小学奥数解题方法大全4分解

1、41、简单方程的解法【一元一次方程解法】求方程的解(或根)的过程，叫做解方程。解一元一次方程的一般步骤(或解法)是：去分母，去括号，移项，合并同类项，两边同除以未知数x的系数。例如，解方程-卫生=2解去分母，两边同乘以6,得3(x-9)-2(11-x)=12去括号，得3x-27-22+2x=12移项，得3x+2x=12+27+22合并同类项，得5x=61两边同除以5,得x=即m=12因此，原方程的解(或根)是“121【分式方程解法】分母中含未知数的方程是“分式方程”。解分式方程的一般步骤(或方法)是：(1)方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；(2)解这个整式方程；(3)把整式方程

2、的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根，是原方程的增根，必须舍去。例如，解方程？=七.xx-2解方程两边都乘以x(x-2),约去分母，得5(x-2)=7x解这个整式方程，得x=-5,检验：当x=-5时,x(x-2)=(-5)(-5-2)=35W0,所以，-5是原方程的根。又如，解方程x+Zx一4x_4解方程两边都乘以(x+2)(x-2),即都乘以(x2-4),约去分母，得(x-2)2-16=(x+2)2解这个整式方程，得x=-2o检验：当x=-2时，(x+2)(x-2)=0,所以，-2是增根，原方程无解。8042、加法运算定律【加法交换律】两个数相加，交换加数的位置，它们的和

3、不变。这叫做“加法的交换定律”简称“加法交换律”。加法交换律用字母表达，可以是a+b=b+a。例如：864+1，236=1，236+864=2，100【加法结合律】三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加，它们的和不变。这叫做“加法的结合定律”，简称“加法结合律”。加法结合律用字母表达，可以是(a+b)+c=a+(b+c)。例如：(48928+2735)+7265=48928+(2735+7265)=48928+10000=5892843、几何图形旋转【长方形（或正方形）旋转】将一个长方形（或正方形）绕其一边旋转一周，得到的几何体是“圆柱”。如图1.

4、37,将矩形ABC啜AB旋转一周，得圆柱AR其中AB为圆柱的轴，也是圆柱的高BC或AC是圆柱底面圆的半径,CD叫做圆柱的母线。图L37【直角三角形旋转】将一个直角三角形绕着它的一条直角边旋转一周，所形成的几何体是“圆锥”。例如图1.38,将直角三角形ABC绕直角边AC旋转一周，便形成了圆锥AG其中AC是圆锥的轴，也是圆锥的高；CB是圆锥底面的半径；AB叫做圆锥的母线。【直角梯形旋转】将一个直角梯形绕着它的直角腰旋转一周所形成的几何体，叫做“圆台”。例如图1.39,将直角梯形ABCDIg着它的直角腰AB旋转一周。便形成了圆台AR其中，AB是圆台的轴，也是圆台的高，上下底ADBC分别是圆台上、下底

5、面圆的半径，斜腰DC是圆台的母线。【半圆旋转】将一个半圆绕着它的直径旋转一周所形成的几何体，叫做“球”。例如图1.40,半圆绕着它的直径AB旋转一周，便形成了球Q原来的半圆圆心O是球心;原来半圆的半径和直径，分别叫做球的半径和直径；原来半圆的直径也是球的轴和直径。图 1.4044、几何图形的计数【点与线的计数】例1如图5.45,每相邻的三个圆点组成一个小三角形，问：图中是这样的小三解形个数多还是圆点的个数多？（全国第二届“华杯赛”决赛试题）讲析：可用“分组对应法”来计数。将每一排三角形个数与它的下行线进行对应比较。第一排三角形有1个，具下行线有2第二排三角形有3个，具下行线有3点；第三排三角形

6、有5个，具下行线有4点；以后每排三角形个数都比它的下行线上的点多。所以是小三角形个数多。例2直线m上有4个点，直线n上有5个点。以这些点为顶点可以组成多少个三角形？（如图5.46）图546（哈尔滨市第十一届小学数学竞赛试题）讲析：本题只要数出各直线上有多少条线段，问题就好解决了。直线n上有5个点，这5点共可以组成4+3+2+1=10（条）线段。以这些线段分别为底边，m上的点为顶点，共可以组成4X10=40（个）三角形。同理，m上4个点可以组成6条线段。以它们为底边，以n上的点为顶点可以组成6X5=30（个）三角形。所以，一共可以组成70个三角形。【长方形与三角形的计数】例1图5.47中的正方形

