立体几何中的向量方法之方向向量与法向量平行垂直

1、3.23.2立体几何中的向立体几何中的向量方法量方法-方向向量与法向量方向向量与法向量lAPa 直线的方向向量直线l的向量式方程 换句话说换句话说, ,直线上的非零向量叫做直线的直线上的非零向量叫做直线的 方向向量方向向量APta 一、方向向量与法向量直线的直线的方向方向向量不唯一向量不唯一2、平面的法向量、平面的法向量Aa lP平面平面 的向量式方程0aAP 换句话说换句话说, ,与平面垂直的非零向量叫做平面与平面垂直的非零向量叫做平面的的法向量法向量注：平面注：平面 的法向量不唯一几点注意：几点注意：1.法向量一定是非零向量法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都互一个平面的所有法

2、向量都互相平行相平行;3.向量向量 是平面的法向量，向是平面的法向量，向量量 是与平面平行或在平面内，是与平面平行或在平面内，则有则有n m 0n m 巩固性训练11.设设 分别是直线分别是直线l1,l2的方向向量的方向向量,根据下根据下 列条件列条件,判断判断l1,l2的位置关系的位置关系.ba,)3, 0 , 0(),1 , 0 , 0()3()2 , 3 , 2(),2, 2 , 1 ()2()6, 3, 6(),2, 1, 2() 1 (bababa平行平行垂直垂直平行平行巩固性训练21.设设 分别是平面分别是平面,的法向量的法向量,根据根据 下列条件下列条件,判断判断,的位置关系的位

3、置关系.vu,)4, 1 , 3(),5 , 3, 2()3()4 , 4, 2(),2, 2 , 1 ()2()4 , 4, 6(),5 , 2 , 2() 1 (vuvuvu垂直垂直平行平行相交相交oxyzABCO1A1B1C1例1. 如图所示, 正方体的棱长为1直线OA的一个方向向量坐标为_平面OABC 的一个法向量坐标为_(1)平面AB1C 的一个法向量坐标为_(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0)令令x、y、z中某个为定值中某个为定值 练习练习 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是是正方形，侧棱正方形，侧棱PD底面底面ABCD，PD=DC=1 ,

4、E是是PC的中点，的中点， 求平面求平面EDB的一个法向量的一个法向量.ABCDP PE E解：如图所示建立空间直角坐标系解：如图所示建立空间直角坐标系.(0,0,0),(0,0,1),1 1(0, )2 2PE依依题题意意得得D DB B( (1 1, , 1 1，0 0) )1 1(0, )2 2DE D DB B = =( (1 1, , 1 1，0 0) )XYZ设平面设平面EDB的法向量为的法向量为( , ,1)nx y, nnDEDB 则1101, 1, 1220ynxy于是(2,2,1),(4,5,3),ABACABC 例2：已知求平面的 单位法向量。nxyz解：设平面的法向量为

5、（ ， ， ），(2,2,1)0(4,5,3)0,nAB nACxyzxyz 则，（ ， ， ），（ ， ， ）220,4530 xyzxyz即1121xzy 取，得1( , 1,1),2n3|2n 12 2 (-33 3ABC求平面的单位法向量为， ，） 因为方向向量与法向量可以确定因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的用直线的方向向量方向向量与平面的与平面的法向量法向量表表示空间直线、平面间的示空间直线、平面间的平行、垂直、平行、垂直、夹角、距离夹角、距离等位置关系等位置关系. 用向量方法解决立体问题用向量方法解决立体问题二、立

6、体几何中的向量方法二、立体几何中的向量方法平行关系平行关系mlab一一. 平行关系平行关系：ml /) 1 (baba/au aAC axAByAD v u 例例1.用向量方法证明用向量方法证明 定理定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行则这两个平面平行已知已知 :直线直线l与与m相交相交, ,lm,lm.求证 l,ma, .bv 证明 取的方向向量取 , 的法向量u,lm ,av bv ,b 又a 不共线 所以v是 的一个法向量于是 v 同时是 、 的一个法向量 .abv u 例例2 四棱锥四棱锥P-ABCD中，底面中，底面A

