常微分方程简明教程-王玉文等编-习题解答

1、第二章 习题答案1、 (a) (i) 是兔-虎模型; (ii) 是蚊-象模型；(b) (i): , ; (ii) , ;(c) 设, 那么由两个方程组中的第二个方程的表达式可知，因此从开始，捕食者将一直为零，即捕食此后者不会再生。类似可得食饵的同样状态。2、由图中轨线方向可判断出R,F围绕正平衡点振幅逐渐递减地周期振荡，最终是螺旋式地趋近于正平衡点 并且R,F的值始终均为正的。见图2-2.3、(a) . (b) 令, 那么 其相平面的解轨线与例2.3.1是一样的，但是解的图像是不同的。4、(i) (a) ； (b) 见图2-14； (c) 当时，解轨线水平向右； (ii) (a) ；(b) 见

2、图2-15；(c) 当时，解轨线以为圆心逆时针方向做圆周运动。(iii) (a) ；(b) 见图2-16；(c) 当时, 从出发的解轨线递增正向趋于轴；从出发的解轨线递减正向趋于轴；(iv) (a) ；(b) 见图2-17；(c) 当时, 从出发的解轨线沿增长方向趋于再沿趋于无穷；从出发的解轨线沿趋于无穷；(v) (a) ；(b) 见图2-3；(c) 当时，从 (1,-2) 出发的解轨线沿轴负向趋于; 从 (1,1) 出发的解轨线沿轴正向趋于. 图2-14 图2-15 5、(i) (b); (ii) (c); (iii) (d); (iv) (a).6、(i) (a) 平衡解；(b) 见图2-

3、18；(c) 当时，解轨线逆时针螺旋式远离. (ii) (a) 平衡解；(b) 见图2-19；(c) 依赖于初始条件。 图2-16 图2-17 图2-18 图2-197、见图2-6.8、见图2-7.9、是解，不是解。10、(i) (ii) 11、(a) 通解 (b) ，(c) 见图2-10.12、(a) ; (b) ; (c) ; (d) 见图2-20. 图2-2013、(i) ； ；(ii) ； ；14、(i) ; (ii) 15、直接代入验证；不矛盾，虽然解轨线是同一个，但是在任意时刻t, 二者不在同一位置。16、(i) ; (ii) ;(iii) ; (iv) .17、 ； ； 。18、

4、.19、(a) 因为，若，那么且；(b) 由可得。20、(a) 平衡解为 ; (a) 平衡解为 .21、(a) 将直接代入验证； (b) .22、(a) 直接代入验证; (b) 线性无关；(c) .23、直接代入验证。24、(a) ;(b) 将 代入(a)中的表达式;(c) , 其中是常数；(d) 若 与线性无关，那么, 进而对于所有的，. 因此与线性无关。25、(i); ; ;.(ii); ; ;.(iii) ; ; .(iv); ; ;.(v); ; ;.(vi) ; ; ;.26、(i) ; ; ; (ii) ; (iii);.(iv) ; ; .27、(a) ; (b) , ; (c)

5、 ;(d) 因为.28、(a); ;(b) 特征多项式. 因为判别式为.29、(i) ; ; ; .(ii) ; ; ; .30、(A) (a) 汇；(b) ; (B) (a) 鞍点；(b) ;31、(a) 鞍点；(b) ；，；(c) 见图2-11.32、(a) ; (b) .33、(i) ; 中心; ; 顺时针.(ii) ; 螺旋汇; ; 逆时针.(iii) ; 螺旋源; ; 逆时针.34、(a) ; (b) 时，螺旋汇； 时，中心； 时，螺旋源；(c) .35、特征根是一对共轭纯虚根。36、(i) (a) ；; (b) ; (c) .(ii) (a) ；; (b) ; (c) .37、； .38、因为, 所以且；同样由, 所以且.39、(i);,; (b); (c) .(ii) ;,; (b); (c) .40、(a) ; 当时，为轴，为轴；(b) , 是初始条件；(c) 与(b)相同，只是相图中的轨线方向相反。41