第五章 电容元件和电感元件

1、郁金香本章的内容：本章的内容： 1 1，介绍两种储能元件，介绍两种储能元件电容元件和电容元件和电感元件。电感元件。 2 2，两种储能元件的，两种储能元件的VCRVCR方程。方程。 3 3，电容和电感的串并联，电容和电感的串并联。第第5 5章章 电容元件与电感元件电容元件与电感元件本章的重点：本章的重点：1，电容：，电容：)(),(),(ifuufiufq2，电感：，电感：)(),(),(ufiifuif3，电容和电感的串并联。，电容和电感的串并联。本章的难点：本章的难点：1 1，已知电容电流，已知电容电流i i，如何求解电压，如何求解电压u u。2 2，已知电感电压已知电感电压u，如何求解电流

2、，如何求解电流i。 常用的几种电容器常用的几种电容器5 51 1 电容元件电容元件5.1.2 (理想理想)电容元件的定义电容元件的定义 集总参数电路中与电场有关的物理过程集集总参数电路中与电场有关的物理过程集中在电容元件中进行，电容元件是构成各种电中在电容元件中进行，电容元件是构成各种电容器的电路模型所必须的一种理想电路元件。容器的电路模型所必须的一种理想电路元件。 电容元件的定义是：如果一个二端元件电容元件的定义是：如果一个二端元件在任一时刻，其电荷与电压之间的关系由在任一时刻，其电荷与电压之间的关系由ququ平面上一条曲线所确定，则称此二端元件为平面上一条曲线所确定，则称此二端元件为电容元

3、件。电容元件。 ( a) 电容元件的符号电容元件的符号 ( b) 电容元件的特性曲线电容元件的特性曲线 电容元件的符号和特性曲线如图所示。电容元件的符号和特性曲线如图所示。 特性曲线是通过坐标原点一条直线的电容特性曲线是通过坐标原点一条直线的电容元件称为线性电容元件，元件称为线性电容元件， 否则称为非线性电容元件。否则称为非线性电容元件。 其特性曲线是一条通过原点不随时间变化的其特性曲线是一条通过原点不随时间变化的直线，其数学表达式为直线，其数学表达式为 式中的系数式中的系数C为常量，与直线的斜率成正比，为常量，与直线的斜率成正比，称为电容，单位是称为电容，单位是 法拉法拉,用用F表示。表示。

4、本书研究的是线性电容元件：本书研究的是线性电容元件：) 15 ( - - Cuq法拉这个单位法拉很大，地球的静电容约为法拉这个单位法拉很大，地球的静电容约为F4107-所以常用微法（所以常用微法（F)，皮法（，皮法（pF）工作频率很高的情况下，还需要增加一个电感工作频率很高的情况下，还需要增加一个电感来构成电容器的电路模型（来构成电容器的电路模型（c）。）。 电容器的电路模型电容器的电路模型 工作频率很工作频率很低时，忽略漏电，可用电路模型忽略漏电，可用电路模型(a)(a)。工作频率很工作频率很低时，不能忽略漏电，可用电路模忽略漏电，可用电路模 型（型（b b），并联上一个漏电阻。），并联上一

5、个漏电阻。 对于线性时不变电容元件来说，在采用电压电对于线性时不变电容元件来说，在采用电压电流关联参考方向的情况下，可以得到以下关系式流关联参考方向的情况下，可以得到以下关系式 此式表明电容中的电流与其电压对此式表明电容中的电流与其电压对时间的变化率成正比。时间的变化率成正比。流过电容的电流与端电压的关系如何？流过电容的电流与端电压的关系如何？)45(ddd)(ddd)(-tuCtCutqti5.1.2 5.1.2 电容元件的伏安特性电容元件的伏安特性 由（由（54）可得出什么常识？）可得出什么常识？ 1 1，在电容元件两端加一直流电压时，在电容元件两端加一直流电压时，有电流流过电容元件吗？有