7、BCD是正方是正方形形, PD底面底面ABCD，PD=DC=6, E是是PB的的中点，中点，DF:FB=CG:GP=1:2 . 求证：求证：AE/FG.ABCDP PG GXYZF FE EA(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2), A AE E = =( (- -3 3, ,3 3, ,3 3) ), ,F FG G = =( (- -2 2, ,2 2, ,2 2) )32 AE =FGAE =FGAE/FG 证证 ：如图所示：如图所示, , 建立建立空间直角坐标系空间直角坐标系. ./ A AE EF FG GAEAE与与FGFG不共线不共线几何法呢？几何法

8、呢？ 例例3 四棱锥四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正是正方形，方形，PD底面底面ABCD，PD=DC, E是是PC的的中点，中点， (1)求证：求证：PA/平面平面EDB.ABCDP PE EG解法解法1 立体立体几何法几何法ABCDP PE EXYZG解法解法2：如图所示建立空间直角坐标系，点：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设为坐标原点，设DC=1(1)证明：连结证明：连结AC,AC交交BD于点于点G,连结连结EG(1,0,0),(0,0,1),1 1(0, )2 2APE依依题题意意得得G1 1 1 1( ( , , ，0 0) )2 2 2 211(1,0,

9、1),( ,0,)22PAEG EGPAEGPA/2，即所以,EGEDBPAEDB而平面且平面EDBPA 平面所以，/ABCDP PE EXYZ解法解法3：如图所示建立空间直角坐标系，点：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设为坐标原点，设DC=1(1)证明：证明：1 1(1,0,0),(0,0,1),(0, ),2 2APE依依题题意意得得B B( (1 1, , 1 1，0 0) )(1,0, 1),PA PAEDB而平面EDBPA 平面所以，/1 1(0, )2 2DE D DB B = =( (1 1, , 1 1，0 0) )设平面设平面EDB的法向量为的法向量为( , ,1

10、)nx y, nnDEDB 则1101, 1, 1220ynxy于是0PA nPAn ABCDADEFNM,AEBD,11,33BMBD ANAE，/MNCDE平平面面练练 如图，已知矩形如图，已知矩形和矩形和矩形所在平面相交于所在平面相交于ADAD，点，点分别在对角线分别在对角线上，且上，且求证：求证：2133DCDE MNMDDEEN 证明2233DBDEEA 22()()33DADCDEDADE ABCEFDMN MNDCDE 所以、共面/MNCDE故故平平面面MNCDE 但但平平面面几何法呢？几何法呢？(1) lm0aba b 二、垂直关系：二、垂直关系：lmab(2) l /auau

11、 lauABC3 （）0uvu v u v 例1 四面体ABCD的六条棱长相等, AB、CD的中点分别是M、N,求证MNAB, MNCD.证1 立体几何法 例1 四面体ABCD的六条棱长相等, AB、CD的中点分别是M、N,求证MNAB, MNCD.证法2MAADDN 1122ABADDC 11()22ABADACAD 111222ABACAD 111()0222MN ABABACADAB MNAB, 同理 MNCD. 例1 四面体ABCD的六条棱长相等, AB、CD的中点分别是M、N,求证MNAB, MNCD.证法3 如图所示建立空间直角坐标系，设AB=2.xyZxy(0,0,0)B(0,2

12、,0)D( 3,1,0)C32 6(,1,)33A3 16(,)623M3 3(,0)22N 练习练习 棱长为棱长为a a 的正方体的正方体 中中,E,E、F F分别是棱分别是棱AB,OAAB,OA上的动点，且上的动点，且AF=BE,AF=BE,求证：求证： CBAOOABC OCBAOAB CEFZ11A FO Exy 解：如图所示建立空间直角坐标系，设AF=BE=b.1( , , )A a a a(0,0)Fab1(0,0, )Oa(, ,0)E ab a1(,)A Faba 1(, ,)O Eab aa 110A F O E 11A FO E 1A FO EABCDPEFXYZ-, ,.

