2001年考研数学二试题及答案

1、WORD格式超级狩猎者2001年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题此题共5小题，每题3分，总分值15分把答案填在题中横线上13xlim2x1xx12x_【答案】26【考点】洛必达法那么【难易度】【详解】解析：方法一：3x1x2(1x)111limlimlim2xxxxxxxx1112(1)(2)312xx226.方法二：使用洛必达法那么计算1111limx1231xx3x22222x21limxx12x12x362.2xxye所确定，那么曲线yf(x)在点(0,1)处y2设函数yf(x)由方程ecos()1的法线方程为_【答案】x2y20【考点】隐函数的导数、平面曲线的法线【难

2、易度】【详解】解析：在等式2cos()1xyexye两边对x求导,得2xy(2')sin()(')0,eyxyyxy将x0,y1代入上式,得y'(0)2.故所求法线方程为11,yx即x-2y+2=0.23223(xsinx)cosxdx2_2专业资料整理WORD格式超级狩猎者【答案】8【考点】定积分的换元法【难易度】【详解】解析：由题干可知，积分区间是对称区间，利用被积函数的奇偶性可以简化计算.在区间,22上,xx是奇函数,3cos23cos222sinxcosx是偶函数,故132232222222xsinxcosxdxxcosxsinxcosxdxsin2xdx422

3、21822(1cos4x)dx.81y4过点(,0) 且满足关系式1y arcsinx的曲线方程为_221x【答案】yarcsinxx12【考点】一阶线性微分方程【难易度】【详解】解析：方法一:原方程yy'arcsinx121x可改写为'yarcsinx1,两边直接积分,得yarcsinxxC又由1y()0,解得2C12.故所求曲线方程为：1yarcsinxx.2方法二:将原方程写成一阶线性方程的标准形式11y'y.2arcsinx1xarcsinx解得专业资料整理WORD格式超级狩猎者11dxdx1221xarcsinx1xarcsinxyeCedxarcsinx1l

4、narcsinxlnarcsinxeCedxarcsinx1arcsinx(Cx),又由1y()0,解得2C12.故曲线方程为：1yarcsinxx.2a11x115设方程1a1x21有无穷多个解，那么a_11ax32【答案】2【考点】非齐次线性方程组解的判定【难易度】【详解】解析：方法一:利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形,有a11111a2A1a110a11a3211a201a1a12a11a20a1a13,00a1a22a2可见,只有当a =- 2时才有秩r(A)r( A)23,对应方程组有无穷多个解.方法二:当系数矩阵的行列式不为零时,方程组有唯一解,因此满足题设条件的a一定使系数行列式

5、a11为零,即有21a1(a2)(a1)0,解得a2或a1.11a由于答案有两个,应将其带回原方程进展检验.显然,当a1时,原方程无解,因此只能是a2.二、选择题此题共5小题，每题3分，总分值15分每题给出的四个选项中，只有一专业资料整理WORD格式超级狩猎者项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内1设1,|x|1,f(x)那么fff(x)等于0,|x|1,A0B1C1,0,|xx|1,1.D0,1,|xx|1,1.【答案】B【考点】复合函数【难易度】【详解】此题涉及到的主要知识点：复合函数中，内层函数的值域是包含于外层函数的定义域。解析：由题易知f (x)1，所以ff(x)1，fff

6、(x)f(1)1，选B.22设当x0时，(1cosx)ln(1x)是比nxsinx高阶的无穷小，而nxsinx是比2x(e1)高阶的无穷小，那么正整数n等于A1B2C3D4【答案】B【考点】无穷小量的比拟【难易度】【详解】解析：由题易知:limx0limx01n(1cosx)ln(1nxsinx122 2x xnx xn 43limx02x)124x1nx00limx0limx01nnxxsin2xe1nx2x2xn10limx01n2xx03曲线y(x1)x的拐点个数为2(3)2(3)2A0B1C2D3【答案】C【考点】函数图形的拐点专业资料整理WORD格式超级狩猎者【难易度】【详解】解析：

