大学文科数学教案

1、大学文科数学教案第一章微积分的根底和研究对象一、教学目的和要求：1. 了解微积分的开展历程。2. 了解极限、实数、集合在微积分中的作用。3. 了解实数系的建立及邻域的概念。4. 理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值， 会建立实际问题中的函数关系式。5. 理解函数的简单性质，会判断函数的有界性、奇偶性、 单调性、周期性。6. 掌握根本初等函数的性质及其图形。7. 理解复合函数及分段函数的概念。掌握将一个复合函数 分解为根本初等函数或者简单函数的复合的方法。&了解MM能力培养。二、教学难点和重点：重点：1. 数的性质及其图形。2. 合函数的分解及分段函数的概念难点：1. 函数的

2、概念。2. 复合函数。三、教学方法讲解法§ 1微积分的根底1.1微积分的开展历程数学开展史的生动事例说明，许多数学模型，包括数学理论，总是在长期的应用中逐步构建起逻辑根底的。17世纪上半叶笛卡儿Descartes,法，1596 1650创立了 解析几何，变量便进入了数学。随后，牛顿Newton,英，16421727和莱布尼兹Leibniz, 德16461716集众多数学家之大成， 各自独立地创造了微 积分，被誉为数学史上划时代的里程碑。微积分诞生不久，便在许多学科中得到广泛有效的应用，大大推动了那个时代 科学技术的开展和社会进步。然而初期的微积分在逻辑上存在着矛盾。粗略地讲，牛顿、

3、莱布尼兹的导数概念是建立在所谓的“无穷小理论之上的，他们所谓的无穷小，时而是零时而又不是零，这违背了逻辑 学中的排中律。排中律是指在同一论证过程中，对同一对 象的肯定判断与否认判断，这两个相矛盾的判断必有一个是 真的，即排除第三种情况。正因此，不少学者对微积分的 可靠性产生了疑心，并且一些思想保守的人物借此提出非难，特别是代表守旧势力的英国红衣大主教贝克莱(Berkeley,1685 1753)，从维护宗教神学的利益出发，亟 力反对蕴含运动变化这一新潮思想的微积分。数学界、哲学界、宗教界的许 多人围绕微积分的逻辑根底问题展开了剧烈的争论，被数学 史界称为第二次数学危机。1.2极限、实数、集合在

4、微积分中的作用。微积分在长达两个世纪的自身理论完善过程中，法国数学家 柯西和德国数学家魏尔斯特拉斯先后建立了极限理论，其中 包括摒弃牛顿、莱布尼兹的含混不清的“无穷小概念，而 代之以“以零为极限的变量为无穷小量的明确定义，从而 解决了微积分的逻辑根底问题，也就消除了第二次数学危 机。可见极限是微积分的理论根底。极限是微积分的理论根底，然而极限作为运算不总是通行无 阻的，例如在有理数范围内就可能行不通。譬如，由2的不足近似值构成的有理数序列1，1.4，1.41，1.414，1.4142，?假设在有理数范围内来考 察，就不存在极限。但在实数范围内来考察，它的极限就是2。可见实数是极限的理论根底，进

5、而可知实数是微积分的 根底。数学家及哲学家，喜欢考察数学为什么是可靠的。在19世纪那个时期，数学家们认识到微积分的可靠性建立在极限的 根底之上，而极限的可靠性建立在实数的根底之上，再追问，再研究，又发现，实数的可靠性来源于自然数。当时认为， 由于自然数在人类几千年的德社会生产活动中发现最早，接 触最多，贴近实际最近，而且长期使用中未出现矛盾，因而 自然数的可靠性是不被疑心的。于是自然数便成了实数的基 础，进而自然数成了微积分的根底。数学家们对数学根底的研究并未到自然数为止。19世纪末，又认识到自然数可由德国数学家康托儿提出的集合来定义， 于是微积分的可靠性就取决于集合论的可靠性。因而集合又 成

