高等数学模拟卷1解答

1、高等数学模拟卷1 解答一 单项选择题（本大题共10 小题，每小题2 分，共20 分），在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内错选、多选或未选均无分1、 A ；2、 D； 3、 D； 4、 A； 5、 D； 6、 B； 7、 C； 8、 C； 9、D ； 10、 B；。二填空题（本大题共6 小题，每小题 3 分，共 18 分），请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分 11 612 cot( xy)( ydx xdy)13 ex cos y14 4( x2) 4( y 2) ( z 1)015216.8三计算题（本大题共8 小题，每小题6 分，共

2、48 分）17求点 M (1,1,1)在平面: x2yz 2上的投影解: 过 M 垂直于平面的直线为 x1y1z1121x1t1参数方程为y12t , 代入平面, 得到 t3z1t投影为(4,1,4)33318设 zf ( y )g( x2y 2 , xy) ， f ， g 可微，求z ， z xxy解 :zy2 f ' 2xg1 ' yg 2 'xxz1 f ' 2 yg1 ' xg2 'yx19设 zz( x, y) 是由方程 ezxy yz所确定的隐函数，求dz F xy zzxyyz解设e(, ,)Fy ,Fx z ,FezyxyzzFx

3、yzFyxzxFzezy,ezyFzyydx ( xz)dydzezy20计算二重积分D 1x2 2y2 2 dxdy ，其中 D 是由曲线 x2y21所围成的有界闭区域xy解 : 设 xcos, ysinx2y221D 1 x 2y2 dxdy0d0 12 d112(112 )d012(arctg) 02(1)411sin x3dx 21计算二次积分dyy0111x2sin x3dydysin x3dxdx00y01 x2 sin x3 dx01 1 sin x3dx33 011 cosx 3301 cos1322计算三重积分( x2y 2)dv ，其中是由曲面 x2y2z2及平面 z1所围

4、成的闭区域解 :( x 2y2 )dv2112 dzdd0013 (1)d204512()4501023 计算曲线积分( ex y 2x 22 y ) dx( 2 e x y2 xy 2 ) dy，其中 L 是由点LA(4,0) 到点 O (0,0) 的上半圆周y4 x x2解 :添加直线段OA，在由 L与 OA构成的闭合曲线上运用格林公式：P( x, y) ex y2x22 y , Q( x, y) 2ex y 2x y2 ， Q P4xy(ex y 2x22 y)dx(2ex y2xy2 )dy(QP )dxdy4dxdy 8,L OADxyD(ex y2x22 y)dx ( 2ex y

5、2x y2 )dy42dxx3464xOA0303( ex y 2x22 y)dx(2ex y2xy 2 ) dyL OAOA864L324计算( xyz1) dydz( yz 1) dzdx( z1) dxdy ， 其 中是上半球面z 1 x2 y2 的上侧解 : 添加辅助曲面1 ： z0， x2y2R2 ，取下侧 .设 P( x, y, z)x yz 1 ,Q ( x, y, z) y z 1 , R( x, y, z) z 1PQRxyz3在由和1 所围成的空间闭区域上应用高斯公式得( xyz1)dydz( yz1) dzdx(z1)dxd y 3dxdydz3 142123又 ( xy

6、z1)dydz( yz1) dzdx( z1)dxdydxdy,11因为1取下侧 .所以( xyz 1)dydz( yz 1)dzdx( z 1) dxdy311四应用与证明题（本大题共2 小题，每小题7 分，共 14 分）25求由曲面 z3x2y 2及 z2x2y 2所围成的立体的体积解 :z 3 x 2y2, 可得 x2y 23(舍去)或者x 2y21z 2 x2y2两个曲面的交线在xoy 面上的投影区域为D( x, y ) | x2y212132Vdxdydzddz0d201(322 )d2132 2 ) d2(3002 ( 3242 317)2430626已知平面区域D( x, y) |0 x,0y，L为D的正向边界，试证：yesin xdxxe sin ydyLye sin xdxxesin y dy L证 :由格林公式 :yesin x dxxe sin y dy(xe sin y )( yesin x ) )dxdyLDxy(e sin yesin x )dxdyDye sin xdxxesin y dy(xesin y )( ye sin x ) )dxdyLDxy(esin ye sin x )dxdyD又区域 D( x, y