循环矩阵的探讨

1、.四川师范大学本科毕业论文循环矩阵的探讨学生姓名王云肖院系名称数学与软件科学学院专业名称数学与应用数学班级2011 级3班学号2011060344指导教师柏明强完成时间2015 年5月5日'.循环矩阵的探讨数学与应用数学专业学生姓名：王云肖指导教师：柏明强摘要 : 本文主要介绍了一类特殊的矩阵 -循环矩阵 .介绍了循环矩阵的概念 ,代数运算性质 ,特征值和特征向量的概念以及求法 ,对角化问题 . 关键词 : 循环矩阵 ;特征值 ;特征向量 ;对角化 .The discussion of cyclic matrixSpecialization: Mathematics and Appli

2、ed MathematicsUndergraduate: Wang YunxiaoSupervisor: Bai MingqiangAbstract ： This article mainly introduces a special kind of matrix - cyclic matrix. It introduces the concept , the algebraic operation properties, the concept of eigenvalue and eigenvector and the calculation method ,the problemof di

3、agonalization of cyclic matrix.Key words:cyclic matrix,eigenvalue,eigenvector,diagonalizable.'.目录摘要 : .I1.循环矩阵的产生背景 .12.循环矩阵的代数性质 .12.1循环矩阵的概念 .12.2循环矩阵的运算性质 .23.循环矩阵的特征值与特征向量 .53.1循环矩阵特征值与特征向量的概念以及性质.53.2循环矩阵特征值与特征向量的一般求法.63.2.1基本计算法 .63.2.2特殊法 .64.循环矩阵对角化 .74.1循环矩阵可角化的概念以及性质.74.2对角化的应用 .85.结束语

4、 .9参考文献 ：.9'.1. 循环矩阵的产生背景10循环矩阵的概念是 T Muir 在 1885 年最先提出的 , 一直到 1950 到 1955 年, Good等才对其逆 , 行列式和特征值进行研究 .循环矩阵是一种很重要的矩阵 , 在很多领域中都有广泛的应用 . 如在数理统计 , 编码理论 , 理论物理 , 固态物理 , 数学图象处理 , 分子轨道理论等方面应用很广 . 循环矩阵逆特征值问题 , 在力学振动系统设计 , 分子结构理论 , 线性多变量控制理论及数值分析等领域中也是有很广泛的应用的 . 因为循环矩阵是现代科技工程中具有广泛应用的一种特殊矩阵 , 具有很好的性质和结构

5、, 所以对于循环矩阵的研究非常活跃 .和一般矩阵相比 , 循环矩阵具有和其相似的性质 , 比如秩 , 特征值 , 特征向量等都是一般矩阵性质的重要部分 . 对于循环矩阵的研究愈加深入同时也加深了对一般矩阵的认识 , 同时对于一般矩阵的性质探索也有一定帮助 .从 1950 年提出了循环矩阵的概念以来 , 尤其是近年来 , 循环矩阵类已然成为了矩阵理论和应用数学领域中一个非常活跃的和重要的研究方向 , 许多数学工作者对它进行了大量探索 , 并且得出很多成果 . 各种新的循环矩阵概念被提出 , 已有十几种 . 如向后循环矩阵 , 循环布尔矩阵 , r-循环矩阵 ,g- 循环矩阵 , 块循环矩阵等 .

6、迄今为止 , 有关循环矩阵的理论知识还不是很完善 , 但是在实际生活中循环矩阵的应用还是很广泛的 , 因此数学工作者对循环矩阵的探索仍在进行着 . 其中对于它的逆矩阵求法是许多国家数的学工作者研究的一个重要方向 . 但是对于循环矩阵的代数性质 , 特征值 , 特征向量以及对角化问题研究的还不是很多 , 而对于这类特殊的矩阵循环矩阵来说这是基本的 .2. 循环矩阵的代数性质2.1 循环矩阵的概念定义 1 1具有如下形式的n 阶方阵的 C 称为一个 n 阶循环矩阵 ,又称轮换矩阵 ,a0a1a2L an 2an 1an 1a0a1Lan 3an 2an 2an 1a0Lan 4an 3C=MM O