6、电流流过电容元件吗？)45(ddd)(ddd)(-tuCtCutqti没有，可认为没有，可认为“开路开路”，电容有隔直作，电容有隔直作用用 2 2，电容两端的电压变化，才有电流，电容两端的电压变化，才有电流流过电容。电容对交流导通。流过电容。电容对交流导通。 3， 在已知电容电压在已知电容电压u(t)的条件下，用式的条件下，用式(5-4)容易求出其电流容易求出其电流i(t)。 例如已知例如已知C=1 F电容上的电压为电容上的电压为u(t)=10sin(5t)V，其波形如图，其波形如图(a)所示，与电所示，与电压参考方向关联的电流为压参考方向关联的电流为 AttttttuCti)905sin(5

7、0A)5cos(50A)5cos(1050 d)5sin(10d10dd)(066-电流的相位超前电压电流的相位超前电压90A)5cos(50)(tti图图 电流的相位超前电流的相位超前电压电压90u(t)=10sin(5t) V (5-4)式表明电容中的电流与其电压对时间式表明电容中的电流与其电压对时间的变化率成正比，它与电阻元件的电压电流之的变化率成正比，它与电阻元件的电压电流之间存在确定的约束关系不同，电容电流与此时间存在确定的约束关系不同，电容电流与此时刻电压的数值之间并没有确定的约束关系。刻电压的数值之间并没有确定的约束关系。 与电阻的电压电流之间的关系有什么不同？与电阻的电压电流之

8、间的关系有什么不同？电阻元件中的电流与其电压成正比，电阻元件中的电流与其电压成正比，uRi1)45(ddd)(ddd)(-tuCtCutqti如何求电容储存的电荷如何求电容储存的电荷q q？根据（根据（5 52 2）式（）式（ ）dtdqi idtq将不定积分写成定积分：将不定积分写成定积分：-ttttttidtqidd iidq000)(0 物理意义是：物理意义是：t 时刻具有的电荷等于时刻具有的电荷等于t0 时时的电荷加上的电荷加上t0 到到t t时间间隔内增加的电时间间隔内增加的电荷。荷。 例例5-1 已知已知C=0.5 F电容上的电压波形如电容上的电压波形如下图所示，试求电压电流采用关

9、联参考方向时下图所示，试求电压电流采用关联参考方向时的电流的电流iC(t),并画出波形图。（用此题替代并画出波形图。（用此题替代80页页的的51题）题） （补充直线方程知识）（补充直线方程知识）（补充直线方程知识）（补充直线方程知识）已知直线上任意两点，已知直线上任意两点， 2211,yxyx直线方程为直线方程为121211xxyyxxyy-直线直线 2 , 1,0 , 0010200)(-ttucttuc2)(直线方程直线方程直线直线 2, 3,2 , 1-132212)(-ttucttuc24)(-直线方程直线方程直线直线 2 , 5,2, 3 -35)2(23)2()(-ttucttuc

10、28)(-直线方程直线方程直线直线 2, 7,2 , 5-57)2252)(-ttucttuc212)(-直线方程直线方程AtttuCtiCC1=A101d)2(d105 . 0dd)(66- 1. 1. 当当0 0t t1s 1s 时时 u uC C( (t t)=2)=2t t，根据式根据式(6(62)2)可以得到可以得到 解：根据电容电压波形的具体情况，按解：根据电容电压波形的具体情况，按照时间分段来进行计算照时间分段来进行计算 2. 2. 当当1s1st t3s3s时，时，u uC C( (t t)=4-2)=4-2t t，根据，根据式式(5(52)2)可以得到可以得到 A1A101d

11、)24(d105 . 0dd)(66-tttuCtiCC 3. 3. 当当3s3st t5s5s时，时，u uC C( (t t)=)=8+28+2t t，根据式，根据式(5(52)2)可以得到可以得到 A1A101d)28(d105 . 0dd)(66-tttuCtiCC 4. 当当5st时，时，uC(t)=12- -2t，根据式，根据式(72)可可以得到以得到 A1A101d)212(d105 . 0dd)(66CC-tttuCti 在已知电容电流在已知电容电流iC(t)的条件下，其电压的条件下，其电压uC(t)为为 tuCtidd)(CCdiCtudiCdiCdiCtuttCCttCtC