7、被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点，以其中不在一条直线上的3点为顶点，可以构成三角形。在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？（全国第三届“华杯赛”复赛试题）讲析：阴影部分三角形面积为gX2X3=3,于是，凡是底为2,高2为3的三角形，或者高为2,底为3的三角形，都符合要求。底边长为2,高为3的三角形有2X4X4=32（个）；高为2,底边长为3的三角形有8X2=16（个）。所以，包括图中阴影部分三角形共有48个。例2图5.48中共有个三角形。HD图548（现代小学数学）邀请赛试题）讲析：以AB边上的线段为底边，以C为顶点共有三角形6个；以AB边上的线段为底边，分别以G

8、H、F为顶点共有三角形3个;以BD边上的线段为底边，以C为顶点的三角形共有6个。所以，一共有15个三角形。例3图5.49中共有个正方形。（现代小学数学邀请赛试题）讲析：可先来看看图5.50的两个图中，各含有多少个正方形。图5.50（1）中，正方形个数是6X3+5X2+4X1=32（个）；图5.50（2）中，正方形个数是4X4+3X3+2X2+1X1=30（个）如果把图5.49中的图形，分成5X6和4X11两个长方形，则：5X6的长方形中共有正方形5X6+4X5+3X4+2X3+1X2=70（个）；4X11的长方形中共有正方形4X11+3X10+2X9+1X8=100（个）两个长方形相交部分4X

9、5的长方形中含有正方形4X5+3X4+2X3+1X2=40(个)。所以，原图中共有正方形70+100-40=130（个）。例4平面上有16个点，排成一个正方形。每行、每列上相邻两点的距离都相等如图5.51（1）,每个点上钉上钉子。以这些点为顶点，用线将它们围起来，一共可围成个正方形。（小学生科普报奥林匹克通讯赛试题）讲析：能围成图5.51（2）的正方形共14（个）；能围成图5.51 （3）的正方形共2 （个）；能围成图5.51 （4）的正方形共4 （个）。所以，一共可围成正方形20个(2)(4)图551【立体图形的计数】例1用125块体积相等的黑、白两种正方体，黑白相间地拼成一个大正方体（如图

10、5.52）那么，露在表面上的黑色正方体的个数是。图5.52（1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题）讲析：本题要注意不能重复计数。八个顶点上各有一个黑色正方体，共8个；每条棱的中间有一个黑色正方体，共12个；除上面两种情况之外，每个面有5个黑色正方体，共5X6=30（个）。所以，总共有50个黑色正方体露在表面上。例2把1个棱长为3厘米的正方体分割成若干个小正方体，这些小正方体的棱长必须是整数。如果这些小正方体的体积不要求都相等，那么，最少可以分割成个小正方体。（北京市第九届“迎春杯小学数学竞赛试题）讲析：若分成|XXX|的小正方体，则共可分成27个。但是分割时，要求正方体尽可能地少，也就是说能

11、分成大正方体的，尽可能地分。则在开始的时候，可分出一个2X2X2的正方体（如图5.53）,余下的都只能分成1X1X1的正方体了。所以，最少可分成20个小正方体。45、几何体侧面展开【正棱柱、圆柱侧面展开】正棱柱（底面是正多边形，侧棱与底面垂直的棱柱）和圆柱的侧面展开，摊在同一个平面上，是一个矩形。矩形的上、下对边，是柱体上、下底面的周长;矩形左右两对边，是柱体的侧棱或母线。例如图1.41,将正六棱柱ABCDEFA扒扒打技杓徐霸仓短。按牟嗝嬲箍谕黄矫嫔希愠闪司酰蜗iA拍1amA。图中画出的是棱柱侧面展开图。圆柱侧面展开后，也是一矩形，只是中间没有那些虚线。CK；D1.41【正棱锥侧面展开】正n棱

12、锥（底面为正n边形，顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥）侧面展开，摊在同一平面上，是顶点公共、腰与腰相连的n个全等的等腰三角形。例如图1.42,将正三棱锥S-ABC的侧面展开，摊在同一个平面上，便形成了三个全等的等腰三角形SABSBC?口scaJMEH夹巍图L42【圆锥侧面展开】圆锥侧面展开，摊在同一个平面上，变成的是一个扇形。扇形的弧长是圆锥底面圆的周长，扇形的两条半径，是圆锥的母线。例如图1.43,将圆锥SO的侧面展开，摊在同一个平面上，便成了扇形SAA,它的弧AA=2兀QA=2冗曲它的半径是圆锥母线SA©这扇形两半径SASA按募薪铅瓢砂聪旅娴三阶蛹扑悖驾2兀r180°

13、;9=X1冗式中r是圆锥底面圆半径，l是圆锥母线的长n棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面n个全等的等腰梯形，并且腰腰相连。【正棱台侧面展开】正n棱台（用一平行于正问的几何体）侧面展开，摊在同一个平面上，得到的是例如图1.44,将正三棱台AB)A必扒授牟嗝嬲簸谕黄矫娱希阈纬闪烁猛加冷叩耐夹蛊恕图144【圆台侧面展开】圆台侧面展开，摊在同一个平面上的图形，是圆环的一部分，叫做“扇环”。这个扇环像梯形，它的两“腰”是圆台的母线，它的上、下“底”是两条弧，其弧长分别是圆台上、下底面圆的周长。例如图1.45,将圆台OO的侧面展开，摊在同一个平面上，就形成了此图右边的扇环。其中腰A/口是圆台的母线；上底圆

