第1章信号与系统的基概念

1、第 1 章 信号与系统的基本概念 第第1章章 信号与系统的基本概念信号与系统的基本概念 1.0 信号与系统信号与系统 1.1 信号的描述和分类信号的描述和分类 1.2 信号的基本特性信号的基本特性 1.3 信号的基本运算信号的基本运算 1.4 阶跃信号和冲激信号阶跃信号和冲激信号 1.5 系统的描述系统的描述 1.6 系统的特性和分类系统的特性和分类 1.7 信号与系统的分析方法信号与系统的分析方法 第 1 章 信号与系统的基本概念 1.0 信信 号号 与与 系系 统统图 1.0-1 激励、系统与响应 系统输入信号（激励）输出信号（响应）第 1 章 信号与系统的基本概念 图 1.0-2 无线电

2、广播系统的组成 转换器()发射机消息（广播节目）信号调制转换器()接收机消息（广播节目）信号解调第 1 章 信号与系统的基本概念 1.1 信号的描述和分类信号的描述和分类1.1.1 信号的描述信号的描述 信号:是消息的表现形式，通常体现为随若干变量而变化的某种物理量。例如，1.在电子信息系统中的电压、电流、电荷或磁通等电信号可以理解为是时间t或其他变量的函数； 2.在气象观测中的温度、 气压是随海拔高度h变化的函数；3.平面黑白图像像素灰度变化情况的图像信号，可以表示为平面坐标位置(x, y)的函数，等等。 第 1 章 信号与系统的基本概念 如果信号是单个独立变量的函数，称这种信号为一维信号。

3、 如果信号为n个独立变量的函数时，就称为n维信号。 本书只讨论一维信号。为了方便起见，一般都将信号的自变量设为时间t或序号k。 通常，还将信号的图形表示称为波形或波形图。 第 1 章 信号与系统的基本概念 1.1.2 信号的分类信号的分类(4种分类法种分类法) 1. 确定信号与随机信号确定信号与随机信号 任一由确定时间函数描述的信号，称为确定信号或规则信号。对于这种信号，给定某一时刻后，就能确定一个相应的信号值。 如果信号是时间的随机函数，事先将无法预知它的变化规律，这种信号称为不确定信号或随机信号。 第 1 章 信号与系统的基本概念 图 1.1-1 噪声和干扰信号 第 1 章 信号与系统的基

4、本概念 2. 连续信号与离散信号连续信号与离散信号 一个信号，如果在某个时间区间内除有限个间断点外都有定义， 就称该信号在此区间内为连续时间信号，简称连续信号。 例:正弦信号，其表达式为 )sin()(1tatf式中，a是常数。其自变量t在定义域(-, )内连续变化，信号在值域-a, a上连续取值。注意:一般表达式后应标明时间区间; 凡没有标明时间区间时， 均默认其定义域为(-， )。 第 1 章 信号与系统的基本概念 图 1.1-2 连续信号 01212a af1(t)to1tf2(t)oatf3(t)t0(a)(b)(c)第 1 章 信号与系统的基本概念 图1.1-2(b)是单位阶跃信号，

5、 通常记为(t)，其表达式为 )0(0)0( 1)()(2ttttf图1.1-2(c)表示一个延时的单边指数信号， 其表达式为 )0(0)0()()(30ttaetftt式中，a是常数，0。信号变量t在定义域(-, )内连续变化，信号f3(t)在值域0， a)上连续取值。注意，f3(t)在t=t0处有间断点。 第 1 章 信号与系统的基本概念 对于间断点处的信号值一般不作定义，这样做不会影响分析结果。如有必要， 也可按高等数学规定，定义信号f(t)在间断点t0处的信号值等于其左极限f(t0-)与右极限f(t0+)的算术平均值， 即 第 1 章 信号与系统的基本概念 这样，图1.1-2中的信号f

6、2(t)和f3(t)也可表示为 第 1 章 信号与系统的基本概念 仅在离散时刻点上有定义的信号称为离散时间信号，简称离散信号。 定义在等间隔离散时刻点上的离散信号也称为序列， 通常记为f(k)，其中k称为序号。与序号m相应的序列值f(m)称为信号的第m个样值。序列f(k)的数学表示式可以写成闭式，也可以直接列出序列值或者写成序列值的集合。例如，图1.1-3(a)所示的正弦序列可表示为 kakf4sin)(1第 1 章 信号与系统的基本概念 图 1.1-3 离散信号 0123 4567 82468a akf1(k)1310234131023410132f2(k)f3(k)kk56a(a)(b)(