12、tCc)(1)()(1)(1)(1)(0000-diCututCCc)(1)0()(0(5-8) 其中其中 -0 d)(1)0(CCiCu称为电容电压的初始值。称为电容电压的初始值。 1,电容电压的记忆性电容电压的记忆性 任意时刻任意时刻t电容电压的数值电容电压的数值uC(t)，要由从，要由从- 到到时刻时刻t之间的全部电流之间的全部电流iC(t)来确定。也就是说，此来确定。也就是说，此时刻以前流过电容的任何电流对时刻时刻以前流过电容的任何电流对时刻t的电压都的电压都有一定的贡献。我们说电容是一种记忆元件。有一定的贡献。我们说电容是一种记忆元件。 从从(5-8)式可以看出电容具有两个基本的性质

13、式可以看出电容具有两个基本的性质5.1.3 5.1.3 电容电压的连续性和记忆性电容电压的连续性和记忆性diCututCCc)(1)0()(0(5-8)2, 电容电压的连续性电容电压的连续性 从例从例51的计算结果可以看出的计算结果可以看出 1, 电容电流的波形是不连续的矩形波；电容电流的波形是不连续的矩形波； 2, 电容电压的波形是连续的。电容电压的波形是连续的。 从这个平滑的电容电压波形可以看出电容电从这个平滑的电容电压波形可以看出电容电压是连续的一般性质。压是连续的一般性质。 即电容电流在闭区间即电容电流在闭区间t1,t2有界时，电容电有界时，电容电压在开区间压在开区间(t1,t2)内是

14、连续的。这可以从电容电内是连续的。这可以从电容电压、电流的积分关系式中得到证明。压、电流的积分关系式中得到证明。 将将t=T和和t=T+dt代入式代入式(56)中，其中中，其中t1Tt2和和t1T+dt0时，电感吸收功率；当时，电感吸收功率；当p0时，电感时，电感发出功率。发出功率。 电感在从初始时刻电感在从初始时刻t0 到任意时刻到任意时刻t 时间内时间内得到的能量为得到的能量为 - - )( )( 022 0000)()(21d dd)(d)(d)(),(tititttttitiLiiLiiLpttW 任意时刻储存在电感中的能量为任意时刻储存在电感中的能量为 )395()(21)(2-tL

15、itWL 此式说明某时刻电感的储能取决于该时刻此式说明某时刻电感的储能取决于该时刻电感的电流值，与电感的电压值无关。电感电电感的电流值，与电感的电压值无关。电感电流的绝对值增大时，电感储能增加；电感电流流的绝对值增大时，电感储能增加；电感电流的绝对值减小时，电感储能减少。的绝对值减小时，电感储能减少。 由于电感电流确定了电感的储能状态，称由于电感电流确定了电感的储能状态，称电感电流为状态变量。电感电流为状态变量。 )395()(21)(2-tLitWL 从式从式(539)也可以理解为什么电感电流不也可以理解为什么电感电流不能轻易跃变，这是因为电感电流的跃变要伴随能轻易跃变，这是因为电感电流的跃

16、变要伴随电感储存能量的跃变，在电压有界的情况下，电感储存能量的跃变，在电压有界的情况下，是不可能造成磁场能量发生突变和电感电流发是不可能造成磁场能量发生突变和电感电流发生跃变的。生跃变的。)395()(21)(2-tLitWL Michael Faraday (17911867)法拉第是英国化学家和物理学家，1931年发现的电磁感应定律是工程上的一个主要突破。 法拉第法拉第是一个英国化学家和物理学家，他是一个是一个英国化学家和物理学家，他是一个最伟大的实验家。最伟大的实验家。 他在他在1931年发现的电磁感应是工程上的一个重要突年发现的电磁感应是工程上的一个重要突破，电磁感应提供了产生电的一种