14、孤1】是上底面圆的周长，即A1=2冗OiAi=2n”，下底圆机A2AA是下底面圆的周长，即A2A2=2冗OrAz=2兀r下。图1.4546、几何公式【平面图形计算公式】一般的平面图形计算公式，如下表。名称图/周长公式面积公式长方蔻(矩弗)口b周长二aC)面积二曲周长=购面积口一三角形军周长二W牝丸1面积工彳®平行四边形/K/b周长=2Ctt+b)面积个,h名热图形周长公式面积公式梯形b胆。a周长=&#)+c+d面积=(a+b)h£菱形丸泠CB周(4a面积=jAC-BD圆&周长工2再r面积二2几F扇形上卷B1cn®r1=AB=130周长-2r+1ii

15、Jtr2面积三下犷【立体图形计算公式】(1)柱体公式。名称直观图形表面展开国表面积体积长方体ac味S表=(ab+bc-h:b)x2V体工而口名称直观图形表面展开图表面积体积正力住【立方体）0电S双正柱棱体铮aCS袤3ISO'naJct十/180cna2ctg-n114圆柱勘Q2ri2）S残=2江rli+2兀X2V超二九ph（2）锥体公式。正n棱锥（如图1.13）的公式:a180"nactg3180。nactg圆锥的公式（圆锥如图1.14所示）：且图1,13S禹=7Trl+7rr3；1%V济=一元/瓦弹3（3）棱台、圆台公式图L15正n棱台（如图1.15）的公式:180

16、6;Inctg=-n(a+b)h;+(a2+b2)d_jTT上=心上3下+s下)11(613下是上底.下底的面积)圆台（如图1.16）的公式:耳二冗（口+口）1+7T（r；+r=）;（4）球的计算公式。球的图形如图1.17所示。附录：其他常用公式【整数约数个数公式】一个大于1的整数，约数的个数等于它的质因数分解式中，每个质因数的个数(指数)加1的连乘积。例如，求4500的约数个数。解.4500=2X32X53.4500的约数个数是(2+1)X(2+1)X(3+1)=36(个)。【约数之和的公式】一个大于1的自然数N,将它分解质因数为N=P3以Pgy其中R，匕、玲P小为不同的质数，力、附，的、为

17、自然数，则N的所有约数的和为S(N),可用下列公式计算：S(N)=SP；J-1-1P_1P2-1P3-1Ph-1例如求1992的所有约数的和。解S(1992)=S(23x31X831)24-1-183-1=XX2-13-183-1=5040.【分数拆项公式】在奥赛中，为使计算简便，经常用到下面四个分数拆项公式：(1)连续两个自然数积的倒数，可拆成较小的自然数的倒数，减去较大的自然数的倒数。即111nX(n+1)nn+1/1111小'62X323(2)连续三个自然数的积的倒数，可拆成前两个自然数的积的倒数，减去后两个自然数的积的倒数的差的一半。即nX(n+l)X(n+2)1= 7Xn 然

18、(口 + 1) (n + 1)(n + 2)例如=1. = 1力乂 '24 2X 3X421 1 1 1“2X3 3X4， 12 24(3)连续四个自然数的积的倒数，可拆成前三个自然数的积的倒数,减去后三个自然数的积的例数的差的热即1Mu+l)S+2)(n+3).3n(n+l)(n+2)-(n+l)(n+2)(n+3)311111例如一匚一乂r"刈'1202X3X4X53l2X3X43X4X5_1_1"72-180(4)一般分数拆项公式。当n、d都是自然数时，有d11_-n(n+d)nn+d或一d.一n(n+d)d'bn+d3311例如一=-=284

19、X74T1 _ 128 - 4X7121【堆垛计算公式】(1)三角形堆垛。计算每堆三角形物体总个数S时，可将底边个数”乘以(n+1)再乘以(n+2),然后除以6。用式子表示就是11(11+1)(11+2)s=1例如，“一些桔子堆成三角形堆垛，底边每边4个，顶尖1个(如图1.18)o桔子总数是多少个？”解依据三角形堆垛公式，得4X（4+1）X（4+2）二20（个）。（2）正方形堆垛。计算底层为正方形的堆垛物体总个数S时，可将底边个数n乘以底边数加0.5的和，再乘以底边个数加1的和，最后将乘积除以3。用式子表示，就是口（口+c.5）（n+1）S=例如，“一些苹果堆成正方形堆垛（如图1.19）,底层