7、c)第 1 章 信号与系统的基本概念 随k的变化，序列值在值域-a, a上连续取值。对于图1.1-3(b)所示的序列则可表示为 第 1 章 信号与系统的基本概念 在工程应用中，把幅值可连续取值的连续信号称为模拟信号;(如图1.1- 2(a)；把幅值可连续取值的离散信号称为抽样信号 (如图1.1-3(a)；把幅值只能取某些规定数值的离散信号称为数字信号 (如图1.1-3(c)。 为方便起见，有时将信号f(t)或f(k)的自变量省略，简记为f() 。 第 1 章 信号与系统的基本概念 3. 周期信号与非周期信号周期信号与非周期信号一个连续信号f(t)，若对所有t均有f(t)=f(t+mt) m=0

8、, 1, 2, 则称f(t)为连续周期信号，满足上式的最小t值称为f(t)的周期。 一个离散信号f(k)，若对所有k均有f(k)=f(k+mn) m=0, 1, 2, (1.1-7)就称f(k)为离散周期信号或周期序列。满足式(1.1- 7)的最小n值称为f(k)的周期。 第 1 章 信号与系统的基本概念 图 1.1-4 周期信号 tf (t)a a2t2tttof (t)240246k第 1 章 信号与系统的基本概念 4. 能量信号与功率信号能量信号与功率信号 若将信号f(t)设为电压或电流，则加载在单位电阻上产生的瞬时功率为|f(t)|2，在一定的时间区间内会消耗一定的能量。 把该能量对时

9、间区间取平均，即得信号在此区间内的平均功率。现在将时间区间无限扩展， 定义信号f(t)的能量e为 2,2dttfe222)(limdttfp222)(1lim第 1 章 信号与系统的基本概念 如果在无限大时间区间内信号的能量为有限值(此时平均功率p=0)， 就称该信号为能量有限信号，简称能量信号。如果在无限大时间区间内，信号的平均功率为有限值(此时信号能量e=)，则称此信号为功率有限信号，简称功率信号 离散信号f(k)的能量定义为kkfe2)(第 1 章 信号与系统的基本概念 1.2 信号的基本特性信号的基本特性 信号的基本特性包括: 1.时间特性、 2.频率特性、 3.能量特性、4.信息特性

10、。 频率与振幅、相位大小的图形称为信号的频谱。信号的能量和功率随频率分布的关系称为信号的能量谱和功率谱。 第 1 章 信号与系统的基本概念 1.3 信号的基本运算信号的基本运算 1.3.1 相加和相乘相加和相乘 设两个连续信号f1(t)和f2(t)，则其和信号s(t)与积信号p(t)可表示为 )()()()()()(2121tftftptftfts第 1 章 信号与系统的基本概念 同样，若有两个离散信号f1(k)和f2(k)，则其和信号s(k)与积信号p(k)可表示为 )()()()()()(2121kfkfkpkfkfks第 1 章 信号与系统的基本概念 图 1.3-1 连续信号的相加和相乘

11、第 1 章 信号与系统的基本概念 图 1.3-2 离散信号的相加和相乘 f1( k )0123456 1 2 31f2( k )012345 1 2 31 1f1( k ) f2( k )012345 1 2 31 12012345 1 2 31f1( k )f2( k )kkkk第 1 章 信号与系统的基本概念 1.3.2 翻转、平移和展缩翻转、平移和展缩 1。翻转：将信号f(t)(或f(k)的自变量t(或k)换成-t(或-k)，得到另一个信号f(-t)(或f(-k)， 称这种变换为信号的翻转。几何意义：是将自变量轴“倒置”， 取其原信号自变量轴的负方向作为变换后信号自变量轴的正方向。或者按

12、照习惯， 自变量轴不“倒置”时，可将f(t)或f(k)的波形绕纵坐标轴翻转180， 即为f(-t)或f(-k)的波形， 如图1.3-3所示。2。平移：为平移：为信号f(t)(或f(k)加上一常数；3。展缩展缩 ：为：为信号f(t)(或f(k)乘（缩）、除（展）一常数第 1 章 信号与系统的基本概念 图 1.3-3 信号的翻转(a) f(t)的翻转； (b) f(k)的翻转 02241f (t)t0221f ( t)t0221t44f ( t)02241f (k)k0221f ( k)k0221kf ( k)44(a)(b)第 1 章 信号与系统的基本概念 图 1.3-4 信号的平移 022f

13、(t)t02f (t 2)t02t4f (t 2)4033f (k)kf (k 2)f (k 2)022k022k46464(a)(b)第 1 章 信号与系统的基本概念 图 1.3-5 连续信号的波形展缩 021f (t)t121021f (2t)t121024t421)21(f(a)(b)(c)第 1 章 信号与系统的基本概念 第 1 章 信号与系统的基本概念 第 1 章 信号与系统的基本概念 例例 1.3-1 已知信号f(t)的波形如图1.3-6(a)所示，试画出f(1-2t)的波形。 解：解： 一般说来，在t轴尺度保持不变的情况下，信号f(at+b)(a0)的波形可以通过对信号f(t)波

