数学建模论文cpi

1、摘要消费者物价指数，英文缩写为CPI，是反映居民生活有关的商品及劳务价格统计出来的物价变动指标，通常作为观察通货膨胀水平的重要指标。所以如何来准确计算CPI消费者物价指数显得至关重要。目前国内的CPI指数统一执行国家统计局规定的八大类体系，即食品、烟酒及用品、衣著、家庭设备用品及服务、医疗保健及个人用品、交通和通信、娱乐教育文化用品及服务、居住等八大类占的权重构成。 从CPI的计算公式可以看出，权重的取值是计算CPI的关键因素，要使计算出的CPI能够准确、客观反应物价水平，就要科学地选取权重的值。那么我们如何来取权重的值？权重与哪些因素有关呢？根据题目所给的信息以及对往年CPI的值与加权系数的

2、数据观察分析，我们假设消费结构与CPI加权系数呈线性关系。由此，我们通过Matlab来建立消费结构与CPI加权系数的关系。首先，我们需要获取几组的消费结构与加权系数的数据。为了得到加权系数，我们根据计算CPI的方程，列出多项式用Matlab求解，但是由于各类代表商品的CPI数据本身的误差较大，得出的权重误差太大，甚至有负数，由此，我们又换了另一种方法，回归分析，结果也是因为误差大二求解失败。最后，我们通过查找资料的方式，获得了几组准确的权重数据，以此来建立模型。在建立模型的时候，采用了线性回归模型，用Matlab软件求解，求出置信区间和相关系数，残差等，并画图进行残差分析，在进行多项式拟合，通

3、过图形看出消费结构与CPI权重的关系，获得相应的系数，建立近三年的线性关系模型，并与以往的数据进行验证。对于第二个问题我们收集相关数据，取最具有代表性的三年的消费结构和CPI指数进行分析，建立近几年平均的消费结构与不同收入等级的人的关系，分别对不同人群计算出CPI被低估的程度。CPI作为重要的经济指数，不仅可以让老百姓直观的评价物价的上涨程度，更重要的是有利于政府的市场的调控，便于确定货币的发行量，避免通货膨胀。为了得到较准确的CPI，需要统计具有代表性的消费品，根据不同因素的影响，确立最优的选择代表性的消费种类的方案。对此，我们对计算CPI以及CPI环比增长值得方程进行观察，转换，分析，化简

4、，得出加权系数与消费水平增长值对CPI的影响最大，然后再建立CPI，权重，消费水平增长值之间的模型。关键词：线性回归、残差、Matlab软件、最优方案一、问题的重述目前，居民消费指数（CPI）是一种度量通货膨胀水平的工具，主要反映消费者支付商品和劳务的价格变化情况。它由食品、烟酒及用品、衣著、家庭设备用品及服务、医疗保健及个人用品、交通和通信、娱乐教育文化用品及服务、居住所占的权重构成。每一类在CPI中占一定的比例，即加权数。这个加权数是在二十多年前确定的，至今没有进行根本的调整。例如，食品的加权数占三分之一左右，而以衣着、教育、住房等占的加权数相当低。二十年前这种加权数的确是合理的，因为当时

5、吃是人们主要支出，而医疗、教育、住房都有政府补贴，人们支出很少。而今社会在突飞猛进的发展，人民的生活水平高了，人们的消费结构发生了很大变化，食物的支出比例有所下降，但医疗、教育、住房等的支出大大增加了。按以前的加权数难以计算出今天的CPI，也难以反映出不同商品对人民生活的影响。所以我们需要通过搜集以往的数据解决以下问题：1、建立数学模型，分析CPI加权系数是如何随消费结构的变化而改变。2、根据建立的数学模型来判断CPI是否被低估，并且计算出不同人群对CPI低估的程度。3、从数学的角度，考虑到各种因数的影响，试确定出反映CPI具有代表性的消费种类时的最优方案。二、 问题的分析由于社会的发展，人民

6、的生活水平提高了，消费结构也发生了巨大的变化， 人们的消费结构发生了变化，这必然会影响CPI中八个种类所占得的权重，而我们现在还在使用以前的CPI权重，这样就不是很理想地反映消费者支付商品和劳务的价格变化情况以及通货膨胀的情况。但是不同收入的人对市场的反应不一样，那么就会导致CPI在不同消费结构的人们中，他们的所占得比重就不同，就会导致CPI是否被低估了呢以及政府是如何选择消费种类来计算CPI。通过上述分析，容易看出，有以下几个问题需要解决：（1）CPI加权系数在一年内是不变的，因此可以根据一年内任意八个月的CPI数据，建立八元一次方程组，求解出八类商品所对应的加权系数。（2）根据收集以往的消