20、每边放4个，顶尖放一个。苹果总数是多少个？”£11.19解依据公式，得4X(4+0,5)X(4+1)S=4X45X5*、_=j=3戈个)（3）长方形堆垛。计算底层为长方形（近似于横放的三棱柱形，图1.20o）的堆垛物体的总个数S时，可将底层宽边的个数m,长边的个数n2,按照下面的公式计算：图1.20ii®+1g-口J口（口+口现口+1）例如，“有一盘馒头，底边宽5个，长边上放8个，如图1.20所示，这盘馒头共有多少个？”解此题中，n1=5,n2=8。依据长方形堆垛公式，得5X（5+1）M（"»5X（5+05）X（5+l）s=二=+=45+55=100（个

21、）或者是5X（5+1）X （3X3-5 + 1）= 100 （个）（誓略）（4）梯形堆垛。计算梯形的堆垛（近似于棱台形堆垛）物体总个数S时，可将最上层总数S1,加上最下层总数S2后，乘以层数n,再除以2。（梯形堆垛如图1.21所示。）用式子表示就是例如，”一些酒坛，堆成梯形的堆垛（图1.21）,最上层为32只，最下层为45只，共堆有14层（每层差1只）。酒坛的总数是多少只？”解依计算公式，得S=厂乂14=539（只）（答略）【数线段条数的公式】若线段AB上共有n个分点(不包括AB端点)，则AB线段上共有的线段条数S,计算的公式是：S=(n+1)+n+(n-1)+-+3+2+1g+1)(口+2)

22、2例如，求下图(图1.22)中所有线段的条数。图1.2£解在线段AB上，共有五个分点。根据数线条数的公式，得S=(5+1)+5+4+3+2+1(5 + 1) X (5+ 2)=21 (答略)注意：这一公式，还可以用来数形如图1.23的三角形个数。图 1.23在这个图形中，因为底边BC上有4个分点，可依据数线段条数的计算公式，得三角形的个数为(4 +1) X (4 + 2)= 15(个)。(答略)【数长方形个数的公式】若长方形的一边有m个小格，另一边有n个小格，那么这个图形中长方形的总个数S为S=(m+m-1+m-2+3+2+1)x(n+n-1+n-2+3+2+1)m(m+1)n(n+

23、1)-X、-22例如，请数出下图1.24中共有多少个不同的长方形。解长方形ABC次边上有6个小格，宽边上有4个小格。根据数长方形总数的公式，可得6x(6+D4x(4+1)x=21X10=210(个)。(答略)注意：这一公式，还可以用来数形如图1.25中的梯形的个数图1.25显然，这个图形中除了ADE以外，其余均为大大小小的梯形。最大的梯形下底上有五个小格，腰边上有4个小格。利用数长方形个数的计算公式，可得梯形的总个数S为5X(51)x4X(4+1)一22=15X10=150(个)。(答略)【数正方形个数的公式】若一个长方形的长被分成了m等份，宽被分成了n(n<mi)等份(长和宽上的每一份

24、长度是相等的)，那么这个长方形中的正方形总数S为：S=mn+(m-1)(n-1)+(m-2)(n-2)+(m-n+1)x1特殊的，当一个正方形的边长被分成n等分时，则这个图形中正方形的总个数S为：Sa=n2+(n-I)2+(n-2)3+2+I2=口g+i)g+i)例1求下图中正方形的总个数（如图1.26）图1.26解图中AB边上有7个等分，AD边上有3个等份。根据在长方形中数正方形个数的公式,可得：S=7X3+6X2+5X1=21+12+5二38（个）。（答略）例2求下图（图1.27）中的正方形有多少个。Ui2T解图形中正方形每边上有4等分。根据数正方形个数的计算公式，得4X(4+l)X(2X

25、4+l)=30（个）（答略）【平面内n条直线最多分平面部分数的公式】平面内有n条直线，其中注意两条直线都不平行，每条直线都与其他直线相交，且不交同一点。那么，这几条直线将平面划分的部分数S为S=2+2+3+4+（n-1）+n例平面内有8条直线，它们彼此都相交，但不交于同一点，求这8条直线能把平面划分出多少个部分？解根据平面内n条直线，最多分平面部分数的计算公式，得S=2+2+3+4+5+6+7+8【n个圆将平面分成最多的部分数公式】若平面上有n个圆，每个圆都与其他圆相交，且不交于同一点，那么这个圆将平面划分的最多的部分数S为S=2+1X2+2X2+（n-1）X2=n2-n+2例在一个平面上有2