14、形的1。平移（）、2。翻转(若a0)乘-13。展缩（）变换得到。根据变换操作顺序不同，可用多种方法画出f(1-2t)的波形。第 1 章 信号与系统的基本概念 (1) 按“翻转-展缩-平移”顺序。 先翻转：乘-1将f(t)变为f(-t)波形。然后，展缩：2，得到f(-2t)波形；最后：平移加1变为f(1-2t) 信号的波形变换过程如图1.3-6所示。0 1f (t)t102 1f ( 2 t)t102 1f (t)t1 211 11 1 10f (1 2t)t11 12121(a)(b)(c)(d)第 1 章 信号与系统的基本概念 图 1.3-7 例1.3-1用图之二 0 1f (t 1 )t1

15、02 1f (t 1 )t102 1f (t)t1 211 11 1 10f (1 2t)t11 12121(a )(b )(c )(d )(2) 按“平移-翻转-展缩”顺序。即：“加1- 乘-1- 2”顺序得到f(1-2t)的波形。 信号波形的变换过程如图1.3-7所示。第 1 章 信号与系统的基本概念 (3) 按“展缩-平移-翻转”顺序。即：“2-加1- 乘-1”顺序得到f(1-2t)的波形。 信号波形的变换过程如图1.3-8所示0f (2 t)t10 1f (2 t 1 )t02 1f (t)t111 11 1 10f (1 2t)t11 1212121212121(a )(b )(c

16、)(d )第 1 章 信号与系统的基本概念 1.3.3 信号的导数和积分信号的导数和积分 连续时间信号连续时间信号f(t)的导数的导数 )()()()1(tfdtdtfty图 1.3-9 信号f1(t)、f2(t)、f3(t)的波形 第 1 章 信号与系统的基本概念 连续时间信号f(t)的积分 tdxxfty)()( 产生另一个连续时间信号，其任意时刻t的信号值为f(t)波形在(-, t)区间上所包含的净面积。 第 1 章 信号与系统的基本概念 图 1.3-10 信号的微分和积分(a) 信号f(t)； (b) 信号的微分； (c) 信号的积分 f (t)1t122121200121212112

17、3123450)() 1(tf)() 1 (tf(a)(b)(c)tt第 1 章 信号与系统的基本概念 1.3.4 信号的差分和迭分信号的差分和迭分 1. 差分运算差分运算按照连续时间信号的导数定义 ttfdttdft)(lim)(0就离散信号而言，可用两个相邻序列值的差值代替f(t)， 用相应离散时间之差代替t，并称这两个差值之比为离散信号的变化率。根据相邻离散时间选取方式的不同，离散信号变化率有如下两种表示形式： 第 1 章 信号与系统的基本概念 ) 1() 1()()() 1()() 1()(kkkfkfkkfkkkfkfkkf考虑到上面两式中(k+1)-k=k-(k-1)=1，因此，相

18、邻两个序列值的变化率也就是这两个序列值之差，故称该操作为差分运算 第 1 章 信号与系统的基本概念 (1) 前向差分： )() 1()(kfkfkf(2) 后向差分： ) 1()()(kfkfkf第 1 章 信号与系统的基本概念 图 1.3-11 信号的差分 f (k)2110323456k1.52.52112f (k)21032345 6k11023456k0.512311.5273110.521.52(a)(b)(c)1f (k)第 1 章 信号与系统的基本概念 如果对差分运算得到的离散信号继续进行差分操作，可以定义高阶差分运算。 对于前向差分有 第 1 章 信号与系统的基本概念 同理，同

19、理， 对于各阶后向差分可表示为对于各阶后向差分可表示为 第 1 章 信号与系统的基本概念 2. 迭分运算迭分运算仿照连续时间信号积分运算的定义 )(lim)()(fdxxftyt在离散信号中，最小间隔就是一个单位时间，即=1， 可定义离散积分的运算为 knnfky)()(第 1 章 信号与系统的基本概念 图 1.3-12 离散信号的迭分 f (k)211023456ky(k)211023456k2211221332111(a)(b)1第 1 章 信号与系统的基本概念 1.4 阶跃信号和冲激信号阶跃信号和冲激信号 1.4.1 连续时间阶跃信号连续时间阶跃信号 图图 1.4-1 单位阶跃信号单位阶

20、跃信号 ttt111t0(a)(b)(c)ooo(t)(t)(tt0)第 1 章 信号与系统的基本概念 设图1.4-1(a)所示函数 110)(ttttt00 该函数在t时为常数1。在区间(0，)内直线上升，其斜率为1/。 第 1 章 信号与系统的基本概念 随减小，区间(0，)变窄，在此范围内直线上升斜率变大。 当0时， 函数(t)在t=0处由零立即跃变到1，其斜率为无限大， 定义此函数为连续时间单位阶跃信号，简称单位阶跃信号， 用(t)表示， 即 )0( 1)0(0)(lim)(0tttt第 1 章 信号与系统的基本概念 单位阶跃信号时移t0后可表示为 10)(0tt00tttt注意：注意：

