小博士私塾精品班辅导数学讲义八年级

1、心之所向，所向披靡辅导讲义学员编号(4学员姓名：号)：年级：初二第课时辅导科目：数学教师：张金磊课题初二知识点回顾授课时间：备课时间：7月13日教学目标对初二知识点进行熟悉，要求树立知识体系。重点、难点从十二章到二十章均为重点、难点。难度系数非常大。考点及考试要求因为其在中考中的支柱地位，必须要求学生熟练掌握。教学内容第12章数的开方(重点)1.平方根(1)如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根。(2)一个正数后两个平方根，它们互为相反数。其中正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作,读作“根号a”，另一个平方根是它的相反数，即Q因此，正数a的平方根可以记作、七。a称为被开方数

2、。0的平方根只用一个，就是0,记作/00。负数没有平方根。a0(a0)(3)求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。2.立方根(1)如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根。(2)求一个数的立方根的运算，叫做开立方。(3)数a的立方根，记作Wa，读作“三次根号a"，其中a称为被开方数，3称为根指数。(4)任何数(正数、负数、0)都有立方根，并且只什-个。正数有一个正的立方根。负数有一个负的立方根。0的立方根是0。1 .无理数无限不循环小数叫做无理数。2 .实数有理数和无理数统称为实数。3 .实数与数轴上的点对应。第13章整式的乘除(重点)1 .哥的运算(1)同底数塞相乘，底数

3、不变，指数相加。amanamn(m、n为正整数)(2)哥的乘方哥的乘方，底数不变，指数相乘。amnamn(m、n为正整数)积的乘方积的乘方，等于把积中每一个因式分别乘方，再把所得的哥相乘。abnanbn(n为正整数)(4)同底数哥的除法同底数哥相除，底数不变，指数相减。(m、n为正整数，m>n,a0)2 .整式的乘法(1)单项式与单项式相乘将它们的系数、相同字母的哥分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。(2)单项式与多项式相乘将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。(3)多项式与多项式相乘先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项

4、，再把所得的积相加。(a+b)(m+n)=am+bm+an+bn3 .乘法公式(1)平方差公式：两数和乘以这两数的差，等于这两个数的平方差。ababa2b2(2)完全平方公式：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去)这两数积的2倍。ab2a22abb2ab2a22abb24 .整式的除法(1)单项式除以单项式把系数、同底数哥分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。(2)多项式除以单项式先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。5 .因式分解(1)把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。(2)公因式：多项式

5、ma+mb+mc中的每一项都含有一个相同的因式m,我们称之为公因式。(3)提取公因式法：把公因式提出来，多项式ma+mb+mc就可以分解成两个因式m和(a+b+c)的乘积，这种因式分解的方法，叫做提取公因式法。(4)公式法：将乘法公式反过来用，对多项式进行因式分解的，这种因式分解的方法成为公式法。十字相乘法：x2(ab)xab=(xa)(xb)(a、b是常数)公式特点：1)右边相乘的两个因式都只含有一个相同的字母，都是一次二项式，并且一次项的系数为一。2)左边是二次三项式，二次项的系数是1,一次项系数是两常数项之和，积的常数项等于两个因式中常数项之积。第14章勾股定理(重点)2.221 .对于

6、任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b,斜边为c,那么一定有abc勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。2 .直角三角形的判定：如果三角形的三边长a,b,c有关系，a2b2c2,那么这个三角形是直角三角形。第15章平移与旋转ZAt的£声I：1 .平移：图形的平行移动，简称为平移。它由移动的方向和距离所决定。Rf2|如下图：把点A与点A'叫做对应点，把线段AB与线段A'B'叫做对应线段，/A与A'叫做对应角。ABC平移的万向就是由点B到点B的方向，平移的距离就是线段BB的长度。2 .平移的特征(1)平移后的图形与原来的图形的对应线

7、段平行并且相等，图形的形状与大小都没有发生变化。【注】在平移过程中，对应线段也可能在一条直线上。(2)平移后对应点所连的线段平行并且相等。【注】在平移过程中，对应点所连的线段也可能在一条直线上。3 .旋转平面内某一个或几个基本的图形绕一个定点沿某一个方向(顺时针或逆时针)转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫做旋转中心，这个角度叫做旋转角。显然，旋转中心在旋转过程中保持不动，图形的旋转由旋转中心、旋转的角度、旋转的方向所决定。4 .旋转的特征(1)图形中每一点都绕着旋转中心按同一旋转方向旋转同样大小的角度。(2)对应点到旋转中心距离相等。对应线段相等，对应角相等。(3)图形的形状与大