6、了微积分的根底。而微积分又是现代数学的根底知识，于 是几乎全部数学都可以建立在集合根底之上。可见集合是整 个数学大厦的基石。通过前面的介绍，我们体会到，对微积分根底的研究大大推 动了微积分的完善和开展，这无疑是对的。然而这仅仅表达 了数学开展动力的一个方面，即由数学自身矛盾运动产生的 内部力量。还应认识到数学开展动力的另一个方面，即由人 类社会实践所产生的外部力量。17世纪资本主义生产力的发 展正是推动微积分产生和开展的外部力量。关于数学的可靠性问题，我们固然应该根据数学科学的特点 追求数学的逻辑可靠性，但最终还要符合实践的可靠性，即 数学的可靠性尚需介绍社会实践的检验。1.3实数系的建立及邻

7、域的概念。一、实数系的演变及性质自然数集N 0,1,2,3,?+引进负数，整数集Z,将正整数集记作 Z或N+ 即除0 外的全体自然数构成的集合有理数Q二。、有理数的性质：任一有理数都可以写成 p的形式，其中p,q?Z ,且q?0。同 整数比拟起来，有理 q数具有整数所没有的很好的性质。设a,ba?b是任意给定的两个有隶属，那么在a,b之间至少存在一个有理数 c，即卩a?c?b 如c?a?d?c。a?b就满足要求；同样，在a与c也至少存在一个 有理数d，即2如此类推，可知无论 a与b相差多么小，总可以在 a与b之 间找到无穷多个有理数，这就是有理数的稠密性。因为任一有理数在数轴上均可以找到唯一的

8、一点和它相对应该点称为有理点，所以反映在数轴上，任意两个有理 点之间总可以找到无穷多个有理点，即有理点在数轴上是稠 密分布的。这是整数所不具备的性质。实数的特性虽然有理点在数轴上是稠密的，但它并没有铺满整个数轴如单位正方形的对角线，其长2在数轴上就找不到一个有理点和它对应。事实上，利用反证法不难证明，2不能表示成p p,q?Z，且q?0的形式，因此 2不是有理数。这样就说 明在数轴上除了有q理点外，还会留下许多空隙，同时也说明有理点尽管“很稠 密，但并不具有连续性。我们把这些空隙处的点称为无理 点，无理点对应的数称为无理数。全体有理数与无理数合称为实数，这就把有理数集扩充为实数集，记作 R。这

9、就使在有理数集中不封闭的开方运算在实 数集中成为封闭的。在数轴上，可以发现，实数点能铺满整 个数轴，而不会留下任何空隙，实数的这种性质称为实数的 连续性，这是有理数所没有的性质。三、邻域微积分研究的对象，是反映现实世界中连续变化的事物在数量方面的相依关系，即所谓的连续函数。因而只能用具有连续性的数来刻画事物连续变化的特性，而实数才具有连续性，因此在微积分中，所说的数均指实数。刻画极限的邻域概念与点x0距离小于？(?0)的全体实数的集合称为点x0的？邻域，记作U(xO,?) ，x0称为邻域的中心，？称为邻域的半径。显然点x0的？邻域可用集合记号表示为xx?x0?，或用区间表示为?(x0?,x0?

10、)。如果点x0的？邻域U(x0,?)不包括点x0，那么称为点x0的去 心邻域，记作U0(x0,?)，0x?x0?。也可用集合记号表示为 x?例 用邻域符号和区间符号分别表示不等式2x?轴上。解：由2x?2(?0)所确定的范围，并描绘在数？2得x?1?1?1?，即x?(?)?。所以它表示以？为中心、以？为 2424241?,)。24半径的邻域，用邻域符号表示为U(?由x?1?1?1?1?1?得？?x?,所 以用区间符号 表示为 (?,?)。2424242424作业/课后反思 证明2不是有理数。§ 2微积分的研究对象一一函数1.1函数在某个问题的研究过程中，保持不变的量称为常量，可以取