21、 信号信号(t)在在t=0处和处和(t-t0)在在t=t0处都是不连续的。处都是不连续的。 第 1 章 信号与系统的基本概念 图 1.4-2 单边信号和区间分段信号 11f1(t)11sin 0tf2(t)otott011f3(t)0t12312(a)(b)(c)sin 0t第 1 章 信号与系统的基本概念 图1.4-2(a)和(b)所示的单边信号f1(t)和f2(t)： 第 1 章 信号与系统的基本概念 而图1.4-2(c)所示的区间分段信号f3(t)为 可应用几个不同时移的单位阶跃信号把f3(t)表示为 )3() 1()1(21)1()2()2(31)(3tttttttf0) 1(21)2

22、(31)(3tttfttt其他3112第 1 章 信号与系统的基本概念 1.4.2 连续时间冲激信号连续时间冲激信号 01)()(tdtdtptt其他0 当0时，矩形脉冲的宽度趋于零，幅度趋于无限大， 而其面积仍等于1。我们将此信号定义为连续时间单位冲激信号， 简称单位冲激信号或函数，用(t)表示，即 )(lim)(0tpt第 1 章 信号与系统的基本概念 图 1.4-3 单位冲激信号 t212op(t)to(t)(1)(a)(b)第 1 章 信号与系统的基本概念 函数的另一种定义是： 0)(1)(21tdtttt0021ttt定义表明函数除原点以外，处处为零，但其面积为1。 )(0100)(

23、tttdtxt第 1 章 信号与系统的基本概念 )()(lim)(lim)(lim)(000tdtdtdtdtdtdtptttettttet21lim)()/sin(lim)(1lim)(0002(高斯函数序列 ）(取样函数序列) (双边指数函数序列) 第 1 章 信号与系统的基本概念 1.4.3 广义函数和广义函数和函数性质函数性质函数按函数按导数性质分类为两类：性质分类为两类：常规函数与非常规函数。 常规函数：在间断点处的导数是不存在的。除间断点外， 自变量t在定义域内取某值时，函数有确定的值。非常规函数：如：1。单位阶跃信号(t)：在间断点处的导数是单位冲激信号，2。函数在其惟一不等于零

24、的点t=0处的函数值为无限大。人们将这类非常规函数称为奇异函数或广义函数。 第 1 章 信号与系统的基本概念 1. 广义函数的基本概念广义函数的基本概念 比较：普通函数：y=f(t)看成是对定义域中的每个自变量t， 按一定的运算规则f指定一个数值y的过程。广义函数：g(t)理解为是对试验函数集(t)中的每个函数(t)，按一定运算规则ng分配(或指定)一个数值ng(t)的过程。 g(t)定义为 )()()(tndtttgg第 1 章 信号与系统的基本概念 表 1.1 广义函数与普通函数的对应关系 第 1 章 信号与系统的基本概念 广义函数的基本运算包括： （1）相等）相等)()(21tgtg若若

25、),()(21tntngg则定义则定义（2）相加）相加若若则定义),()()(21tntntnggg)()()(21tgtgtg第 1 章 信号与系统的基本概念 (3) 尺度变换。 第 1 章 信号与系统的基本概念 2. 函数的广义函数定义函数的广义函数定义 按广义函数理论，函数定义为 )0()()(dttt0)(1)()(dttdtttp当0时，在(0, )区间上，(t)(0)，故有 00000)0()0(1lim)(1lim)()(limdtdttdtttp)(lim)(0tpt第 1 章 信号与系统的基本概念 3. 函数的性质函数的性质 性质性质1 函数的微分和积分 )0()()() 1

26、()()(dtttdttt式中，(0)是(t)的一阶导数在t=0时的值。通常称(t)为单位冲激偶， 用图1.4-4所示的图形符号表示。 第 1 章 信号与系统的基本概念 图 1.4-4 单位冲激偶(t) ot(1)(1) (t)第 1 章 信号与系统的基本概念 同理，由广义函数的微分运算定义，并考虑到()=0，单位阶跃信号(t)的导数可表示为 )0()()0()( )()()()(0dttdtttdttt第 1 章 信号与系统的基本概念 第 1 章 信号与系统的基本概念 性质性质2 函数与普通函数f(t)相乘 若将普通函数f(t)与广义函数(t)的乘积看成是新的广义函数， 则按广义函数定义和函

