【第一方案】高三数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明第七节 数学归纳法（理）练习

1、第七节 数学归纳法（理）一、选择题(6×5分30分)1(2011·怀化模拟)用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xnyn能被xy整除”，在第二步时，正确的证法是()A假设nk(kN*)，证明nk1命题成立B假设nk(k是正奇数)，证明nk1命题成立C假设n2k1(kN*)，证明nk1命题成立D假设nk(k是正奇数)，证明nk2命题成立解析：A、B、C中，k1不一定表示奇数，只有D中k为奇数，k2为奇数答案：D2(2011·鹤壁模拟)用数学归纳法证明“1<n(nN*，n>1)”时，由nk(k>1)不等式成立，推证nk1时，左边应增加的项数是()A

2、2k1 B2k1C2k D2k1解析：增加的项数为(2k11)(2k1)2k12k2k.答案：C3(2011·巢湖联考)对于不等式<n1(nN*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n1时，<11，不等式成立(2)假设当nk(kN*)时，不等式成立，即<k1，则当nk1时，<(k1)1，当nk1时，不等式成立，则上述证法()A过程全部正确Bn1验得不正确C归纳假设不正确D从nk到nk1的推理不正确解析：在nk1时，没有应用nk时的假设，不是数学归纳法答案：D4(2011·漯河模拟)用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3(nN*)能被9整除

3、”，要利用归纳假设证nk1时的情况，只需展开()A(k3)3 B(k2)3C(k1)3 D(k1)3(k2)3解析：假设当nk(kN*)时，原式能被9整除，即k3(k1)3(k2)3能被9整除当nk1时，(k1)3(k2)3(k3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k3)3展开，让其出现k3即可答案：A5(2010·潮州二模)证明1<n1(n>1)，当n2时，左边式子等于()A1 B1C1 D1解析：当n2时，左边的式子为11.答案：D6已知数列an的前n项和Snn2an(n2)，而a11，通过计算a2，a3，a4，猜想an()A. B.C. D.解析：由Snn2an，知

4、Sn1(n1)2an1Sn1Sn(n1)2an1n2anan1(n1)2an1n2an，an1an(n2)当n2时，S24a2，又S2a1a2a2，a3a2，a4a3.由a11，a2，a3，a4，猜想an.答案：B二、填空题(3×5分15分)7在数列an中，a1且Snn(2n1)an，通过计算a2，a3，a4猜想an的表达式是_解析：a1且Snn(2n1)·an，a1a22×(2×21)×a2，a2.又a1a2a33×(2×31)×a3，a3.又a1a2a3a44×(2×41)×a4，

5、a4.猜想：an.答案：an8(2011·绍兴月考)用数学归纳法证明12(nN，且n1)，第一步要证的不等式是_解析：n2时，左边11，右边2.答案：129(2011·东莞调研)已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，则第60个数对是_解析：本题规律：211；31221；4132231；514233241；一个整数n所拥有数对为(n1)对设123(n1)60，60，n11时还多5对数，且这5对数和都为12，12111210394857，第60个数对为

6、(5,7)答案：(5,7)三、解答题(共37分)10(12分)用数学归纳法证明下面的等式：12223242(1)n1·n2(1)n1.证明：(1)当n1时，左边121，右边(1)0·1，原等式成立(2)假设nk(kN*，k1)时，等式成立，即有12223242(1)k1·k2(1)k1.那么，当nk1时，则有12223242(1)k1·k2(1)k(k1)2(1)k1(1)k·(k1)2(1)k·k2(k1)(1)k，nk1时，等式也成立，由(1)(2)得对任意nN*有12223242(1)n1·n2(1)n1.11(12分

7、)(2011·东北六校联考)设数列an的前n项和为Sn，且方程x2anxan0有一根为Sn1，n1,2,3，.(1)求a1，a2；(2)猜想数列Sn的通项公式，并给出严格的证明解析：(1)当n1时，x2a1xa10有一根为S11a11，于是(a11)2a1(a11)a10，解得a1.当n2时，x2a2xa20有一根为S21a2，于是(a2)2a2(a2)a20，解得a2.(2)由题设(Sn1)2an(Sn1)an0，Sn22Sn1anSn0.当n2时，anSnSn1，代入上式得Sn1Sn2Sn10.由(1)得S1a1，S2a1a2.由可得S3.由此猜想Sn，n1,2,3.下面用数学归

8、纳法证明这个结论()n1时已知结论成立()假设nk(kN*，k1)时结论成立，即Sk，当nk1时，由得Sk1，即Sk1，故nk1时结论也成立综上，由()、()可知Sn对所有正整数n都成立12(13分)(2011·温州模拟)已知f(x)，nN*，试比较f()与的大小，并且说明理由解析：f()1，而1，f()与的大小等价于2n与n2的大小当n1时，21>12；当n2时，2222；当n3时，23<32；当n4时，2442；当n5时，25>52.猜想当n5时，2n>n2.以下用数学归纳法证明：当n5时，由上可知不等式成立；假设nk(k5，kN*)时，不等式成立，即2k>k2，则当nk1时，2k12·2k>2