7、费结构和CPI加权系数，确定出CPI的权重与消费结构的变化关系。（3）建立数学关系，求出他们的相关系数，与原始数据进行验证。（4）收集数据，确定不同收入的人群他们的消费结构如何，主要消费在哪些方面，由于消费种类的差异，不同的消费人群对政府公布的CPI表示怀疑，绝大多数人认为政府公布的CPI明显被低估了。建立数学模型，定量说明不同人群认为CPI被低估的程度。（5）由于统计部门在统计不同种类的商品时是确定了某些代表性的商品，而这些商品并不是永远具有代表性，这就可能导致调查结果不能准确的反映实际情况，无法对CPI进行较准确的计算。因此，在不同的时期，应该有不同的代表商品，使统计的CPI更能反映真实的

8、情况。根据不同情况确立优化方案。三、 问题的假设1、假设加权系数在一年之内基本不变化。2、假设加权系数之和等于1，而不是实际的大于或等于1.3、假设在一年内不出现任何的天灾人祸（金融危机、地震），出现市场抢购等现象，导致消费结构紊乱。4、假设统计的消费品中的代表商品在这段时间内仍然具有代表性。四、 符号说明: 表示食品类的加权系数；：表示衣着类的加权系数；：表示家庭设备用品及服务类的加权系数；：表示医疗保健及个人用品类的加权系数；：表示交通和通信类的加权系数；：表示娱乐教育文化及用品类的加权系数；：表示居住类的加权系数；：表示烟酒及用品类的加权系数；A: 表示食品类价格指数；B：表示衣着类价格

9、指数；C: 表示家庭设备用品及服务类价格指数；D: 表示医疗保健及个人用品类价格指数；E: 表示交通和通信类价格指数；F: 表示娱乐教育文化及用品类价格指数；G: 表示居住类价格指数；H: 表示烟酒及用品类价格指数；a: 表示食品类月增长量；b: 表示衣着类月增长量；c: 表示家庭设备用品及服务类月增长量；d: 表示医疗保健及个人用品类月增长量；e: 表示交通和通信类月增长量；f: 娱乐教育文化及用品类月增长量； g: 居住类月增长量；h: 烟酒及用品类月增长量；:代表消费结构；bint：回归区间估计和置信区间r：残差atats：（r2，F，P）r2：相关系数F：FF(K,n-k-1)时拒绝H

10、，H越大，方程越显著P:P syms a b c d e f g h ieq1=99.6*a+99.5*b+98.7*c+98.1*d+100.5*e+99.5*f+108.8*g=101.2-102.5*h;eq2=101.3*a+99.6*b+98.0*c+97.7*d+100.3*e+98.9*f+109.6*g=101.6-101.6*h; eq3=101.7*a+99.6*b+98.2*c+97.7*d+100.3*e+99.3*f+109.4*g=101.7-101.2*h; eq4=101.0*a+99.5*b+98.3*c+97.8*d+100.0*e+99.6*f+109.1

11、*g=101.4-101.0*h; eq5=101.5*a+99.5*b+98.2*c+97.8*d+99.9*e+99.3*f+108.9*g=101.5-100.7*h;eq6=100.2*a+99.6*b+97.7*c+97.7*d+99.7*e+99.3*f+108.8*g=101.0-100.5*h;eq7=100.3*a+99.9*b+98.0*c+97.6*d+99.6*e+99.0*f+101.9*g=99.9-99.7*h;eq8=a+b+c+d+e+f+g=0.04+1-h;a,b,c,d,e,f,g,h,=solve(eq1,eq2,eq3,eq4,eq5,eq6,eq7

12、,eq8)a=eval(a)b=eval(b)c=eval(c)d=eval(d)e=eval(e)f=eval(f)g=eval(g)h=eval(h)结果：b =-3.7299294072382672989904565946520结果分析：CPI加权系数里面出现了负值，说明计算方法可能出现了问题。经分析，主要由于公布的价格指数精度不够，这种方法理论上可行，但实际却得不到理想的结果。查询数据，得到2005年、2006年、2009年的CPI加权系数。2005年0.34 0.09 0.14 0.06 0.10 0.13 0.10 0.04 ；2006年0.332 0.091 0.06 0.10