27、数的筛选性质， 有 dtttfdtttffttftdttttf)()()0()()()0()0()0()()()()()()(第 1 章 信号与系统的基本概念 根据广义函数相等的定义，得到 )()0()()(tfttf)()()()()()()()0()()0()()(00000tfdttttftttftttffdttfdtttf第 1 章 信号与系统的基本概念 例 1.4 1 试化简下列各信号的表达式。 第 1 章 信号与系统的基本概念 性质性质3 (t)函数与普通函数f(t)相乘 第 1 章 信号与系统的基本概念 根据广义函数相等的定义， 有 )()0( )( )0()( )(tftftt

28、f对上式两边在(-, )区间取积分 )0( )( )0( )( )0()( )(fdttfdttfdtttf同理， 将(t)换成(t-t0)， 重复上述推导过程 )()( )( )()( )(00000tttftttftttf)( )( )(00tfdttttf第 1 章 信号与系统的基本概念 性质性质4 尺度变换 设常数a0，按照广义函数尺度变换和微分运算的定义，可将(n)(at)表示为 第 1 章 信号与系统的基本概念 根据广义函数相等的定义， 可得到 )(11)()()(taaatnnn当n=0和1时，分别有 )(1)(taat)( 11)( taaat(1.4-36)第 1 章 信号与

29、系统的基本概念 性质性质5 奇偶性奇偶性 式(1.4 - 36)中，若取a=-1， 则可得 )() 1()()()(ttnnn显然， 当n为偶数时， 有 )()()()(ttnn, 4 , 2 , 0n当n为奇数时，有 )()()()(ttnn, 5 , 3 , 1n第 1 章 信号与系统的基本概念 例例 1.4 2 计算下列各式： 第 1 章 信号与系统的基本概念 第 1 章 信号与系统的基本概念 1.4.4 阶跃序列和脉冲序列阶跃序列和脉冲序列 1. 单位阶跃序列单位阶跃序列离散时间单位阶跃序列定义为 01)(k00kk第 1 章 信号与系统的基本概念 图 1.4-5 单位阶跃序列 0 1

30、23412(k)1k第 1 章 信号与系统的基本概念 2. 单位脉冲序列单位脉冲序列离散时间单位脉冲序列定义为 01)(k00kk图 1.4-6 单位脉冲序列 0 1231231k(t)第 1 章 信号与系统的基本概念 因为只有当k=0时(k)的值为1，而当k0时(k)的值均为零，所以任一序列f(k)与(k)相乘时，结果仍为脉冲序列，其幅值等于f(k)在k=0处的值，即 )()0()()(kfkkf而当f(k)与(k-m)相乘时，则有 )()()()(mkmfmkkf根据(k)和(k)的定义，不难看出(k)与(k)之间满足以下关系： knnk)()()() 1()()(kkkkf第 1 章 信

31、号与系统的基本概念 1.5 系系 统统 的的 描描 述述 1.5.1 系统模型系统模型 系统模型是指对实际系统基本特性的一种抽象描述。例：电系统， 1。它可以是由理想元器件互联组成的电路图；2。可以由基本运算单元(如加法器、乘法器、积分器等)构成的模拟框图；3。或者由节点、传输支路组成的信号流图；4。也可以是在上述电路图、模拟框图或信号流图的基础上，按照一定规则建立的用于描述系统特性的数学方程。 这种数学方程也称为系统的数学模型。 第 1 章 信号与系统的基本概念 如果系统只有单个输入和单个输出信号，则称为单输入单输出系统，如图1.5-1所示。如果含有多个输入、输出信号， 就称为多输入多输出系

32、统 .图 1.5-1 单输入单输出系统 单输入单输出系 统y( )f ( )第 1 章 信号与系统的基本概念 图 1.5-2 多输入多输出系统 多 输 入 多 输 出系 统y1( )f1( )f2( )fp( )y2( )yq( )第 1 章 信号与系统的基本概念 对于一个给定系统，如果在任一时刻的输出信号仅决定于该时刻的输入信号，而与其它时刻的输入信号无关，就称之为即时系统或无记忆系统；否则，就称为动态系统或记忆系统。 例如，只有电阻元件组成的系统是即时系统，包含有动态元件(如电容、 电感、 寄存器等)的系统是动态系统。 描述系统输入输出关系的数学模型(描述方程)称为系统的输入输出方程。 描

33、述系统输入、输出与内部状态变量之间关系的数学模型称为系统的状态空间方程。 第 1 章 信号与系统的基本概念 1.5.2 系统的输入输出描述系统的输入输出描述 1。如果系统的输入、输出信号都是连续时间信号，则称之为连续时间系统，简称为连续系统。 2。如果系统的输入、输出信号都是离散时间信号，就称为离散时间系统，简称离散系统。 3。由两者混合组成的系统称为混合系统。 第 1 章 信号与系统的基本概念 1. 系统的初始观察时刻系统的初始观察时刻 在系统分析中，将经常用到“初始观察时刻t0”或“初始时刻t0”一词，它包括两个含义。含义之一是以t0时刻为界，可将系统输入信号f(t)区分为f1(t)和f2

