高等学十不定积分ppt课件

1、 第三章 不定积分一、原函数与不定积分 1原函数例2()2xx 也是 的原函数2x2x2(1)2xx21x 也是 的一个原函数2x2()2xcx2xc 叫做 的一个原函数2x(sin )cosxx sincosxx是的一个原函数(sin)cosxcxsin xc也是 的原函数cosx( )f x普通地假设( )( ),F xf x( )F xc是 函数的全体。 即( )f x ( )( )F xcf x证明 设 是 的一个原函数即( )x( )f x( )( )xf x由于( )( ),F xf x( )( )xf x( )( )xF x( )( )0 xF x ( )( )0 xF x( )

2、( )xF xc( )( )xF xc 的一切原函数都可以表示为( )F xc 求原函数的问题就是不定积分问题 (2)不定积分的定义 假设函数 是函数 的一个原函数，那么 函数 的原函数的全体 叫做函数 的不定积分。并记为( )F x( )f x( )f x( )F xc( )f x( )f x dx ( )F xc叫积分号x叫积分变量c叫积分常量( )f x dx叫做被积表达式( )f x叫做被函数例2xdx 2x dx 2xc313xcxe dx xecsin xdx cosxc二、原函数的几何意义( )( )F xf x假设( )yF x 且求导数: 知 求 ，也就是知一个函数的曲线求曲

3、线上每一点的切线斜率；求不定积分: 知 求 也就是知一个函数曲线上每一点的切线斜率，求这个函数。( )F x( )f x( )f x( )F x例 求经过点 而它的斜率为 的曲线方程。(1,2)2x解 斜率为 的曲线方程2x2yxc且经过 的方程为(1,2)21yx22xdxxc即yx0不定积分的几何意义：就是一族积分曲线。 在积分曲线族上横坐标一样点处的切线彼此平行三、不定积分的性质证明1 不定积分的导数等于被积函数( )f x dx( )f x dx( )f xd( )f x dx( )f x dx ( )F xc ( )f x( )f x dxd( )f x dx( )f x dx dx

4、2 函数微分的不定积分等于该函数加上恣意常数( )F x dx( )F xc( )d F x( )F xc例(sin )x dxsin xccosxdx 3 被积函数中的常数因子，可以提到积分号外面。 ( )( )( )f xxx dx( )( )kf x dxkf x dx 4 几个函数代数和的不定积分等于各个函数不定积分的代数和。( )( )( )f x dxx dxx dx(1)()kdxk dxkxc k四、不定积分公式表从不定积分的定义知：积分法是微分法的逆运算，由导数公式可以直接推导出相应的根本积分公式。是常数1(2)1nnxx dxcn1(3)lndxxcx21(4)1dxarc

5、tgxcx21(5)arcsin1dxxcx(6)cossinxdxxc(7)sincosxdxxc 221(8)seccosdxxdxtgxcx221(9)cscsindxxdxctgxcx (10)secsecxtgxdxxc(11)csccscxctgxdxxc (12)xxe dxec(13)lnxxaa dxca211(14)dxcxx 1(15)2dxxcx例41(1)dxx4x dx4 14 1xc 313cx 2(21)(3)xdxx2441xxdxx144xdxdxdxx224lnxxxc2(2)(5)x xdx5122(5)xxdx51225x dxx dx7227x321

6、073xxx xc32253xc 22(4)1xdxx 221 11xdxx 21(1)1dxx211dxdxxxarctgxc2(5)tg xdx22sincosxdxx221 coscosxdxx21cosdxdxxtgxxc(6)2xxe dx(2 )xe dx(2 )ln2xece221(5)(1)xxdxx x211()1dxxx2111dxdxxxln xarctgxc2(6)sin2xdx1 cos2xdx1(1 cos )2x dx1(sin )2xxc五、 第一类换元积分法凑微分法假设函数 的原函数是 ，且 ，那么 ( )f x( )F x( )ux ( )( )fxx dx

7、 ( )( )fx dx设( )ux( )f u du( )F uc ( )Fxc例(1)sin5xdx2(2)xe dx5d x (5 )x dx5dx155dxd x1sin555xd x1cos55xc (2 ) x dx2d x 2dx122dxd x2122xe d x212xec(3)tgxdxsincosxdxx1coscosdxx sincosxdxdx ln cosxc (4)ln sinctgxdxxc(5)2xdx12(2)xdx(2)d x(2)xdxdx(2)d xdx12(2)(2)xd x322(2)3xc10(6)()axbdx()d axb ()axb dxa

8、dx1()d axbdxa101()()axbd axba111()11axbca2(7)xxe dx2212xe dx22dxxdx212xdxdx212xec2(8)(1)xdx2(21)xxdx3213xxxc2(8)(1)xdx2(1)(1)xd x31(1)3xc10(9)(1)xdx10(1)(1)xd x111(1)11xc(10)sin2xdx1sin222xd x1cos22xc (10)sin2xdx2 sin cosxxdx2 sinsinxdx212sin2xc2sin xc(10)sin2xdx2 cos sinxxdx2 coscosxdx 212cos2xc 2c

9、os xc 23(11)xedx232()3xedx322332xec (12)sin()tdt1sin() ()tdt1cos()tc 2(13)2xxe dx22xe dx2xec221(14)dxxa221111()2xaa xaxa1112dxdxaxaxa1lnln2xaxaca1ln2xacaxa可计算出：2211ln2axdxcaxaax221(15)dxax2211 ( ) dxxaa2111 ( ) xdxaaa1xarctgcaa(16)secxdx1cosdxx2coscosxdxx21sin1 sindxx11 sinln21 sinxcx(17)cscxdx1sind

10、xx12sincos22dxxx212sin2cos2cos2xdxxx212cos22xdxxtg122xdtgxtgln2xtgc2xtgsin2cos2xx22sin22cossin22xxx1 cossinxxcscxctgxcscxdx ln2xtgcln cscxctgxc23(18)1xdxx 331131dxx13321(1)(1)3xd x11321 (1)1312xc 1322(1)3xc21(19)24dxxx21(21)3dxxx221(1)(1)( 3)d xx1133xarctgcsin(20)1 sinxdxxsin (1 sin )(1 sin )(1 sin

11、)xxdxxx22sinsin(1 sin)xxdxx2sincosxdxx21coscosdxx 222211coscoscoscoscosxdxdxdxxxx 1costgxxcx22sincosxdxx221 coscosxdxx1()dxd axba21()2xdxd x211()dxdxx1lndxdxx1(2)dxdxxxxe dxdecossinxdxdxsin( cos )xdxdx常用凑微分公式常用凑微分公式221sectancosdxxdxdxx221csc( cot )sindxxdxdxx21arctan1dxdxx2arcsin1dxdxx21 cos 2sin,2xx21cos 2cos2xx1sinsincoscos2 1coscoscoscos21sincossinsin2几个常用的三角公式几个常用的三角公式sin 2cos 3xx dx1sin 5sin2xx dx 1 1sin 55sin2 5x dxxdx11cos 5cos102xxC 211(1)xedxx263(2)331xdxxx24(3)23dxx 225(4)413xdxxx答案2xedx1(1)xedxx2xec263(2)331xdxxx221(331)331dxxxx2ln 331x