11、不同数值的量称为变量。函数就是刻画变量间在运动变化中 相依关系的数学模型。例1心理学研究说明，小学生对新概念的接受能力G (即学习兴趣、注意力、理解力的某种量度)随学习时间t的变化规律为G(t)?0.1t2?2.6t?43定义如果在某个变化过程中有两个变量 x,y，并且对于x在 某个变化范围X内的每一个确定的值，按照某个对应法那么f,y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，记作y?f(x) , x叫做自变量，x的取值范围X叫做函数的定义域， 和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合 丫叫做函 数的值域。函数定义说明了函数模型的结构，它由定义域、对应法那么和 值域三个要素所构成。定义

12、域和对应法那么是主导要素，值域 是派生要素。这一模型如同一部机器，把X中的任意原材料x输入f()，便能产出实数y?Y。由中学内容可知函数的表示法通常有三种，即解析法、图像法、表格法。例2在统计学上饮食消费占日常支出的比例称为恩格尔系数，它反映了一个国家或地区富裕的程度，是国际通用的一 项重要指标。联合国根据恩格尔系数来划分一个国家国民富裕程度：恩格 尔系数小于20为绝对富裕，20以上小于40属比拟富裕，40 以上小于50算小康水平，50以上小于60刚够温饱，60以 上那么为贫困。试以图像法表示国民富裕程度。1.2逆向思维一例一一反函数定义设函数y?f(x),x?X,y?丫 。如果对于丫内的任一

13、 y, X内 都有唯一确定的x与之对应，使f(x)?y，那么在丫上确定了一 个函数，这个函数称为函数y?f(x)反函数，记作 x?f?1(y),y?Y 。而原来的函数y?f(x)称为直接函数。由直接 函数想到反函数，这是一种逆向思维过程。什么函数存在反函数呢？单调函数存在反函数，且函数与其反函数单调性相同。1.3根本初等函数常数函数、幕函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为根本初等函数。1.4复合函数一些客观事物，在质的方面存在着复合关系，在量的方面也 存在着复合关系。在物理学中，质量为m的物体，自由下落时的动能为E?得到E关于t的函数E?11mv2而v?gt套入函数 E?mv2

14、便221m(gt)2，像这种由函数套函数而得到的函数就是复合函数。一 2般地有定义设函数y?f(u),u?U,u?(x),x?X ，且由x?X确定的函数 值u?(x)落在函数y?f(u)的定义域U内，那么y?f?(x) 称为 复合函数。u称为中间变量，u?(x)称为里层函数，y?f(u) 称为外层函数。比方y?x2是由y?和函数u?1?x复合而成的。函数y?u的定义域是2u?0，这应是函数 u?1?x2的值域，即应满足 1?x2?0，由此 得?1?x?1。显然对一切x?1,1，函数u?1?x的值域即为函 数y?u的定义域。有些复合函数的中间变量可以有两个，或更多。把一个复合函数分成不同层次的函

15、数，叫做复合函数的分解。合理分解复合函数，在微积分中有着十分重要的意义。分解的步骤是从外到里，评判分解合理与否的准那么是，观察各层函数是否为根本初等函数或者多项式。例4分解复合函数：2(1)y?sin(x2?1)；解设 y?sinu,u?x2?1x(2)y?log2sin() 2解设 y?log2,u?sinv,v?ux 。21.5初等函数的含义根本初等函数，以及对根本初等函数做有限次四那么运算与有 限次函数复合运算而得到的由一个式子表示的函数叫做初 等函数，否那么就是非初等函数。比方整式函数 Pn(x)?aOxn?a1xn?1?an?1x?aO(aO?O)(Qm(x)的含义与Pn(x)相同，且分式函数y?Pn(x)Qm(x)?O) Qm(x)根式函数y?x2?1以 及 更 为 复 杂 的 函 数x2?11y?ln1?arcsin(x2?) sin2x2等，都是初等函数。而分段函数就不是初等函数，即为非初等函数。在初等函数的研究中，常常需要确定函数的定义域。例 5 求函数 y?arcsin(x?1)?1x?12的