8、小都没有发生变化。5 .旋转对称图形如果一个图形绕着某一定点旋转一定角度后能与自身重合，那么这种图形就叫做旋转对称图形，其中的定点叫做旋转对称图形的旋转中心。6 .中心对称(1)在平面内，一个图形绕着中心点旋转180o后，与自身重合，我们把这种图形叫做中心对称图形。这个中心点叫做对称中心。【注】中心对称图形是旋转角度为180o的旋转对称图形。(2)把一个图形绕着某一点旋转180°,如果它能够和另一个图形重合，那么，我们就说这两个图形成中心对称。，7 .中心对称的特征(1)在成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分。反过来，如果两个图形的所有对称点连成

9、的的线段都经过某一点，并且都被该点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称。(2)在成中心对称的两个图形中，对应线段平行且相等或在同一条直线上且相等，对应角相等。8.图形的全等(1)能够完全重合的两个图形叫做全等图形。(2)一个图形经过翻折、平移和旋转等变换所得到的新图形一定与原图形全等；反过来，两个全等的图形经过上述变换后一定能够互相重合。(3)全等多边形经过变换而重合，互相重合的顶点叫做对应顶点。相互重合的边叫做对应边。相互重合的角叫做对应角。(4)符号"”表示全等，读作“全等于”(5)全等多边形的性质全等多边形的对应边相等，对应角相等。(6)判断全等多边形全等的方法边、角分

10、别对应相等的两个多边形全等。(7)全等三角形对应边相等，对应角相等。(8)如果两个三角形的边、角分别对应相等，那么这两个三角形全等。ABCABC第16章平行四边形的认识1.平行四边形：有两组对边分别平行的四边形。平行四边形ABCD可以记作汇:ABCD。2.平行四边形的性质(1)平行四边形两组对边分别平行。(2)平行四边形对边相等，对角相等。(3)平行四边形对角线互相平分。(4)平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线交点。(4)平行线之间的距离处处相等。【注】两条直线平行，其中一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线间的距离。3.矩形(1)有一个角为直角的平行四边形。(2)矩形

11、特有的性质1)矩形的四个角都是直角。2)矩形的对角线相等且互相平分。3)矩形既是中心对称图形又是轴对称图形。4.菱形(1)有一组邻边相等的平行四边形。(2)菱形特有的性质1)菱形的四条边都相等。2)菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。3)菱形既是中心对称图形又是轴对称图形。5 .正方形(1)有一组邻边相等的矩形是正方形。有一个角是直角的菱形是正方形。(2)正方形的性质1)四个角都是直角，四条边都相等。2)正方形两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。6 .梯形(1)只有一组对边平行的四边形叫做梯形。两腰相等的梯形叫做等腰梯形。有一个角是直角的梯形叫做直角梯

12、形。(2)等腰梯形总可以看成是一个平行四边形与一个三角形的组合。1)等腰梯形是轴对称图形。只有一条对称轴，一底的垂直平分线。2)等腰梯形同一底边上的两个内角相等。3)等腰梯形的两条对角线相等。八年级下第17章分式(难点)1 .分式A形如一(A、B是整式，且B中含有字母，B0)的式子，叫做分式。其中A叫做分式的分子，B叫做分B式的分母。【注】分式中。分母不能为零，否则分式无意义。2 .有理式整式和分式统称为有理式。3 .分式的基本性质分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变。1.最简分式分子与分母没有公因式的分式称为最简分式。6 .最简公分母各分母所有因式的最高次哥的积

13、7 .分式的运算(1)分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，如果得到的不是最简分式，应该通过约分进行化简。(2)分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相除。(3)分式的乘方等于分子分母分别乘方。(4)同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减。8 .分式方程(1)分母中含有未知数的方程叫做分式方程。(2)解分式方程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解。所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母。(3)增根是指不适合原分式方程的解(或根)，因此，解分式方程必须进行检

14、验。(4)解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为零。有时为了方便起见，可将它代入最简公分母中，看它的值是否为零，若为零，则为增根。9 .零指数哥与负整指数哥（1）任何不等于零的数的零次哥都等于1。【注】0的零次哥没有意义。（2）任何不等于零的数的-n（n为正整数）次哥，等于这个数的n次哥的倒数。c1an_（a0,n是正整数）an1 .利用10的负整指数哥，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a10n的形式，其中n是正整数，1al10。第18章函数及其图像（难点）2 .变量与函数（1）变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量。（

15、2） 一般的，如果在一变化过程中，有两个变量，例如x和y,对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量。此时也称y是x函数。（3）表示函数关系的方法1）解析法（关系式法）：两个变量之间的关系，有时可以用一个含有这两个变量的等式表示，这种方法叫解析式法。2）列表法3）图像法（4）在问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量。（5）函数自变量的取值范围是指使函数有意义的自变量的取值全体。通常从两方面考虑1）在实际问题中，自变量x的取值会受到实际意义的限制。2）使函数的解析式有意义。3 .函数的图像（1）直角坐标系1）在平面上画两条原点重合、互相垂

