难点04三个“二次”及关系doc

1、难点 4三个“二次”及关系三个“二次” 即一元二次函数、一元二次方程、 一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具.高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关.本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法.难点磁场2已知对于x 的所有实数值，二次函数f(x)=x 4ax+2 a+12(a R)的值都是非负的，求关于 x 的方程x=|a 1|+2的根的取值范围 .a2案例探究例1已知二次函数2和一次函数g(x)= bx，其中a 、 b、 c 满足f(x)=ax +bx+ca>b>c

2、,a+b+c=0,( a,b,c R).(1)求证：两函数的图象交于不同的两点A、 B；(2)求线段 AB 在 x 轴上的射影A1B1 的长的取值范围.命题意图：本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力.属于题目.知识依托：解答本题的闪光点是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合.错解分析：由于此题表面上重在“形”，因而本题难点就是一些考生可能走入误区，老是想在“形”上找解问题的突破口，而忽略了“数”.技巧与方法：利用方程思想巧妙转化.(1)证明：由yax2bxc 消去 y 得 ax2+2bx+c=0ybx2222c23 2=4b 4ac=4( a c) 4ac=4( a +a

3、c+c )=4 (a+)c 24 a+b+c=0,a>b>c, a>0,c<032>0,即两函数的图象交于不同的两点 .4c >0,(2)解：设方程 ax2+bx+c=0 的两根为 x1 和 x2,则 x1+x2=2b,x1x2= c .aa|A1B1|2=(x1 x2 )2=(x1+x2)2 4x1x2(2b) 24c4b24ac 4(a c) 24acaaa 2a24( c ) 2c14( c1 ) 23aaa24 a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0 a>a c>c,解得 c ( 2, 1 )a2 f ( c

4、)4( c ) 2c1 的对称轴方程是c1.aaaa2c ( 2, 1 )时，为减函数a 2 |A1B1|2 (3,12), 故 |A1B1 |(3,23 ).例 2已知关于x 的二次方程2x +2 mx+2m+1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间( 1， 0)内，另一根在区间(1， 2)内，求 m 的范围 .(2)若方程两根均在区间(0， 1)内，求 m 的范围 .命题意图：本题重点考查方程的根的分布问题，属级题目.知识依托：解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义.错解分析：用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨是解答本题的难点 .技巧与方法： 设出二次方

5、程对应的函数， 可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制 .解：(1) 条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1 与 x 轴的交点分别在区间 ( 1， 0)和 (1，2) 内，画出示意图，得m1f ( 0)2m10,2mR,f ( 1)20,1 ,f (1)4m20,mf ( 2)6m5025m65 1 m.6 2f (0)0,f (1)0,(2)据抛物线与x 轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组0,0m1m 1 ,2m 1 ,2m12或 m 1 2,1m0.(这里 0<m<1 是因为对称轴x=m 应在区间 (0， 1)内通过 )锦囊妙计1.二次函数的基本性质(1)二次函

6、数的三种表示法：y=ax2+bx+c;y=a(x x1)( xx2);y=a(x x0)2 +n.(2)当 a>0,f(x)在区间 p,q上的最大值M，最小值m,令 x0= 1(p+q).2若b <p,则 f(p)=m,f(q)=M;2a若 pb <x0,则 f( b )=m,f(q)= M;2a2a若 x0 b <q,则 f(p)=M,f( b )=m;2a2a若b q,则 f(p)=M,f(q)=m.2a2.二次方程f(x)=ax2+bx+c=0 的实根分布及条件.(1)方程 f(x)=0 的两根中一根比r 大，另一根比r 小a· f(r)<0;b2

7、4ac0,(2)二次方程f(x)=0 的两根都大于br ,r2aa f ( r )0b 24ac 0,pbq,(3)二次方程2af(x)=0 在区间 (p,q)内有两根af (q)0,af ( p)0;(4)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内只有一根f( p) · f(q)<0, 或f(p)=0( 检验 )或f(q)=0( 检验 )检验另一根若在(p,q)内成立 .(5)方程 f(x)=0 两根的一根大于a f ( p) 0p,另一根小于 q( p<q).a f ( q)03.二次不等式转化策略2的解集是： ( , ) ,+ )a<0 且(1) 二次不等 式 f

8、(x)=ax +bx+c 0f( )=f( )=0;(2)当 a>0 时， f( )<f( )| +bbb|<| +|,当 a<0 时， f( )<f( ) | +|>2a2a2ab| +|;b(3) 当a>0 时 ， 二 次 不 等 式 f(x)>0 在 p,q 恒 成 立 2a p, 或 f ( p) 0,pbq,bp;2a或2af (b ) 0,f ( q) 0;2a(4)f(x)>0 恒成立a 0,或 ab 0, f ( x) 0恒成立a 0,或 ab 00,c0;0, c0.歼灭难点训练一、选择题1.( )若不等式 (a2)x2+