7、M,MMa2a3a4La0a1a1a2a3L an 1a0显然 , C 由其首行元素唯一确定 , 简记为 C=circ(a0 1n 1).,a ,a0I n 1,称为单位循环矩阵或循环置特别地 , n 阶循环矩阵 K= circ(0,1,0, ,0)=0T1'.换矩阵或移位矩阵 .性质 1C=a0K 0+ a1 K +a2 K 2 + +an 1 K n 1 .性质 21设01 +n 1n 1,则C=f (K).f (x)= a +a x+ ax2.2 循环矩阵的运算性质性质 3设 A, B 是两个 n 阶循环矩阵 , 则 A+B 是循环矩阵 .证明设循环矩阵 A, B 为a0a1a2

8、L an 2an 1b0b1b2L bn 2bn 1an 1a0a1L an 3an 2bn 1b0b1L bn 3bn 2an 2an 1a0L an 4an 3bn 2 bn 1b0L bn 4bn 3A=, B=,MMMOMMMMMOMMa2a3a4La0a1b2b3b4Lb0b1a1a2a3L an 1a0b1b2b3L bn 1b0a0b0a1b1a2b2L an 2bn 2an 1bn 1an 1bn 1a0b0a1b1Lan 3bn 3an 2bn 2an 2bn 2an 1bn 1a0b0Lan 4bn 4an 3bn 3则 A+B=MMOMMMa2b2a3b3a4b4La0b

9、0a1b1a1b1a2b2a3b3L an 1bn 1a0b0= circ(a0+b0,a1+b1, ,an 1 +bn 1),根据定义 , 则 A+B 也为循环矩阵 .性质 4设 A, B 是两个 n 阶循环矩阵 ,则 AB 是循环矩阵 , 且 AB=BA.n1n1证明 设 A f (K )ai K i , B g(K )bj K j , 则i0j0n 1n 12n2AB ( ai K i )( bj K j )cs K s , 其中 csai bj .i 0j 0s0i j s因为 K ntK t ，其中 t 为非负整数 , 所以2 n 2n1ABcsK s(cicni ) K i , 其

10、中 c2n 1=0.s 0i0所以 AB=circ(c0 n1n+1n 22n 2 n 1 是循环矩阵.+c , c +c , , c +c, c )又因为 f (x)g(x) = g(x) f (x), 则 AB= f ( K ) g( K )g( K ) f ( K ) BA .性质 5设 A 是一个 n 阶循环矩阵 , a 是数域 P 中的一个数 , 则 aA 是循环矩阵 .'.a0a1a2Lan 2an 1an 1a0a1Lan 3an 2证明设循环矩阵 A=an 2an 1a0Lan 4an 3,则MMM OMMa2a3a4La0a1a1a2a3L an 1a0aa0aa1a

11、a2Laan2aan1aan1aa0aa1Laan3aan2B=aA=aan2aan 1aa0Laan4aan3 = circ(aa0,aa1, ,aan 1),MMMOMMaa2aa3aa4Laa0aa1aa1aa2aa3Laan1aa0故 aA 为循环矩阵 , 得证 .则 A 的转置矩阵 AT 是循环矩阵 .性质 6设 A 是一个 n 阶循环矩阵 ,a0a1a2Lan2an 1an 1a0a1Lan3an 2证明设有一个循环矩阵 A=an2an 1a0Lan4an3 , 则循环矩阵 A的MMM OMMa2a3a4La0a1a1a2a3Lan 1a0a0an 1an 2La2a1a1a0an

12、 1La3a2转置为 ATa2a1a0La4a30n 11从而结论成立=MMMOMM= circ(a ,a,a ),.an 2an 3an 4La0an 1an 1an 2an 3La1a0性质 7设 A 是一个 n 级可逆循环矩阵 , 则 A 的逆矩阵 A 1 是循环矩阵 .证明 ： 根据性质 4，两个循环矩阵 A,B 的乘积是循环矩阵 ,因而只要找到循环矩阵 B, 使得 AB=En, 问题即可解决 .n 1n 1设 Aai K i , Bb j K j , ( b0 , b1 , b2 , bn 1 为待定常数 ),则i0j0n 1AB(cicn i ) K icirc(c0cn , c1

13、cn 1 , cn 2c2n 2 , cn 1 ) ,i 0'.其中 csabij ,s=0,1,2 n 1.ijs要使得 AB=E,其必要条件是使得下列方程组成立：a0b0an 1b1an 2b2.a1bn 11a1b0a0b1an 1b2.a2 bn 10.,an 1b0an 2b1an 3b2.a0bn 10方程组可以改写为a0an 1an 2La2a1b01a1a0an 1La3a2b10a2a1a0La4a3b20MMMOMMM,Man 2an 3an 4La0an 1bn 20an 1an 2an 3La1a0bn 10显然，上述方程组的系数矩阵为循环矩阵A 的转置矩阵 ,