17、方法。电磁感应是破，电磁感应提供了产生电的一种方法。电磁感应是电动机和发电机的工作原理。电容的单位电动机和发电机的工作原理。电容的单位(farad)用他用他的名字命名是他的荣誉。的名字命名是他的荣誉。 5.2.5 5.2.5 电感元件的串、并联电感元件的串、并联* *串联串联 n n个电感相串联的电路，流过各电感的电流个电感相串联的电路，流过各电感的电流为同一电流为同一电流 i i。+ un+-i+-+-u-u1u2L1L2LnLeq+-iunkkeqLL1dtdiLukk 根据电感的伏安关系，第根据电感的伏安关系，第k k个个（k=1,2,3,n)k=1,2,3,n)电感电感的端电压的端电压

18、和和KVLKVL，可求得，可求得n n个电感相个电感相串联的串联的等效电感等效电感两个电感并联等效为一个电感的公式。两个电感并联等效为一个电感的公式。串联串联电感可以分压：电感可以分压： tuLLLtutuLLLtu21222111)()(5-21)*并联并联n n个电感相并联的电路，各电感的端电压是同一个电感相并联的电路，各电感的端电压是同一电压电压u u。根据电感的伏安关系，第。根据电感的伏安关系，第k k个（个（k=1,2,k=1,2,3,n)3,n)电感的电流电感的电流 和和KCLKCL，可求得可求得n n个电感相并联时的等效电感个电感相并联时的等效电感L Leqeq-tkkudLi1

19、LnL2L1+-uii1i2Leq+-iunkkeqLL111两个电感并联等效为一个电感的公式。两个电感并联等效为一个电感的公式。并联并联电感可以分流：电感可以分流： tiLLLtitiLLLti21122121)()(例：例：如图所示电路，给定如图所示电路，给定AiAiHLHLHL30,20,3,2,132321-试确定它的等值电路。试确定它的等值电路。解：解：在在t t=0=0- -，应用，应用KCLKCL于于A A点，点， 得得L L1 1中的初始电流为中的初始电流为HLLLHLLLLL2 . 22 . 112 . 13232231323223图中图中Aiii532000321-书面作业

20、书面作业52 54 555.3 5.3 一一阶线性常系数微分方程的求解阶线性常系数微分方程的求解要求：了解要求：了解 数学中对常系数一阶微分方程的求解已得到数学中对常系数一阶微分方程的求解已得到充分的讨论。在电路分析中常用充分的讨论。在电路分析中常用直接积分法和直接积分法和猜想法。本书采用猜想法。本书采用猜想法猜想法。 设一阶微分方程为设一阶微分方程为 )()(11txbtyadttdy（1）叫非齐次线性微分方程叫非齐次线性微分方程（2）叫齐次线性微分方程叫齐次线性微分方程 0)(1tyadttdy1 1，线性微分方程解的结构：，线性微分方程解的结构： 如（如（1 1）式）式非齐次线性微分方程

21、的解非齐次线性微分方程的解)(ty由两部分组成，即：由两部分组成，即：)()()(tytytyph（3）的通解的通解。)(typ为非齐次方程的一个特解。为非齐次方程的一个特解。其中其中)(tyh为（为（1）式对应的齐次方程）式对应的齐次方程（2） 0)(1tyadttdy2 2，线性齐次微分方程通解，线性齐次微分方程通解)(tyh的求法：的求法： 用猜想法，设通解用猜想法，设通解thCety)(（4）方程两边同除以方程两边同除以tCe得到一个特征方程，得到一个特征方程，01a（6）特征方程是以特征方程是以 为变量的一个代数方程。为变量的一个代数方程。01ttCeaeC代入方程（代入方程（2 2

22、）得）得（5） 01tyadttdy （2）（） 特征方程的解为：特征方程的解为：1a-（7）称为微分方程的特征根或叫固有频率。称为微分方程的特征根或叫固有频率。齐次方程（齐次方程（3）的通解为）的通解为tahCety1)(-（8）C C为任意常数，由初始条件决定。为任意常数，由初始条件决定。3 3，线性非齐次微分方程的特解线性非齐次微分方程的特解)(typ的求法：的求法：根据输入函数根据输入函数)(tx的形式假定特解的形式假定特解)(typ)(tx)(typE(常数）常数）常数常数 kpt(p为整数)1121-ppppktktktkateatketktksincos21ttsincos以上以上1321,ppkkkkk均为待定系数。均为待定系数。将特解将特解)(typ代入方程（代入方