

6、作作的的导导函函数数这这个个函函数数叫叫做做原原来来函函数数导导数数值值的的一一个个确确定定的的都都对对应应着着对对于于任任一一 xxfxxfyx )()(lim0即即( ,)( ).df xxdyfx dx 例 求函数f(x)=|sinx|在x=0处的导数 导数与单侧导数的关系 解 因为f -(0) f +(0) 所以函数f(x)=|sinx|在x=0处不可导单侧导数Axf)(0Axfxf)()(00 f(x)在0 x处的左导数 f(x)在0 x处的右导数处的左导数hxfhxfxfh)()(lim)(00 处的右导数hxfhxfxfh)()(lim)(00 1sinlim0|0sin|sin

7、|lim0)0()(lim)0(000 xxxxxyxyfxxx1sinlim0|0sin|sin|lim0)0()(lim)0(000 xxxxxyxyfxxx四、可微和可导的关系四、可微和可导的关系00( ),().f xxAfx充要条件是在点处可导 且定理定理 函数函数y=f(x)在点在点x0可微可微证证(1) 必要性必要性,)(0可可微微在在点点xxf),( xoxAy ,)(xxoAxy xxoAxyxx )(limlim00则则.A ).(,)(00 xfAxxf 且且可导可导在点在点即函数即函数0.x xdyAdx(2) 充分性充分性),()(0 xxxfy 从从而而,)(0 x

8、fxy即即,)(0可导可导在点在点函数函数xxf),(lim00 xfxyx ),0(0 x),()(0 xoxxf .)(,)(00Axfxxf 且且可可微微在在点点函函数数000(,)().x xdf xxdyfx dx00000(,)().()x xx xdf xxdyfx dxdyfxdx导数也叫微商可导可微是一回事五、利用定义求导数和微分方法：五、利用定义求导数和微分方法：步骤步骤:);()()1(xfxxfy 求增量求增量;)()()2(xxfxxfxy 算算比比值值dxydyxyyx)4(.lim)3(0求极限例例1 1的导数和微分为常数求函数)()(CCxf解解hxfhxfxf

9、h)()(lim)(0 hCCh 0lim. 0 odyC. 0)(即例例2 2.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求设设函函数数解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x .cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 例例3 3.)(的的导导数数为为正正整整数数求求函函数数nxyn 解解hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnxdxnxdynxxnnn11.)(即更一般地更一般地)(.)(1Rxx )( x例如例如,12121 x.21

10、x )(1 x11)1( x.12x 例例4 4.)1, 0()(的导数的导数求函数求函数 aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax ()ln .()lnxxxxaaad aaadx 即().()xxxxeed ee dx 例例5 5.)1, 0(log的导数的导数求函数求函数 aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 1(log).lnaxxa 即.1)(lnxx hxahxhx)1(loglim10 11log.lnaexxa则令,0hxt原式htfhtfh2)()2(lim0)(lim0tfh)(0 xf 是否可按下述方法作:例例

11、6. 证明函数证明函数xxf)(在 x = 0 不可导. 证证:hfhf)0()0(hh0h,10h,1hfhfh)0()0(lim0不存在 , .0不可导在即xx例例7. 设设)(0 xf 存在, 求极限.2)()(lim000hhxfhxfh解解: 原式原式0limhhhxf2)(0)(0 xfhhxf2)( 0)(0 xf)(210 xf )(210 xf )(0 xf )( 2 )(0hhxf)(0 xf 例8 在x=0处可导,求常数a,b,c=?解：在x=0处连续,故,0()1,0,0 xeaxfxxbxcx00lim( )(0)1lim( )1xxf xcff xa 01 (0)l

12、im1hheafh所以，a=0,c=1,因01 (0)limhbhcfbh例例9. 设设0,0,sin)(xxaxxxf, 问 a 取何值时,)(xf 在),(都存在 , 并求出. )(xf 解解:)0(f00sinlim0 xxx1)0(f00lim0 xxaxa故1a时,1)0( f此时)(xf 在),(都存在, )(xf0,cosxx0,1x显然该函数在 x = 0 连续 .抽象函数的导数抽象函数的导数（1已知已知f(x)在在x0处可导，求下列极限。处可导，求下列极限。22000()()limhfxhfxh(2)设f(x)偶函数，且f (0)存在，证明f (0)=0证明：因f (0)=0

13、( )(0) (0)limhf hffh002 ()()f xfx00000( ()()( ()()limhf xhf xf xhf xh0()(0)limhfhfh 0( )(0)limtf tft (0)(0)ff ( )(),(,),()( ) ( ),(0)1,f xx yf xyf x f yf (3)已知是，上的非零函数，对任意有且。可可导导，并并求求证证明明)()(xfxfxxfxfxfxxfxxfxfxx )()()(lim)()(lim)(00解：解：)()0()()0()(lim)(0 xffxfxfxfxfx xCexfxfxf )()()(:即即(4). 设f(x)=(

14、xa)(x) ,其中(x) 在x=a处连续,求f (a).解解: 因为因为(5). 设设)(xf 存在, 且, 12)1 () 1 (lim0 xxffx求).1 (f xxffx2)1 () 1 (lim0所以. 2) 1 ( fxfxfx2) 1 ()1 (lim0)() 1 ()(1 (lim210 xfxfx1) 1 (21f (6)设设 f(x)在点在点x=a处可导，求处可导，求xxafxafx)()(lim0 .解：解： xxafxafx)()(lim0 xafxafafxafx)()()()(lim0 )(2)()(afafaf (7)(7).0(),100()2)(1()(fx

15、xxxxf 求求设设解解0)0()(lim)0(0 xfxffx)100()2)(1(lim0 xxxx!100 例例. 设函数设函数 f(x)在在 x=0的某邻域内可导的某邻域内可导,且且).0(f 求求,3)(lim0 xxfx解解. 0( )lim3 ,:xf xx由极限与无穷小的关系0( )3( ),lim( )(0)0,xf xxo xf xf0( )(0)(0)lim.xf xffx0( )lim3xf xx例例.0)(处处的的可可导导性性在在讨讨论论函函数数 xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 ),0()0( ff即即.0)(点点不不可可导导在在函函数数 xxfy.,)()()(,)(. 1000函数在角点不可导函数在角点不可导的角点的角点为函数为函数则称点则称点若若连续连续函数函数xfxxfxfxf 连续不一定可导连续不一定可导xy01)( .)(,)()(limlim,)(. 2000000不可导不可导有无穷导数有无穷导数在点在点称函数称函数但但连续连续在点在点设函数设函数xxfxxfxxfxyxxfxx 例例, 1)(3 xxf.1处不可导处不可导在在 x.,)()(. 30点不可导点不可导则则指摆动不