14、 是可逆的 , 因而根据Cramer法则，该方程组存在唯一的一组解( b0 ,b1,b2, ,从而B是唯一确定bn 1 ),的 , 即是 A 的逆矩阵 , 因此 A 的逆矩阵是循环矩阵 .推论 1设 A 为 n 阶可逆循环矩阵 , 则循环矩阵 A的伴随矩阵 A * 也是循环的 .性质 88矩阵 .性质 9阵. 即是,设 A 是一个 n 级可逆循环矩阵 , 则 A 的 Moore-Penrose逆 A +也为循环设 A, B 是两个 n 阶循环矩阵 , 则 A 与 B 的 Hadamard 积 A B 是循环矩设 A= circ(a0,a1, ,an 1), B= circ(b0,b1, ,bn

15、 1 ), 则AB= circ(a0b0,a1b1,an 1bn 1)是循环矩阵 .性质 10设 A, B 是两个 n 阶循环矩阵 , 则 A 与 B 的 Fan 积 AB 是循环矩阵 .证明设a0a1a2Lan 2an 1b0b1b2Lbn 2bn 1an 1a0a1Lan 3an 2bn 1b0b1Lbn 3bn 2an 2an 1a0L an 4an 3bn 2bn 1b0L bn 4bn 3A=, B=,MMMOMMMMMOMMa2a3a4La0a1b2b3b4Lb0b1a1a2a3Lan 1a0b1b2b3Lbn 1b0则'.a0b0a1b1a2b2La ba babLn 1

16、 n 10 01 1an 2bn 2an 1bn 1a0b0LAB=MMOMa2b2a3b3a4b4La1b1a2 b2a3b3L=circ( a0b0,a1b1, ,an 1bn 1)是循环矩阵 .an 2 bn 2an 1bn 1an 3bn 3an 2bn 2an 4 bn 4an 3bn 3MMa0b0a1b1an 1bn 1a0b03. 循环矩阵的特征值与特征向量3.1 循环矩阵特征值与特征向量的概念以及性质定义 215设A是数域P上的n阶循环矩阵则称关于 的多项式 为的特,|EA| A征多项式 , 其在复数域 C 上的根为循环矩阵 A 的特征值 .若 是 n 阶循环矩阵 A 的特征

17、值 , 那么齐次线性方程组 ( EA)X=0 的非零解则称为循环矩阵 A 的属于特征值 的特征向量 .设? 是数域 P 上线性空间 V 的一个线性变换 , 如果对于数域 P 中的一数 ，0存在一个非零向量 ,使得 ? =0 那么 0 成为?的一个特征值,而 称为?的,属于特征值 0的一个特征向量 .且循环矩阵 A 是可逆的 , 则 1 是 A 1 的性质 11设 是循环矩阵 A 的特征值 ,特征值 .证明设 1 2n1 2ni, , 为循环矩阵 A 的特征值 , 则 |A|= 0,所以 0(i=1,2, , n). 设属于循环矩阵 A 的特征值 i的特征向量为 ,则 A=i , 那么A 1,

18、则 A1 = 1 ,因为循环矩阵 A 的特征值最多只有 n 个, 所以1 是A 1的特征值 .性质 12若 是 n 阶循环矩阵 A 的特征值 , f (x)是数域 P 上的任意一个多项式 , 那么 f ( )是f (A)的特征值 .证明设 是循环矩阵 A 的特征向量 ,f ( x)mi,i =i那么 进而ai xA = ,Ai0mmmm所以 f ( A)( ai Ai )ai Aiaii(aii )f ( ) ,i 0i 0i 0i 0因此 f ( )也是 f(A)的特征值 .'.性质 13设 n 阶循环矩阵 A 每一行元素之和为a, 那么 a 必是 A 的特征值 .a0a1a2Lan