13、 (2) :.PABCDABCDPDABCD PDDCEPCEFPBPBFPBEFD 例例2 2. . 四四棱棱锥锥中中 底底面面是是正正方方形形底底面面点点是是的的中中点点 作作交交于于点点求求证证平平面面 证法1：如图所示建立空间直角坐标系，设DC=1.)1,1 ,1(PB021210故DEPB)21,21,0(DEDEPB 所以,EDEEFPBEF且由已知EFDPB平面所以A1xD1B1ADBCC1yzEF是是BB1,1,，CD中点，求证：中点，求证：D1F1111DCBAABCD 练习练习 正方体正方体中，中，E、F分别分别平面平面ADE. 证明：设正方体棱长为证明：设正方体棱长为1，

14、 为单位为单位正交正交 基底，建立如图所示坐标系基底，建立如图所示坐标系D-xyz，1,DADCDD 以以，1(1,0,0)(1,1,)2DADE ，11(0, 1)2D F 00DADE 则则， 所以所以1D FADE 平平面面DADE 则则 ， ,E,E是是AA1 1中点，中点，1111DCBAABCD 例例3 3 正方体正方体平面平面C1 1BD. 证明：证明：E求证：求证：平面平面EBD设正方体棱长为设正方体棱长为2, 建立如图所示坐标系建立如图所示坐标系平面平面C1BD的一个法向量是的一个法向量是E(0,0,1)D(0,2,0)B(2,0,0)(2,0, 1)EB (0,2, 1)E

15、D 设平面设平面EBD的一个法向量是的一个法向量是( , ,1)ux y0u EBu ED 由1 1(,1)2 2u 得1( 1, 1,1)vCA 0,u v 平面平面C1 1BD. 平面平面EBD-,:P ABCDABCDPDABCD GPB 练练习习 四四棱棱锥锥中中 底底面面是是正正方方形形底底面面是是上上的的点点求求证证 平平面面GACGAC平平面面PDBPDBABCDPXYZG开放性问题开放性问题 直三棱柱直三棱柱A1B1C1ABC的三视图如图所示，的三视图如图所示，D、E分别分别为棱为棱CC1和和B1C1的中点的中点. (2)在在AC上是否存在一点上是否存在一点F，使，使EF平面平

16、面A1BD，若存，若存在确定其位置；若不存在，说明理由在确定其位置；若不存在，说明理由.解：解：(1)如图建立空间直角坐标系如图建立空间直角坐标系.则则B(0,2,0)，D(0,0,1)，A1(2,0,2)， (2,0，1)， (2,2，2).设平面设平面A1DB的法向量为的法向量为n1(1，x，y)，则则(2)当当F为为AC的中点时，的中点时，EF平面平面A1BD，证明：设证明：设F(x,0,0)，由由E(0,1,2)，得，得 (x，1，2).若若EF平面平面A1BD，则，则 n1.由由n1(1，1，2)得得x1，F为为AC的中点的中点.存在存在F为为AC的中点，使的中点，使EF平面平面A1

17、BD. n1(1，1，2). 考题印证考题印证 (2009福建高考福建高考)(12分分)如图，四边形如图，四边形ABCD是边长为是边长为1的正方形，的正方形，MD平面平面ABCD，NB平面平面ABCD，且，且MDNB1，E为为BC的中点的中点. (1)求异面直线求异面直线NE与与AM所成角的余弦值；所成角的余弦值； (2)在线段在线段AN上是否存在点上是否存在点S，使得，使得ES平面平面AMN？若存在，求线段若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由的长；若不存在，请说明理由. 【解解】(1)如图，以如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐为坐标原点，建立空间直角坐标系标系Dxyz.依题意，易得依题意，易得D(0,0,0)，A(1,0,0)，M(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，N(1,1,1)，E( ，1,0).(2分分) ( ，0，1)， (1,0,1).(3分分)cos ，(5分分)所以异面直线所以异面直线NE与与AM所成角的余弦值为所成角的余弦值为 .(6分分)(2)假设在线段假设在线段AN上存在点上存在点S，使得，使得ES平面平面AMN. (0,1