沪教版培优七年级数学暑假同步讲义第20讲分式的意义、性质及综合计算

1、分式的意义、性质及综合计算分式是不同于整式的另一类有理式， 分式是代数式中重要的基本概念，讨论 分式的基本性质及约分、通分等分式变形，是全章的理论基础部分.在此基础上 学习分式的四则运算法则，这是全章的一个重点内容，分式的四则混合运算也是 本章教学中的一个难点，克服这一难点的关键是通过必要的练习掌握分式的各种 运算法则及运算顺序在这一节中对指数概念的限制从正整数扩大到全体整数， 这给运算带来便利.与此同时借助对分数的认识学习分式的内容， 是一种类比的 认识方法，这在本章学习中经常使用.一、分式的意义与基本性质：-A1分式的概念：两个整式、B相除，即A B时，可以表示为如果B中含有字母,B那么A

2、叫做分式，叫做分式的分子， B叫做分式的分母B在理解分式的概念时，注意以下三点：(1 )分式的分母中必然含有字母；(2) 分式的分母的值不为 0;(3) 分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开.2、分式有意义的条件：无意义.例如：分式 丄，当x 0时，分式有意义；当 x 0时，分式无意义.x3、分式值为零的条件：分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是同时4、分式的基本性质:分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变.上述性质用公式可表示为:a am a b bm' ba m / (m b m0).注意：在运用分

3、式的基本性质时，基于的前提是m 0 ; 强调同时”分子分母都要乘以或者除以同一个 分式的基本性质是约分和通分的理论依据.非零”的数字或者整式;、分式的乘除:1分式的乘法：两个分式相乘，将分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，用式子表 一出 A C AC示为：B D BD2、分式的乘方法则：分式乘方就是把分子、分母各自乘方即3、分式的除法法则：分式除以分式,将除式的分子和分母颠倒位置后,AnBn .再与被除式相乘.公式表示为:A C A D ADB D B C BC4、分式的乘除混合运算：分式的乘除混合运算，有括号先算括号里的，没有括号按从左到 右的顺序计算.【注意】1在分式除法运算中，除式或

4、（被除式）是整式时，可以看作分母是1的分式，然后按照分式的乘除法的法则计算.2、要注意运算顺序，对于分式的乘除来讲，它只含同级乘除运算，而在同级运算中，如果 没有附加条件（如括号等），那么就应该按照由左到右的顺序计算.三、分式的加减：1、同分母的分式加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减.2、异分母的分式加减法法则：（1）通分：将几个异分母的分式分别化为与原来分式的值相等的同分母分式的过程叫做通 分，这几个相同的分母叫做公分母.（2） 异分母分式加减法法则： 分母不同的几个分式相加减，应先进行通分，化成同分母分 式后再进行加减运算，运算结果能化简的必须化简.四、分式的综合运算：与分

5、数的混合运算类似，先算乘除，再算加减，如果有括号，要先算括号内的.2/ 135、选择题1.X2代数式-2,X 1 X1,X2xa b 3 a2bab23n , xy中分式有(A、6个B、4个C、3个D、2个【答案】C【解析】x 1 ,x 1 ,3是分式.2xx 1y【总结】本题主要考查分式的概念.2.下列判断中，正确的是()A、亠分式的分子定含有字母C、2匕不是分式而是整式x【答案】D【解析】考查分式的概念.3分式1、2ab的最简公分母是a“ a b2 ab2bA、2 2a bab b aC、2 2a bba【答案】D【解析】考察最简公分母的定义.24.化简：孚-m2 nmn的结果是()A、m

6、 nB、m n2mm【答案】B【解析】2 m n2m n mn m n2 = m mnm m nm【总结】本题主要考查分式的约分.B、只要分式的分子为零，则分式的值为零D、只要分式的分母为零，则分式必无意义( )2 2B、 a b bar2, 2D、 a b5.已知：a b 2, aba b 5,则的值等于 ()b a21419A、B、c、555【答案】B245552【解析】a 匚竺 L 2ab ?Ljo14.ba abab55【总结】本题一方面考查异分母分式的加法，另一方面考查整体代入思想的运用.26.计算冷xx 1X 6的结果是（2x21C、2xx21x2 355【答案】【解析】x3x3x

7、21x29【总结】本题主要考查分式的除法运算，注意要先分解因式.557.计算2 ab2aba b的结果是（: )2 ab2ab2abA、1B、1C、a bD、a + ba ba b【答案】B【解析】2 ab2aba b2 a2 2b2a ba b2 ab2ab2aba ba ba b a b2ab2abab1ab ab2aba b另：本题也可以利用乘法分配律，不用先算括号里面的也可以计算.【总结】本题主要考查分式的混合运算，注意按照运算法则进行计算.2 22x 2 x 11 8. 已知x 5x 1997 0,则代数式的值为()x 2A、 1999B、 2000C、 2001D、一 2【答案】D