7、y2(x1)(x23)2(x3)(x21)y2(x23)4(x1)(x3)4(x3)(x1)2(x21)2(x23)8(x1)(x3)2(x1)2y4(x3)8(x3)8(x1)4(x1)24(x2)由y0得，x1或x3，带入y0，故f(x)有两个拐点.4函数f(x)在区间(1,1)内具有二阶导数，f(x)严格单调减少，且f(1)f(1)1，那么A在(1,1)和(1,1)内均有f(x)xB在(1,1)和(1,1)内均有f(x)xC在(1,1)内，f(x)x，在(1,1)内，f(x)xD在(1,1)内，f (x)x，在(1,1)内，f(x)x【答案】A【考点】函数单调性的判别【难易度】【详解】解

8、析：令F(x)f(x)x，那么F(x)f(x)1，因为在区间(1,1)上，f(x)严格单调减少，所以当x(1,1)时，F(x)f(1)10，F(x)单调递增，F(x)F(1)f(1)10；当x(1,1)时，F(x)f(1)10，F(x)单调递减，F(x)F(1)f(1)10；故在(1,1)和(1,1)内均有F(x)0，即f(x)x.5设函数f(x)在定义域内可导，它的图形如下列图所示，那么其导函数yf(x)的图形为专业资料整理WORD格式超级狩猎者【答案】D【考点】函数单调性的判别【难易度】【详解】解析：由图可知f(x)有两个极值点，横坐标分别记作,()x1xxx，故f(x)在212且仅在这两

9、处的值为0，应选D。其中，当x0时，f(x)先增后减再增，故f(x)先正再负再正，进一步排除B.三、此题总分值6分求dx2x(2x1)21【考点】不定积分的第二类换元法【难易度】【详解】解析：设xtanu,那么dxsec2udu,原式ducosudu222(2tanu1)cosu2sinucosudsinu2sinu1arctan(sinu)Cxarctan()21xC专业资料整理WORD格式超级狩猎者四、此题总分值7分xsint求极限txlimsinsin，记此极限为f(x)，求函数f(x)的连续点并指出其类型()tsinxx【考点】两个重要极限、函数连续点的类型【难易度】xsinxsint

10、sinxxxsintsint【详解】解析：f(x)xsint1)sintsinxsinxsintsinxsinsinxlim()lim(1ettxsinxxsinx由此表达式知x0及xkk±1，±2，都是fx的连续点x由于lim()limesinexfx，所以x0是fx的可去或第一类连续点；而x0x0xkk±1，±2，均为第二类或无穷连续点五、此题总分值7分设(x)是抛物线yx上任一点M(x,y)(x1)处的曲率半径，ss(x)是该抛物线上介于点A(1,1)与M之间的弧长，计算32d2dsd(ds2)的值在直角坐标系下曲率公式|y|为)K3(1y22)【

11、考点】曲率半径、定积分的几何应用平面曲线的弧长、由参数方程所确定的函数的导数【难易度】11"【详解】解析：y',y,32x4x抛物线在点M(x,y)处的曲率半径32231(1y')1(x)(4x1).2Ky"2抛物线上AM的弧长1xx2ss(x)1y'dx1dx.11x4故32d13(4x1)4ddx226.xdsds11dxx4专业资料整理WORD格式超级狩猎者2ddd1616(). 2dsdsdxdsxx21141dxx4因此23dd16223()314x36x9.2dsds214x六、此题总分值7分设函数f(x)在0,)上可导，f(0)0，且其

12、反函数为g(x)假设0f(x)g(t)dt2xxe,求f(x)【考点】积分上限的函数及其导数、一阶线性微分方程【难易度】f(x)【详解】此题涉及到的主要知识点：()d()()gttgfxfx0解析：等式两边对x求导得：xx2exg(f(x)f(x)2xe，又因为g(x)是f(x)的反函数，故g(f(x)x，所以有xxexf(x)2ef(x)x)()xxxx(2exedxeexedxxexxeC又因为f(x)在x0处连续，由limf(x)1Cf(0)0x0得C1xxex故f(x)e1.七、此题总分值7分x设函数f(x)，g(x)满足f(x)g(x),g (x)2ef(x)，且f(0)0，g(0)