19、 2an 1an 1a0a1L an 3an 2证明设循环矩阵 A=an 2an 1a0Lan 4an 3 ,MMMOMMa2a3a4La0a1a1a2a3Lan 1a0则由题设条件可知：a0a1a2Lan 2an 11a1an 1a0a1Lan 3an 21a1an 2an 1a0Lan 4an 31= a =a1 ,MMM OMMa2a3a4La0a11a1a1a2a3L an 1a01a1所以 a 是循环矩阵 A 的特征值 .3.2 循环矩阵特征值与特征向量的一般求法3.2.1基本计算法基本步骤：1) 求出循环矩阵 A 的特征多项式f A ()EA ;2) 求出 E A =0的所有根 ;

20、3) 解齐次线性方程组i EA X=0, 其基础解系就是循环矩阵 A 的特征根i线性无关的特征向量 .3.2.2 特殊法第一步：对于单位循环矩阵K=circ(0,1,0, ,0),其特征方程为 n其特征值1,为 1,w,w2, , wn 1(其中 w cos 2i sin 2),nn第二步：由于循环矩阵 A= circ(a0 1n 1)=f(K),根据性质12,则矩阵A的,a ,a特征值为1, f(w), f(w2), , f(wn 1).第三步：设 rk=w k (k=0,1,2, ,n 1), 则属于 A 的特征值k =f (wk )的特征向量为2n 1 T1, wk , wk , , w

21、k.'.4. 循环矩阵对角化4.1 循环矩阵可角化的概念以及性质定义 3 对于 n 阶矩阵 A，如果存在 n 阶可逆矩阵 T 使得 T 1AT 为对角阵，则称 A 可以对角化 .引理任意 n 阶循环矩阵 A 在复数域 C 上都是可对角化的 .证明取 n 阶可逆矩阵111111ww2w n 1T1w 2w4w 2( n 1),n1w n1w 2( n1)w( n 1)( n1)2i1KTdiag (1,w, w2 ,L, w n1) .其中 wen(i1) 且Tn1根据 A 为 n 阶循环矩阵 ,可设 A=ai K i, 从而i01n11in 1i2 iL( n 1) iTATaiTKT

22、ai diag (1,w, w), w,i0i 0n 1n 1n 1n1diag (ai ,ai wi ,ai w2i ,L ,ai w(n 1) i )i 0i 0i 0i0diag ( f (1), f (w), f (w2 ),., f (wn1 ).推论 2任意循环矩阵 A 可以表示成 n 个循环矩阵 Ai (i=1, 2, ., n).证明 由引理,则T 1ATdiag ( 0 , 1,.,n 1) ,那么A Tdiag ( 0 , 1,., n 1 )T1=T 0E11T 1T 1E22T 1L T n 1 EnnT 1= A1A2 . An .其中 Eij是第 i 行第 j 列位

23、置元素为 1,其余为 0 的 n 级矩阵 .性质 14设 A 是数域 P 上的一个 n 阶循环矩阵 ,1 , 2 ,., t 是循环矩阵 A 的不同的特征根 , 那么存在 n 阶循环矩阵 A1 , A2 ,., At ,使得(1)A= 1A12 A2. t At ；(2)A1 A2. At=E, E 为单位矩阵；'.2(3)AiAi .证明：(1) 因为循环矩阵A 是可对角化的 , 那么就存在数域 P 上的一个 n 阶可逆1 Er10.0矩阵 D, 使得 D 1AD=02 Er.02=C,. . .00.t Ert其中 i 的重数是 ri (i= 1,2, ,t),因为Er100C=

24、10+Er2L0O2tOO00Ert1B12 B2.t Bt ,所以A DBD1D (1B12 B2.t Bt )D 1= 1 (DB1D 1) + + t ( DBt D 1) ,令 AiDBi D 1 , 则 A= 1A12 A2 .t At .由推论 2 以及性质 3 和性质 5 可知 Ai为循环矩阵 .(2)因为 Bi =diag(0,.,0, Er,0, ,0) (i= 1,2, ,t),所以 B1+B2+ +Bt =E, 进而iA1 + A2 + +At = DB1D 1DB2D 1LDBt D 1D(B1 B2L Bt )D 1 =E,所以 A1 + A2 + +A =E.t(3)A =DBi D1 , 那么 Ai2( DBi D 1 )( DBi D 1 )DBi2 D 1Ai .i4.2 对角化的应用1234例 47将循环矩阵 A 对角化 , 其中 A=4123.34122341'.0100解令 f (x) = 1+2x + 3x2 + 4x3,0010A=f A (K), 其中 K=00,011000由于i , 所以其特征值为：fA (1)=10,fA( )= 22i,fA(2) =2, fA(3)= 2+2i,111