26、0个圆，这20个圆最多可将平面划分为多少个部分？解根据平面内n个圆将平面划分成最多的部分数的计算公式，可得S=2+1X2+2X2+19X2=202-20+2=400-20+2=382（块）（答略）【格点面积公式】每个小方格的面积都是1个面积单位的方格纸上，纵横两组平行线的交点，叫做“格点”，这样的方格纸，叫做“格点平面”。在格点平面上求图形的面积，可以按照上面的公式去计算：图形面积二图形内部格点数+图形周界上的格点数+2-1。例如图1.28,求格点平面内A、B两个图形的面积。解A图内部无格点,B图内部有9个格点；A图周界上有9个格点，B图周界上有7个格点根据格点面积公式，得:A图面积=9+2-

27、1=3.5（面积单位）B图面积=（9+7）+2-1=11.5（面积单位）（答略）如果格点是由形如“”或“二”构成（如图1.29）,且每相邻的三点所形成的三角形面积为1的等边三角形，则计算多边形面积公式为多边形面积=2X图形内部格点数+图形周界上格点数-2。47、几何公理、定理或性质【直线公理】经过两点有一条直线，并且只有一条直线。【直线性质】根据直线的公理，可以推出下面的性质：两条直线相交，只有一个交点。【线段公理】在所有连结两点的线中，线段最短。（或者说：两点之间线段最短。）【垂线性质】（1）经过一点，有一条而且只有一条直线垂直于已知直线。（2）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段

28、最短。（也可以简单地说成:垂线段最短。）【平行公理】经过直线外一点，有一条而且只有一条直线和这条直线平行。【平行公理推论】如果两条直线都和第三条直线平行，那么，这两条直线也相互平行。【有关平行线的定理】(1)如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行。(2)如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么，这条直线也和另一条垂直。【三角形的特性】三角形有不变形的特性，一般称其为三角形的稳定性。由于三角形有这特性，所以在实践中它有广泛的应用。【三角形的性质】三角形的性质(或定理及定理的推论)，一般有：(1)三角形任意两边的和大于第三边；三角形任意两边的差小于第三边。(2)三角形三内角之和等于1

29、80°。由三角形上述第(2)条性质，还可以推出下面的两条性质：三角形的一个外角，等于它不相邻的两个内角之和。如图1.1,/4=/1+/2。三角形的一个外角，大于任何一个同它不相邻的内角。如图1.1,/4>/1,/4>/2。图L1【勾股定理】在直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方。用字母表达就是a2+b2=c2。(a、b表直角边长，c表斜边长。)我国古代把直角三角形叫做“勾股形”，直立的一条直角边叫做“股”，另一条直角边叫做“勾”，斜边叫做“弦”。所以我国将这一定理称为“勾股定理”。勾股定理是我国最先发现的一条数学定理。而古希腊数学家毕达哥拉斯(Pythagor

30、as)较早地证明了这个定理。因此，国外常称它为“毕达哥拉斯定理”。【平行四边形的性质】(1)平行四边形的对边相等。(2)平行四边形的对角相等。(3)平行四边形邻角的和是180°。如图1.2,/A+/B=/B+/C=/C+/D=/D+/A=180°。(4)平行四边形的对角线互相平分。如图1.2,AO=COBO=DO平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心。BCH1.2【长方形的性质】长方形除具有平行四边形的性质以外，还具有下列性质：(1)长方形四个角都是直角。(2)长方形对角线相等。长方形是中心对称图形，也是轴对称图形。它每一组对边中点的连线, 【菱形的性质】菱形除具

31、有平行四边形的性质以外，还具有下列性质: (1)菱形的四条边都相等。(2)菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。BD, AO=CO BO=DOAC平分 / A和 / C, BD平分 / B 和 / D=都是它的对称轴例如图 1.3, ACX菱形是中心对称图形，也是轴对称图形，它每一条对角线都是它的对称轴。【正方形的性质】正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。(又称“求多边形内角【多边形内角和定理】n边形的内角的和，等于(n-2)180和”的公式。)例如三角形(三边形)的内角和是(3-2)X180°=180°四边形的内角和是(4-2)X180°

32、;=360°。【多边形内角和定理的推论】(1)任意多边形的外角和等于3600o这是因为多边形每一个内角与它的一个邻补角(多边形外角)的和为180°,所以，n边形n个外角的和等于n-180°-(n-2)180°=360°。(2)如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。例如图1.4,/1的两边分别垂直于/A的两边，则/1+/A=180°,即/1与/A互补。B图14又/2、/3、/4的两边也分别垂直于/A的两边，则/3和/A也互补，而/2=/A,/4=/A。【圆的一些性质或定理】(1)半径相等的两个圆是等圆；同圆或

