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1、1 方向导数的概念与物理意义1.1 方向导数的概念设为标量场中的一点，从点出发引一条射线，点是上的动点，到点的距离为。当点沿射线趋近于（即）时，比值的极限称为标量场在点处沿方向的方向导数，记作，即方向导数的数值既与点有关，也与方向有关。因此，标量场中，在一个给定点处沿不同的方向，其方向导数一般是不同的。方向导数的定义是与坐标系无关的，但方向导数的具体计算公式与坐标系有关。设方向的方向余弦是、，即，则得到直角坐标系中方向导数的计算公式为2 梯度的概念与物理意义2.1. 梯度的定义标量场在点处的梯度是一个矢量，梯度的方向是沿标场量变化率最大的方向，大小等于其最大变化率，并记作，即式中是标场量变化率

2、最大的方向上的单位矢量。2.2 梯度的计算式梯度的定义与坐标系无关，但梯度的具体表达式与坐标系有关。在直角坐标系中，若令、结合方向导数的计算公式，可得到由于是与方向无关的矢量，由上式可知，当方向与矢量的方向一致时，方向导数的值最大，且等于矢量的模。根据梯度的定义，可得到直角坐标系中梯度的表达式为2.3 梯度的物理意义3 散度的概念及性质3.1 散度的概念在分析和描绘矢量场的性质时，矢量场穿过一个曲面的通量是一个重要的基本概念，矢量场穿过闭合曲面的通量是一个积分量，不能反映场域内每一点的通量特性，而散度则表示在某点处的单位体积内散发出来的通量。设某矢量场其中、具有一阶连续偏导数，是场内的一片有向

3、曲面，是在点处的单位法向量，则叫做向量场通过曲面向着指定侧的通量(或流量，而叫做向量场的散度，记作或，即。3.2 散度的计算式散度在直角坐标系中的表达式为3.1 梯度、散度与旋度的应用3.1.1 梯度的应用1、流形上的梯度一个黎曼流形上的对于任意可微函数，的梯度是一个向量场使得对于每个向量，其中代表M上的内积（度量），而是在p点取任意点映射到在的方向导数的函数。换句话说，在某些坐标图中, 将成为：函数的梯度和外微分相关，因为。3.1.2 散度的应用奥氏公式的矢量形式：由此可以看出通量与散度之间的一种关系：穿出封闭曲面的通量，等于所围的区域上的散度在上的三重积分。由上可以推论：若在矢量场内某些点

4、（或区域）上有或不存在，而在其他的点上都有，则穿出包围这些点（或区域）的任一封闭曲面的通量都相等，即为一常数。证明：（1）在矢量场中任作两张包围在内但互不相交的封闭曲面与，分别以，为其外向法矢量。则在与所包围的区域上，处处有。因此，由奥氏公式有则有其中为矢量在的边界曲面（即由与所组成的封闭曲面）的外向法矢的方向上的投影。注意到在上与相同，而在上则与的指向相反，因此，由上式有移项即得（2）若所作的封闭曲面与相交，则在矢量场中再作一张同时包含与在其内的封闭曲面，以表其外向法矢量，则分别与，都不相交，按（1）中证明的结果有，所以亦有3.2 梯度、散度与旋度的联系标量场在空间的变化规律由其梯度来描述，而矢量场在空间的变化规律则通过场得散度和旋度来描述。矢量场散度和旋度反映

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