16、直且具有相同单位长度的数轴，这就建立了平面直角坐标系。通常把其中水平的一条数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两数轴的交点O叫做坐标原点。2）在平面直角坐标系中，任意一点都可以用一对有序实数来表示。例如点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为M和No这时，点M在x轴上对应的数字是m,称为点P的横坐标；点N在y轴上的坐标为n,称为点P的纵坐标，得到一对有序实数（m,n）,称为点P的坐标，可记为P（m,n）。3）在平面直角坐标系中，两条坐标轴把平面分成I、n、出、W四个区域，分别称为第一、二、三、四象限，坐标轴上的点不属于任何一个象限。4）在平面直角坐标系中

17、的点和有序实数对是一一对应的。y+N.PIn1M>mxOmw5)不同位置点的坐标的特征横坐标纵坐标I第I象限+第n象限一+第出象限一一第IV象限+一x轴0任意实数y轴任意实数0(2)函数的图像1)一般来说，函数的图像是由直角坐标系中的一系列点组成。图像上的每一点的坐标(x,y)代表函数的一对对应值，它的横坐标x表示自变量的某一个值，纵坐标y表示与它对应的函数值。2)画函数图像的方法：描点法。即列表、描点、连线三步。3. 一次函数(1)函数的解析式都是用自变量的一次整式表示，我们称它们为一次函数。一次函数通常可以表示为y=kx+b的形式，其中k、b是常数，k0。特别的，当b=0时，一次函数

18、y=kx(常数k0),也叫做正比例函数。(2) 一次函数的图像一次函数y=kx+b(k、b是常数，k0)的图像是一条直线，通常也称为直线y=kx+b。特别的，正比例函数y=kx(k0)的图像是经过原点(0,0)。对于直线y=kx+b(k、b是常数，k0),k表示直线的倾斜程度。b是直线与y轴交点的纵坐标。(3) 一次函数的性质当k>0时，y随x的增大而增大，这时函数的图像从左到右上升。当k<0时，y随x的增大而减小，这时函数的图像从左到右下降。当k>0,b>0时，函数经过I、n、in象限。当k>0,b<0时，函数经过I、出、IV象限。当k<0,b>

19、;0时，函数经过I、n、IV象限。当k<0,b<0时，函数经过n、出、IV象限。(4)求一次函数的关系式待定系数法：先设待求函数关系式(其中含有未知数的系数)，再根据条件列出方程或方程组，求出未知系数，从而得出所求结果的方法，叫做待定系数法。4 .反比例函数k.(1)一般的，形如y(k0,k是常数)的函数叫做反比例函数。x(2)反比例函数的图像时双曲线。(3)反比例函数的性质1)当k>0时，函数的图像在第I、出象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增大而减小。2)当k<0时，函数的图像在第n、W象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个

20、象限内y随x的增大而增大。5 .二元一次方程组的图像解法画出方程组对应的两个一次函数的图像，找出它们的交点，这个交点的坐标就是二元一次方程组的解，这种解方程的方法叫做二元一次方程组的图像解法。6 .一次函数与一元一次不等式使一次函数y=kx+b(k0)的函数值y>0的自变量的所有的值，就是一元一次不等式kx+b>0的解集第19章全等三角形(重点)1 .命题判断它是正确的或是错误的句子叫做命题。正确的命题叫做真命题，错误的命题叫假命题。命题可以写成“如果，那么”的形式。2 .定理数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫

21、做公理。3 .公理数学中有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定公理。4 .全等三角形的判定一般三角形SSSSASASAAAS直角三角形SSSSASASAAASHL5 .尺规作图只有使用圆规和没有刻度的直尺这两种工具去作几何图形的方法称为尺规作图。(1)作一条线段等于已知线段(2)作一个角等于已知角(3)作已知角的平分线(4)经过一已知点(直线上、直线外)作已知直线的垂线(5)作已经线段的垂直的平分线6 .逆命题(1)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做

22、互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题。(2)原命题为真，它的逆命题不一定为真7 .等腰三角形的判定(1)利用定义：两条边相等的三角形叫等腰三角形。(2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。(等角对等边)。8 .勾股定理的逆定理如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的和，那么这个三角形是直角三角形。9 .角平分线到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。10 .线段垂直平分线到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。第20章平行四边形的判定1 .平行四边形的判定(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形。(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形。(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形。(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形。2 .矩形的判定(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形。(2)对角线相等的平行四边形是矩形。(3)有三个角是直角的四边形是矩形。3 .菱形的判定(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形。(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形。(3)四条边都相等的四边形是菱形。(4)每条对角线平分一组对角的四边形是菱形。4 .