33、等圆的半径相等。(2)不在同一直线上的三个点确定一个圆。(3)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。(4)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。(5)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。【轴对称图形的性质】轴对称图形具有下面的性质：(1)如果两个图形关于某直线对称，那么对应点的连结线段被对称轴垂直平分。例如图1.5,图中的AA对称点连结线段，被对称轴L垂直且平分，即L，AA',AP=PA。却.5(2)两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或其延长线相交，那么，交点在对称轴上。例如图1.5中，BA与B'A的延长线相交，交

34、点M在对称轴L上。(3)两个关于某直线对称的图形，一定是全等形。例如，图1.5中ABCfAB'C'全等。【中心对称图形的性质】如果把一个图形绕着一个点旋转180°后，它和另一个图形重合，那么，这两个图形就是关于这个点的“中心对称图形”。中心对称图形具有以下性质：(1)关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。例如，图1.6中对称点A与A',B与B',C与C',它们的连线都经过0(对称中心)，并且0A=0A,0B=0B,0C=0C。Ui6(2)关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一直线上)且相等。例如上图(图1

35、,6)中,B3BCfB9.CAfC7A)。48、和差积商的变化规律【和的变化规律】（1）如果一个加数增加（或减少）一个数，另一个加数不变，那么它们的和也增加（或减少）同一个数。用字母表达就是如果a+b=c,那么（a+d）+b=c+d；（a-d）+b=c-d。（2）如果一个加数增加一个数，另一个加数减少同一个数，那么它们的和不变。用字母表达就是如果a+b=c,那么（a+d）+（b-d）=c。【差的变化规律】（1）如果被减数增加（或减少）一个数，减数不变，那么，它们的差也增加（或减少）同一个数。用字母表达，就是如果a-b=c,那么（a+d）-b=c+d,（a-d）-b=c-d。（a>d+b）

36、（2）如果减数增加（或减少）一个数，被减数不变，那么它们的差反而减少（或增加）同一个数。用字母表达，就是如果a-b=c,那么a-（b+d）=c-d（a>b+d）,a-（b-d）=c+d。（3）如果被减数和减数都增加（或都减少）同一个数，那么，它们的差不变。用字母表达，就是如果a-b=c,那么（a+d）-（b+d）=c,（a-d）-（b-d）=c。【积的变化规律】（1）如果一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数不变，那么，它们的积也扩大（或缩小）同样的倍数。用字母表达，就是如果axb=c,那么（aXn）xb=cxn,（a+n）xb=c-n。(2)如果一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小同样

37、的倍数，那么它们的积不变。用字母表达，就是如果axb=c,那么(aXn)乂(b+n)=c,或(a+n)x(bxn)=c。【商或余数的变化规律】(1)如果被除数扩大(或缩小)若干倍，除数不变，那么它们的商也扩大(或缩小)同样的倍数。用字母表达，就是如果a+b=q,那么(aXn)+b=qxn,(a+n)+b=q+n。(2)如果除数扩大(或缩小)若干倍，被除数不变，那么它们的商反而缩小(或扩大)同样的倍数。用字母表达，就是如果a+b=q,那么a+(bxn)=q+n,a+(b+n)=qXn。(3)被除数和除数都扩大(或都缩小)同样的倍数，那么它们的商不变。用字母表达，就是如果a+b=q,那么(aXn)

38、+(bxn)=q,(a+n)+(b+n)=q。(4)在有余数的除法中，如果被除数和除数都扩大(或都缩小)同样的倍数，不完全商虽然不变，但余数却会跟着扩大(或缩小)同样的倍数。这一变化规律用字母表示，就是如果a+b=q(余r),那么(axn)+(bxn)=q(余rxn),(a+n)+(b+n)=q(余r+n)。例如，84+9=93,而(84X2)+(9X2)=96(3X2),(84+3)+(9+3)=91(3+3)。49、估值计算【精确度计算】例1计算1234567891011121父31211101987654321,它小数点后面的前三位数字是0(1991年全国小学数学奥林匹克初赛试题)讲析：

39、被除数和除数都有17位数，直接去除是极麻烦的。我们不妨将被除数和除数作适当的放缩，再去进行解答：原式的值1234+3121=0.3953原式的值1235+3122=0.3955所以，答案是3、9、5。例2以下四个数中有一个是304X18.73的近似值，请你估算一下，找出这个数。(1)570,(2)5697,(3)56967,(4)569673。(1989年日本小学数学总体评价测验题)讲析：在做近似数的乘除法时，先要估算结果的粗略值。18.73接近20,304接近300,300X20=6000,可知，乘积在6000左右。所以，答案是5697。【整数部分的估算】例1计算弓+：+9:+/+2

40、7;3吃它的整数部分是。(1990年全国小学数学奥林匹克初赛试题)讲析：注意到385=5X7X11,14-1+1=1,可得，236原式=+2+2+3乂3/jf1113b所以，整数部分是517例2已知S=f厂，S的整数部分是,H1-+198019811991(全国第三届“华杯赛”复赛试题)讲析：将分母运用扩缩法进行估算，可得121111112、-+.、19911980198119911980所以，_1_<S<_1rJP165<S<165,故S的整数部分是165。121£219301997例3(I+1|)+(l+l|7x2)+a+l|x3)+(1+:!+11)的结