13、2，求g(x)f(x) 02dx.()1x(1x)【考点】自由项为指数函数的二阶常系数非齐次线性微分方程、定积分的分部积分法【难易度】x【详解】解析：因为f(x)g(x),g (x)2ef(x)x，所以f(x)2ef (x)专业资料整理WORD格式超级狩猎者其对应的齐次微分方程为f(x)f(x)02特征方程为r10，ri所以齐次微分方程的通解为f(x)CcosxCsinx12设非齐次微分方程的特解为*x，那么f*(x)Cex,f*(x)Cex,代入微分方程得f(x)CeC1，所以非齐次微分方程的通解为xf(x)C1cosxC2sinxe，又f(0)0,g(0)f(0)0,xf(x)C1sinx

14、C2cosxe,得1,1C1C,2故f(x)cosxsinxxe求积分：0g(x)1xf(1(x)x)2dx011df (x)fx0(x)d(11x)0df1(x)xf (x)f()f(0)1e.11x110 0八、此题总分值9分设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x,y)(x0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线1在y轴上的截距，且L经过点(,0).21试求曲线L的方程；2求L位于第一象限局部的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小【考点】齐次微分方程、平面曲线的切线、函数的最大值与最小值【难易度】【详解】解析：1设曲线L过点P(x,y)的切线方程为Yyy(Xx)，令X0,得切

15、线在y轴上的截距Yyxy22由题设知xyyxy，专业资料整理WORD格式超级狩猎者u令y2xux,那么此方程可化为1.u别离变量得dd,ux2x1u2积分得ln(u1u)ln xlnC2y2C，即yx.代入条件y0得1x21C，于是得L的方程212y2yx,即212yx.41212曲线L)yx(0x在点(x,y)处的切线方程为4212xXx)2(),Y(x即412Y2xXx.4121它在x轴与y轴上的截距分别为)(x2x4与12x4111112x2x2所围面积(2)d,Sx).(x)(2402x411111122222令)0S(x)2xx.x2(x)2x(x)()(324x444x441得S(

16、x)在0,内的唯一驻点23x,6易知3x是最小值点6331由此，所求切线为Y2X,即636431yx.33九、此题总分值7分一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例常数K0假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，半径为r的雪堆在开场融化的3小时内，融化了其0体积的78，问雪堆全部融化需要多少小时？【考点】导数的物理意义、微分方程初始条件的概念【难易度】【详解】解析：设雪堆在t时刻的体积23Vr，侧面积322r，雪堆半径rr(t)专业资料整理WORD格式超级狩猎者dV由题设知kSdt，drdr2kr2所以有2,2r即k.dtdt积分得rktC又由rt0r，有Cr0，于是rr0

17、kt 0又由1V|t3V|，即t0823r121330tr0(r，得kr0，从而(6).3k)r06836令r0得雪堆全部融化所需时间为t6小时十、此题总分值8分设f(x)在区间a,a(a0)上具有二阶连续导数，f(0)0，1写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；a a3ffxx 2证明在a,a上至少存在一点，使()3()d.a【考点】泰勒中值定理、介值定理【难易度】【详解】解析：1对任意xa,a，f()f()22f(x)(0(0xx其中在0与x之间f)f)xf(0)x，2!2！x2令F(x)f (t)dt0，那么F(x)在a,a具有三阶连续导数，其二阶麦克劳林展开式为FF(0)F(

18、)23(x)F(0)F(0)xxx2!3!0f(0)xf(0)2!f()f(0)f()2x323xxx,3!2!3f0)f()f(0)()(2faaa23312所以F(a)aa，F(a)a，(201)2!3!2!3!3a3ffaa()()12又f(x)dxF(a)F(a)f()f()，·3！3212a1由于f()()介于f(1)和f(2)之间，由介值定理知存在a,a ，使得1f221f()f(1)f(2)，23aa那么有()f(x)dxf3a.十一、此题总分值6分专业资料整理WORD格式超级狩猎者100011A110,B101，且矩阵X满足AXABXBAXBBXAE， 矩阵11i110其中E是