13、0.104 0.142 0.132 0.039 ；2009年0.336 0.09 0.04 0.11 0.09 0.145 0.136 0.05 ；（二）CPI加权系数是如何随消费结构的变化而改变1、通过查找资料的方式获得2005年八大类商品的消费结构比例及其权重，（1）通过分析建立如下回归分析程式：y=36.52 10.47 10.02 6.42 6.98 13.72 12.01 3.87;X=0.34 0.09 0.14 0.06 0.10 0.13 0.10 0.04 ; x=ones(8,1),X; b,bint,r,rint,stats=regress(y,x,0.05); b,bi

14、nt,stats rcoplot(r,rint)计算结果如图所示：通过对计算结果的数据分析得出以下结论：当=0.05，可以获得两个值： 即线性回归方程为：bint： -5.2208 3.3812 79.3843 135.9785atats：（r2，F，P），说明相关性很强F：F=86.7031,FF(K,n-k-1),拒绝H，方程显著P:P=0.0001y=35.78 10.37 5.73 7.14 13.19 13.83 10.40 3.56;=0.332 0.091 0.06 0.10 0.104 0.142 0.132 0.039 ; x=ones(8,1), ; b,bint,r,ri

15、nt,stats=regress(y,x,0.05); b,bint,stats rcoplot(r,rint)计算结果如图所示：(见附件1)通过对计算结果的数据分析得出以下结论：当=0.05，可以获得两个值： 即获得线性回归方程为：bint： -4.4632 2.1631 87.2359 131.1646atats：（r2，F，P），说明相关性很强F：F=147.9951,FF(K,n-k-1),拒绝H，方程显著P:P=0.0000y=36.69 10.08 5.62 7.56 12.55 13.82 10.18 3.50;=0.336 0.09 0.04 0.11 0.09 0.145 0

16、.136 0.05 ; x=ones(8,1), ; b,bint,r,rint,stats=regress(y,x,0.05); b,bint,stats rcoplot(r,rint)计算结果如图所示：数据分析：当=0.05，可以获得两个值： 即获得回归方程：bint： -4.5753 2.743183.3017 131.3755atats：（r2，F，P）,说明相关性很强F：F=119.3963,FF(K,n-k-1),拒绝H，方程显著P:P=0.00000.05=，此时拒绝H，回归成立。（2）通过函数rcoplot(r,rint)获得残差分析图如下所示：从残差图可知，除了第三组，其余数

17、据的残差离零点较近，且残差的置信区间也包含零点，这说明回归模型能较好地符合原始数据，而第三组数据可以认为是异常点。总之，通过对以上数据的回归分析，我们可以得出：权重与消费结构呈一次线性关系。变化关系为（三）计算被低估的程度通过前面建立的消费结构与CPI权数之间的关系，我们取几年的数据进行分析，建立2005年的CPI加权系数与消费结构的关系；2006年的CPI加权系数与消费结构的关系；2009年的CPI加权系数与消费结构的关系；通过三年数据的对比，求出平均CPI加权系数与消费结构的关系;根据数据建立2010年不同收入人群消费结构分类表:2010年11月实际CPI指数如下表：根据以上数据计算出不同

18、人群对CPI指数的低估程度，（1）低收入人群CPI低估的程度（2）中等收入人群CPI低估的程度(3)高等收入人群CPI低估的程度通过以上分析说明：低收入人群被低估的程度为19.6%中等收入人群被低估的程度为5.9%高收入人群被低估的程度为-23.5%（说明高收入的人群认为CPI被高估了）（四）消费种类最优方案CPI是对价格变动趋势及程度和城乡居民实际生活费支出的影响程度的指标。从CPI 的计算公式看出，；为了使计算出的CPI准确灵敏的反映出总体物价变化水平，从环比的计算公式可以看出，环比指数由加权系数和环比物价增长值（）决定。用 表示CPI变化的灵敏度，定义为：由此可见CPI变化的灵敏度与各类消费品的加权系数（）和其月增长系数（）有关。所以我们在确定最优消费种类的时候我们可以根据灵敏度得大小来决定，灵敏度越大，那么它的可靠性就越高，越能够代表市场的物价水平；反之，则否。六、 模型的检验与评价（一） 模型的检验1、 由上文可知CPI加权系数与消费结构的关系是，2010年的居民平均消费结构如下表：根据此表我们可