41、果是X,那么，与X最接近的整数是o(1992年全国小学数学奥林匹克初赛试题)讲析：可将整数部分与分数部分分开计算，得IQOQX=11+_X(1+2+3+11)=24。9246答案是25。例4已知11x66+12x67+13x68+14x69+15x701rle*=_x100-11x65+12x66+13x67+14x6S+15x69问a的整数部分是多少？(全国第二届“华杯赛”决赛第一试试题)讲析：本题计算较繁。可先将分子变成两大部分，其中一部分与分母相同，另一部分不同。11x65 + 12x66 + 13x67 + 14x68 + 15x5911 x 65 + 12 x 66+13 x67 +

42、14 x 63 + 15x6911+12 + 13+14 + 15：、X11x65+12x66+13x67+14x68+15x69100=100+11x100+12x100+13x100+14x100+15x100=100+1 +11x65+12x66+13x67+14x68+15x6911x35+12x34+13x33+12x32+11x3111x65+12x66+13x67+14x6S+15x69所以，a的整数部分是101。i929例5有30个数；164,1.64+*1,64+,，1,64+.如303030果取每个数的整数部分，并将这些整数相加，那么，这些整数之和是<（1990年全国

43、小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：解题的关键是要找出从哪一个数开始，整数部分是2。因为1.54+0.36=2,而0.%=火口所以，1.64+垩以前的数（包括3030本身），整数部分都是1。在此以后的数，整数部分都是2。故答案是49。例5在1、LLL中，选出若干个数，使得它们的和2399100大于3,至少要选个数。（1989年全国小学数学奥林匹克复赛试题）讲析：要使选的个数尽量少，所选的数必须尽量大。由此可得厂/11JL/1VlJ1、（2+3+6）+C4+8）+C5+10）+（7+二2675+o6350、根据和、差、积、商变化规律速算【根据和的变化规律速算】和的变化规律有以下两条。（1）如果一个加

44、数增加（或减少）一个数，另一个加数不变，那么它们的和也增加（或减少）同一个数。利用这一规律，可以使计算简便、快速。例如645+203=645+200+3=8453=848397468=400468-3=868-3（2）如果一个加数增加一个数，另一个加数减少同一个数，那么它们的和不变。利用这一规律，也可以使计算简便、快速。例如657309=（657+9）（309-9）=666+300=966154286=（1544）+（2864）=150290=（150-10）（29010）=140300=440【根据差的变化规律速算】差的变化规律有如下三条。（1）如果被减数增加（或减少）一个数，那么它们的差也

45、增加（或减少）同一个数。运用这一规律的速算，如804355=8003554=4454二449593264=6002647=3367=329（2）如果减数增加（或减少）一个数，被减数不变，那么它们的差反而减少（或增加）同一个数。运用这一规律的速算，如675298=6753002=3752=377458209=4582009=2589=249（3）如果被减数和减数都增加（或都减少）同一个数，那么它们的差不变。运用这一规律的速算，如3520984=（352016）-（98416）=35361000=2526803345=(8033)-(3453)=800342=458【根据积的变化规律速算】积的变化

46、规律有如下两条。(1)如果一个因数扩大(或者缩小)若干倍，另一个因数不变，那么它们的积也扩大(或者缩小)同样的倍数。运用这一规律的速算，如175X4=(25X7)X4=(25X7)+25X4X25=7X4X25=7X(4X25)=70068X25=68X100+4=6800+4=1700(2)如果一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小同样的倍数，那么它们的积不变。运用这一规律速算，如240X25=(240+4)义(250X4)=60X1000=6000045X14=(45X2)义114+2)=90X2=180【根据商的变化规律速算】商的变化规律，有如下三条：（1）如果被除数扩大（或者缩小）若干倍，

47、除数不变，那么它们的商也扩大（或者缩小）同样的倍数。运用这一规律速算，如5400+9=（5400+100）-9X100=54+9X100=6X100=600（2）如果除数扩大（或者缩小）若干倍，被除数不变，那么它们的商反而会缩小，（或者扩大）同样的倍数。运用这一规律速算，如3600+25=3600+（25X4）X4=3600+100X4=36X4=144（3）被除数和除数都扩大（或者都缩小）同样的倍数，它们的商不变。运用这一规律速算，如69000023000=（6900001000）+（230001000）=690+23=3012000+25=（12000X4）+（25X4）=48000+10