34、(t)两部分，即 )()()(21tftftf0)()(1tftf)(0)(2tftf00tttt00tttt第 1 章 信号与系统的基本概念 2. 连续系统输入输出方程连续系统输入输出方程 例例 1.5-1 简单力学系统如图1.5-3所示。在光滑平面上，质量为m的钢性球体在水平外力f(t)的作用下产生运动。设球体与平面间的摩擦力及空气阻力忽略不计。将外力f(t)看作是系统的激励， 球体运动速度看作是系统的响应。 根据牛顿第二定律，有 dttdmtmatf)()()()(1)( tfmt 第 1 章 信号与系统的基本概念 图 1.5-3 力学系统 v(t)f (t)m第 1 章 信号与系统的基

35、本概念 例例 1.5-2 图1.5-4是一个电路系统。其中，电压源us1(t)和us2(t)是电路的激励。若设电感中电流il(t)为电路响应，则由基尔霍夫定律列出节点a的支路电流方程为 第 1 章 信号与系统的基本概念 )(1)()(1)(1)(1)(221tultuturlctilctirctissslll 如果描述连续系统输入输出关系的数学模型是n阶微分方程，就称该系统为n阶连续系统阶连续系统。当系统的数学模型为n阶线性常系数微分方程时，写成一般形式有 nimjjjiitfbtya00)()()()( 式中，f(t)是系统的激励，y(t)为系统的响应，an=1。方程中， 。 若要求解n阶微

36、分方程，还需要给定n个初始条件y(0)，y(0)，, y(n-1)(0)。 )()()(tfdtdtfjjj)()()(tydtdtyiij第 1 章 信号与系统的基本概念 图 1.5-4 电路系统uc(t)ic(t)ri1(t)us1(t)lil(t)us2(t)alc第 1 章 信号与系统的基本概念 例例1.5-3 考察一个银行存款本息总额的计算问题。储户每月定期在银行存款。设第k个月的存款额是f(k)，银行支付月息利率为，每月利息按复利结算，试计算储户在k个月后的本息总额y(k)。 显然，k个月后储户的本息总额y(k)应该包括如下三部分款项： (1) 前面(k-1)个月的本息总额y(k-

37、1)；(2) y(k-1)的月息y(k-1)； (3) 第k个月存入的款额f(k)。于是有y(k)=y(k-1)+y(k-1)+f(k)=(1+)y(k-1)+f(k)即y(k)-(1+)y(k-1)=f(k) (1.5-6) 第 1 章 信号与系统的基本概念 例例 1.5-4 某养兔场每对异性兔子每月可繁殖一对新生兔(异性)，隔一个月后新生兔便具有生育能力。若开始养兔场有m对异性新生兔，第k个月从外地收购f(k)对异性新生兔，问k个月后养兔场的兔子对总数是多少? 设k个月后养兔场的兔子对总数为y(k)。因为在第k个月， 有y(k-2)对兔子具有生育能力，它们由原来的y(k-2)对变成2y(k

38、-2)对，其余的y(k-1)-y(k-2)对兔子没有生育能力，再考虑外购新生兔f(k)对，故第k个月月末的兔子对总数为y(k)=2y(k-2)+y(k-1)-y(k-2)+f(k)即y(k)-y(k-1)-y(k-2)=f(k) (1.5-7)第 1 章 信号与系统的基本概念 与连续系统类似，由n阶差分方程描述的离散系统称为n阶系统。当系统的数学模型(即输入输出方程)为n阶线性常系数差分方程时，写成一般形式有 mjjniijkfbikya00)()(式中，a0=1。 第 1 章 信号与系统的基本概念 1.5.3 系统的状态空间描述系统的状态空间描述 “状态”：n阶系统在tk时刻的状态是指该时刻

39、系统必须具有的n个独立数据，这组数据结合tk, t期间的输入就能完全确定系统在t时刻相应的输出。 描述系统状态随时间变化的一组独立变量称为系统的状态变量。如果系统具有n个状态变量x1(t)，x2(t)，xn(t)，则可将它们看成是矢量x(t)的各个分量，称x (t)为状态矢量，并记为 tnntxtxtxtxtxtxtx)(,),(),()()()()(2121第 1 章 信号与系统的基本概念 例例 1.5-5 对于图1.5-4所示的二阶电路系统，由节点a写出的方程(为了简便，方程中略去了信号自变量t)为 lcslcciruuiiuci11对回路l写出kvl方程 2sclluuilu)125 .