9、2( a 2)x 4<0 对一切 x R 恒成立，则a 的取值范围是()A.( ,2 B. 2,2 C.( 2,2 D.( ,2)2.( )设二次函数f(x)=x2 x+a(a>0), 若 f(m)<0,则 f( m 1)的值为 ()A. 正数B.负数C.非负数D.正数、负数和零都有可能二、填空题3.( )已知二次函数f(x)=4 x2 2(p 2)x 2p2 p+1,若在区间1， 1内至少存在一个实数c,使 f(c)>0, 则实数 p 的取值范围是 _.4.( )二次函数 f(x)的二次项系数为正，且对任意实数x 恒有 f(2+x)= f(2 x),若f(1 2x2)

10、<f(1+2x x2), 则 x 的取值范围是 _.三、解答题tlog ay(a>0且 a 1)5.( )已知实数 t 满足关系式 log a3a3(1)令 t= ax,求 y=f(x)的表达式；a(2)若 x (0,2 时， y 有最小值8，求 a 和 x 的值 .6.( )如果二次函数y=mx2+(m 3)x+1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求 m 的取值范围 .7.( )二次函数2满足pqrf(x)=px +qx+r 中实数 p、q、 rm 2m=0,其中1 mm>0, 求证：m)<0;(1)pf(m1(2)方程 f(x)=0 在(0， 1)内

11、恒有解 .8.( )一个小服装厂生产某种风衣，月销售量 x(件 )与售价 P(元 /件 )之间的关系为P=1602x,生产 x 件的成本 R=500+30x 元 .(1)该厂的月产量多大时，月获得的利润不少于1300 元？(2)当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？参考答案难点磁场解：由条件知 0,即 ( 4a） 24(2a+12) 0, 3 a 22(1)当3 a 1 时，原方程化为： x=a2+a+6, a2+a+6= (a1)2 +25.224 a= 3 时， xmin= 9 ,a= 1 时， xmax= 25 .2424 9 x 25 .44(2)当 1 a 2 时， x

12、=a2+3a+2=( a+ 3 )2 124当 a=1 时， xmin=6, 当 a=2 时， xmax=12, 6 x12.综上所述 , 9 x 12.4歼灭难点训练一、 1.解析：当a 2=0 即 a=2 时,不等式为 4 0,恒成立 . a=2,当 a2 0 时，则a满足a 2 0,解得 2 a 2,所以 a 的范围是 2 a2.0答案： C2.解析： f( x)=x2 x+a 的对称轴为 x= 1,且 f(1)>0, 则 f(0)>0, 而 f(m)0, m (0,1),2 m 1 0,f(m 1)>0.答案： A二、 3.解析：只需f(1)= 2p2 3p+9>

13、;0 或 f( 1)= 2p2 +p+1>0 即 3 p 3 或 1 p22 1. p ( 3, 3 ).2答案： (3， 3 ）24.解析：由f(2+x)=f(2 x)知 x=2 为对称轴，由于距对称轴较近的点的纵坐标较小， |1 2x2 2| |1+2x x2 2|, 2 x 0.答案： 2 x 0三、 5.解： (1）由 logaty 得 log at 3=log t y 3log t aa3log t a 3xlog a y3,由 t=a知 x=log at，代入上式得 x 3=xx logay=x2 3x+3，即 y=a x23x 3(x 0).2323u(2)令 u=x 3x

14、+3=( x2) +(x 0),则 y=a4若 0 a 1,要使 y=au 有最小值8，则 u=(x323在 (0， 2 上应有最大值，但u 在 (0， 2 上不存在最大值 .2) +4若 a>1,要使 y=au 有最小值8，则 u=( x 3)2+3,x (0,2 应有最小值24当 x= 3 时， umi n =33,ymi n= a 4243由 a 4 =8 得 a=16.所求 a=16,x= 3 .26.解： f(0)=1>0(1)当 m0 时，二次函数图象与x 轴有两个交点且分别在y 轴两侧，符合题意.0(2）当 m>0 时，则 3 m解得 0 m 1m0综上所述，

15、m 的取值范围是 m|m 1 且 m 0.7.证明： (1) pf ( m)p p(m) 2q(m)r m1m 1m1pmpmqr pmpmp(m 1) 2m 1 m( m 1) 2m2p 2m m( m2) (m1)2( m1) 2 ( m2)pm21,由于 f(x)是二次函数，故p 0,又 m>0, 所以， pf(m) 0.( m 1) 2 ( m 2)m1(2)由题意，得 f(0)= r ,f(1)= p+q+r当 p 0 时，由 (1）知 f(m) 0m1若 r>0, 则 f(0)>0, 又 f(m) 0,所以 f(x)=0m)内有解 ;在 (0，m 1m 1若 r 0,则 f(1)= p+q+r=p+(m+1)=( prpr2)+ r =>0,mmm2 m又 f(m)0,所以 f(x)=0在 (m,1)内有解 .m1m1当 p 0 时同理可证 .8.解： (1）设该厂的月获利为