48、0=480注意：在有余数的除法里，如果被除数和除数都扩大（或者都缩小）同样的倍数，不完全商虽然不会变化，但余数会跟着扩大（或者缩小）同样的倍数。要使余数不变，所得的余数必须缩小（或者扩大）同样的倍数。而导/°弘'所好少要选“个数。51、割补、拼接、截割【割补】在数学中，把图形的某个部分割下，补到某一个新的位置，往往可以使新的图形，更便于发现数量关系，从而较快地解答出数学题目。例如，在图4.38中，三个圆的面积都是12.56平方厘米，且三个圆两两相交，三个交点都是圆心，求三块阴影部分的面积。图4,38从表面上看，题目是无法解答的。但只要仔细观察就能发现，根据轴对称性及割补方法，

49、题目可作如下的解答：如图4.39,将图形1翻折到图形2的位置；再将图形3和4割下来，合并在一起，补到图形5的位置上。于是，原来的阴影部分就正好拼成了一个半圆。所以，三块阴影部分的面积是12.56+2=6.28（平方厘米）图439【拼接，截割】(1)平面图形的拼接、截割。拼接和截割，是两个相反的过程。平面图形的拼接是把两个或两个以上的图形拼接在一起；平面图形的截割，是把一个图形截割成两个或两个以上的图形。平面几何图形拼接或截割以后，面积和周长的变化有以下规律：两个或两个以上的图形拼接成一个新的几何图形，它的面积等于原来若干个几何图形的面积之和；而周长却会比原图形周长之和要短。如果拼接部分的总长度

50、为a,那么拼接后减少的周长就是2a。把一个平面几何图形截割以后，各小块图形的面积之和，等于原图形的面积；但截割后各小块几何图形的周长之和，要比原图形的周长要长。若所有截割部分长度为a,那么截割后增加的长度就是2a。依据这一规律，可快速地解答一些几何问题。例如，如图4.40,正方形被均分为大小、形状完全相同的三个长方形，每个长方形周长都是48厘米，求正方形的周长。&40解题时，可以把大正方形看成是三个小长方形拼接而成的，三个小长方形的拼接部分，都是小长方形的长，长度等于大正方形的“边长”。拼接以后的图形(大正方形)的周长，比原来的三个小长方形的周长之和，要减少4个“边长”，而这4个“边长

51、”正好相当于大正方形的周长。这就是说，三个小长方形的周长之和里，刚好包含有两个大正方形的周长。所以，正方形的周长是48X3+2=144+2=72（厘米）（2）立体图形的拼接、截割。立体几何图形拼接或截割以后，它的体积和表面积的变化，有以下规律：两个或两个以上的几何体，拼接成一个新几何体以后，它的体积等于原来若干个几何体体积之和；但是它的表面积却比原来若干个几何体的表面积之和要小。如果重叠部分为S,那么减少的面积就是2S。把一个几何体截割以后，各部分的体积之和等于原几何体体积；但截割后的表面积之和，却大于原几何体的表面积。如果其中的截割面积为S,那么，增加白表而积就是2S。依据这一规律，可以较快

52、地解答出某些题目。例如，如图4.41,把一个棱长为5厘米的正方体木块锯成两个形状大小完全相同的长方体（不计损耗），表面积会增加多少平方厘米？图441因为正方体木块的截割面积为5X5=25（平方厘米），依据上面的规律可知，表面积会增加25X2=50（平方厘米）又如，把长10厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体木块截成形状、大小相同的两个长方体，表面会增加多少平方厘米？由于此题未交代从何处下手截割，所以要分三种情况来解答题目。左）（中）宙）图4.42如图4.42左图的截法，表面积会增加5X6X2=30X2=60（平方厘米）如图4.42中图的截法，表面积会增加10X6X2=60X2=12（。方厘米）如图

53、4.42右图的截法，表面积会增加10X5X2=50X2=100（平方厘米）52、改变运算种类在四则运算中，改变原题的运算种类，如以乘代加、以加代减、以加代乘、以减代除，往往可使一些题目的计算变得比较简便、快速。【以乘代加】几个加数虽然不同，但数字大小比较接近的时候，可以选择一个数作“基准数”，采用“以乘代加”的方法速算。例如 1） 1）1718161714+1913+14解题时，可以选择17为基准数，以乘代加解答如下。1718+161714+19+1314=17X8+1-1-3+2-4-3=17X8-8=128 2） 325+324+318+327+323+320解题时，可以选取323作为基准数，然后解答。325+324+318+327+323+320=323X6+2+1-5+4-3=323X6+(2+1+4)-(5+3)=323X6+7-8=323X6-1二1937运用基准数以乘代加速算，对于一些随报随记而且数字又很接近的连加运算，是极为方便、快速的，它的算法可以是：选定一个数作基准数，把比基准数多的记“十”，比基准数少的记“一”，随报随算它的累计数。当要加的数报完后，