40、 1 (1111121sclslccululiurcicurcu第 1 章 信号与系统的基本概念 例如，当选取i1、ul和ic作为系统输出时，其表达式可写成 11121111111slclcslcsclsccsuriuriruuiiiuuuururruui可以选择uc(t)和il(t)作为该电路系统的状态变量，即 tlctitutx)()()(1.5-13)第 1 章 信号与系统的基本概念 式(1.5-12)表示状态变量一阶导数与状态变量和输入间的关系， 称为系统的状态方程状态方程。 求解此方程，需要知道状态变量的初始条件，通常称状态变量x (t)在初始观察时刻t=0 时的值x (0)为系统的

41、初始状态。考虑到在输入信号作用下，状态变量值在t=0处可能发生跳变或出现冲激信号，为此，分别考察初始时刻前一瞬间t=0-和后一瞬间t=0+时的情况，相应地称x (0-)和x(0+)为0-初初始状态始状态和0+初始状态初始状态。 第 1 章 信号与系统的基本概念 设初始观察时刻t0=0时，系统的响应y(t)是由历史输入和当前输入共同决定的，而0-初始状态x(0-)反映了历史输入对系统的全部作用效果，因此，也可将响应y(t)看成是由当前输入f(t)和0-初始状态x(0-)共同决定的，可以表示为 )(),0()(tfxtty0t式中t表示系统对f(t)和x(0-)的传输和变换作用。 第 1 章 信号

42、与系统的基本概念 如果当前输入信号接入时，系统的0-初始状态为零(xi(0-)=0， i=1, 2, , n)， 即系统在0-时刻没有储能(有时称这种系统为松弛系统)，则系统的响应仅由当前输入信号确定。我们定义这时的响应为系统的零状态响应零状态响应，记为yf(t)。即 )(0)0()(tfxttyf，0t 反之，如果系统没有接入当前输入信号，输出响应完全由0-初始状态所引起，这时的响应称为系统的零输入响应ht5ss， 记为yx(t)。 即 0)(),0()(tfxttyx0t第 1 章 信号与系统的基本概念 1.5.4 系统的框图表示系统的框图表示 表 1.2 常用的系统基本运算单元 第 1

43、章 信号与系统的基本概念 例例 1.5-6 某连续系统的输入输出方程为y(t)+a1y(t)+a0y(t)=f(t)试画出该系统的框图表示。 解解 将输入输出方程改写为 y(t)=f(t)-a1y(t)-a0y(t) （1.5-17）图图 1.5-5 式式(1.5-17)的系统框图的系统框图 y(t)(ty)(ty a1 a0f (t)第 1 章 信号与系统的基本概念 例例 1.5-7 某连续系统的输入输出方程为 y(t)+a1y(t)+a0y(t)=b1f(t)+b0f(t) 试画出该系统的框图表示。 解解 该系统方程是一个一般的二阶微分方程。方程中除含有输入信号f(t)外，还包含有f(t)

44、的导函数。对于这类系统，可以通过引用辅助函数的方法画出系统框图。设辅助函数x(t)满足 x(t)+a1x(t)+a0 x(t)=f(t) y(t)=b1x(t)+b0 x(t) (1.5-19)第 1 章 信号与系统的基本概念 图 1.5-6 式(1.5-19)的系统框图 y(t)(tx)(tx f (t) a1 a0b1b0 x(t)第 1 章 信号与系统的基本概念 如果已知系统的框图表示，同样可以采用辅助函数方法写出系统的输入输出方程。以图1.5-6所示的框图为例，设右边积分器的输出为辅助函数x(t)，在两个积分器的输入端得到x(t)和x(t)， 再在两个加法器的输出端写出两个等效方程，即

45、 x(t)=f(t)-a1x(t)-a0 x(t) (1.5-22)y(t)=b1x(t)+b0 x(t) (1.5-23) 因系统是二阶的，故输入输出方程应包括y(t)、 y(t)项， 式(1.5-23)可得y(t)=b1x(t)+b0 x(t) (1.5-24) y(t)=b1x(3)(t)+b0 x(t)(1.5-25) 第 1 章 信号与系统的基本概念 上式中的x(3)(t)表达式由式(1.5-22)求导函数得到， 即 x(3)(t)=f(t)-a1x(t)-a0 x(t)(1.5-26) 系统输入输出方程。具体过程是： 第 1 章 信号与系统的基本概念 将上述结论推广应用于n阶连续系

46、统。设n阶系统输入输出方程为 fbfbfbfbyayayaymmmmnnn01)1(1)(01)1(1)(图图 1.5-7 n阶系统框图表示阶系统框图表示 yf a1 a0b1x xx an1x(n1)x(n)bmx(n)b0第 1 章 信号与系统的基本概念 例例1.5-8 某离散系统框图如图1.5 - 8所示。试写出描述该系统输入输出关系的差分方程。 图 1.5-8 二阶离散系统框图表示 ddy(t)f (k) a1 a0b1x (k)x(k1 )x(k2 ) b0第 1 章 信号与系统的基本概念 解解 系统框图中有两个移位器，故系统是二阶系统。采用与连续系统中由框图列写微分方程相类似的方法

47、，在左边移位器的输入端引入辅助函数x(k)，则该移位器的输出为x(k-1)，右边移位器的输出为x(k-2)。 写出左边加法器的输出 )2() 1()()(01kxakxakfkx)()2() 1()(01kfkxakxakx)2() 1()(01kxbkxbky第 1 章 信号与系统的基本概念 第 1 章 信号与系统的基本概念 1.6 系统的特性和分类系统的特性和分类 1.6.1 线性特性线性特性 系统的基本作用是将输入信号(激励)经过传输、变换或处理后，在系统的输出端得到满足要求的输出信号(响应)。这一过程可表示为 f () y () 式中，y()表示系统在激励f()单独作用时产生的响应。信

48、号变量用圆点标记，代表连续时间变量t或离散序号变量k。 第 1 章 信号与系统的基本概念 如果系统的激励f()数乘(为任意常数)，其响应y()也数乘，就称该系统具有齐次性齐次性或均匀性均匀性。这一特性也可表述为 )()()()(ayafyf则系统具有齐次性。 第 1 章 信号与系统的基本概念 如果任意两个激励共同作用时，系统的响应均等于每个激励单独作用时所产生的响应之和，就称系统具有叠加性叠加性。或表述为 )()()(),(),()(),()(21212211yyffyfyf 则系统具有叠加性。式中，f1()，f2()表示两个激励f1()、 f2()共同作用于系统。 第 1 章 信号与系统的基

49、本概念 如果系统同时具有齐次性和叠加性， 就称系统具有线性特性。 或表述为 )()()(),(),()(),()(221122112211yayafafayfyf 式中，1、2为任意常数，则系统具有线性特性线性特性，表示系统响应与激励之间满足线性关系。 一个系统，如果它满足如下三个条件， 则称之为线性系统，否则称为非线性系统非线性系统。 第 1 章 信号与系统的基本概念 条件条件1 响应y()可以分解为零输入响应yx()和零状态响应yf()之和， 即y()=yx()+yf() 这一结论称为系统响应的可分解性可分解性， 简称分解性分解性。通常也称满足分解性条件的响应y()为完全响应。 条件条件2

50、 零输入线性, 即零输入响应 yx() 与初始状态 x(0-) 或 x(0) 之间满足线性特性。 条件条件3 零状态线性，即零状态响应yf()与激励f()之间满足线性特性。 第 1 章 信号与系统的基本概念 例例 1.6-1 在下列系统中，f(t)为激励，y(t)为响应，x(0-)为初始状态，试判定它们是否为线性系统。 (1) y(t)=x(0-)f(t)(2) y(t)=x(0-)2+f(t)(3) y(t)=2x(0-)+3|f(t)|(4) y(t)=af(t)+b 第 1 章 信号与系统的基本概念 解解 由于系统(1)不满足分解性； 系统(2)不满足零输入线性； 系统(3)不满足零状态

51、线性，故这三个系统都不是线性系统。 对于系统(4)， 如果直接观察y(t)f(t)关系，似乎系统既不满足齐次性，也不满足叠加性，应属非线性系统。但是考虑到令f(t)=0时，系统响应为常数b, 若把它看成是由初始状态引起的零输入响应时，系统仍是满足线性系统条件的， 故系统(4)是线性系统。通常，以线性微分(差分)方程作为输入输出描述方程的系统都是线性系统，而以非线性微分(差分)方程作为输入输出描述方程的系统都是非线性系统。 第 1 章 信号与系统的基本概念 1.6.2 时不变特性时不变特性 参数不随时间变化的系统，称为时不变系统时不变系统或定常系统定常系统，否则称为时变系统时变系统。 一个时不变

52、系统，由于参数不随时间变化，故系统的输入输出关系也不会随时间变化。如果激励f()作用于系统产生的零状态响应为yf()，那么，当激励延迟td(或kd)接入时，其零状态响应也延迟相同的时间，且响应的波形形状保持相同。也就是说， 一个时不变系统，若 第 1 章 信号与系统的基本概念 )()()()()()(dfddfdfkkykkfttyttfyf则对连续系统有 对离散系统有系统的这种性质称为时不变特性。 第 1 章 信号与系统的基本概念 图 1.6-1 系统的时不变特性 ot1tf (t)otd t1tf (t td)td时不变系统otyf(t)otyf(t td)td第 1 章 信号与系统的基本概念 例例 1.6-2 试判断以下系统是否为时不变系统。 (1) yf(t)=acosf(t) t0 (2) yf(t)=f(2t) t0 输入输出方程中f(t)和yf(t)分别表示系统的激励和零状态响应，a为常数。 第 1 章 信号与系统的基本概念 解解 (1) 已知设 )()()(cos)(cos)()()()(cos)()(1111dffdfdfttytyttfatfat