8、【解析】x 22 2x 11x2 4x24 x 2x 1 12x 42x22x 2x 2x 2x 2【总结】本题主要考查分式的化简，分式的最终结果跟x的取值并无关系.5、填空题x 1 x 29. 分式有意义的条件是 x 2 x 1【答案】x 2且x 1.【解析】考察分式有意义的条件是分母不为0.10. 当x时，分式竺仝的值等于1.x 1【答案】2.【解析】2x 3 x 1，二x 2.【总结】当分式的值为 1时，在分式有意义的背景下，说明分子与分母相等.1 2 111. 若 x3，贝U x j =.xx【答案】7.2【解析】X24 x 123227 .xx【总结】当已知互为倒数的两个数的和时，它

9、们的平方和等于和的平法减2.a b12. 若a2 6a 9与b 1互为相反数，则式子a b的值为.b a【答案】-.3【解析】T a2 6a 9与b 1互为相反数，/ a2 6a 9 b 10，即a 32 b 10,2 2a b, a b 1 a b 2a 3 b 1/- - a b -.'b aab a b ab 3【总结】本题一方面考查分式的混合运算，一方面注意相反数的概念.二、计算题(2)(2)13.将下列分式化为最简分式:(1) J ；a b2小m 3m ；9 m(3)23ab 3b23 .a b 2ab b(2)【答案】（1）丄;（2）a b(3)(2)x 1【解析】ab ；

10、ab a b a b aba2 b2(2)x 1(2)x 1(2)m2 3m9 m2mm33 m 3 m(2)x 1(2)x 1(3)23ab 3b3a b 2ab b3b a bb a2 2ab b23b a b 3(2)x 1(2)x 1【总结】本题主要面考查分式的约分.14.计算:(1)a2b6cd(2) 12xy 8x2y2 ；3c5ab5a【答案】（(1)2ad ；( 2)35b10ax【解析】本题考查分式的乘法.15.计算:(1)2x 624x x(x3)(x 2)；(2)2)22x 1【答案】2；(2)22x2(Jx-)2x【解析】2x 624x x(x3)(x2)3x2(x2)

11、2)2(x-)2x(2)x 1(2)x 16/ 13(2)x 1x2 x '【总结】本题主要考查分式的乘除运算，注意对法则的准确运用.16.计算:(1) 1n mm 2n2 2m nm2 4mn 4n2 '(2)x31x 2x21x 2x24x 1【答案】（1）3n ；m n(2)x32x2 4x 4【解析】（1）原式1n mm 2nm n m n22n2m 2nn mm 2n m n m n1m2n3nmnm n31222xx4 x1 x4x2x1x2 x1m（2）原式. 2 .x 1 x x 1 x 2 x 2x 2x 12x x 1 x 2 x 1 x 232 x 2x

12、4x 4 .【总结】本题主要考查分式的混合运算，注意对法则的准确运用以及方法的选择.17.计算:(1)2 29 6x x x 3 x 4x 42 2x2 164 x 4 x2a2 4a 4(a 1)4 a2a 1【答案】（1）（2）原式2x 34 x2x 2x 3 x 21）原式(2) 土 -【解析】x4x4x32x2x x 4 x 2a 1 a 112 a 2 a2a 2 a 1 a 1【总结】本题主要考查分式的乘除运算，注意对法则的准确运用.【答案】2ab2【解析】原式2 2a b a b2 2-a b a b4ab2 2a b a ba b a b2b2a2a2 2a b a b a b

13、【总结】本题主要考查分式的混合运算，注意有括号时先算括号里面的.19.计算:2x z y2x xy xz yz2x y z-2x xy xz yz【答案】2y【解析】原式2yx y x y2y 2 x y20.计算:a b22a ab b【总结】本题主要考查异分母分式的加减运算，注意裂项法的运用.a b-22a ab b【答案】6ab4b6a b 2 a ab ba b 2 a ab ba2 abb22a ba2 abb2a2 ba b2 aab b2a b2 aabb23aba3 b33aba3 b36ab43ab a3 b33ab a3 b3a3 b3 a3 b3【总结】本题主要考查异分母

14、分式的加减运算，注意立方差和立方和公式的运用,(a b)(a2 -ab b2) a3 b3，立方差和立方和有些学校不讲，请选择运用.四、解答题x 121. x为何值时，分式么-【解析】原式无意义?4x 1【答案】x -.4【解析】考查分式无意义的条件是分母为0.22.求下列各分式有意义的条件：(1) - ; ( 2) 丄 ;(3)丄丄xx 32a b【答案】(1) x 0;( 2) x 3 ;( 3) 2a b，且 a 0, b 0 【解析】考查分式有意义的条件是分母不为0 23.当x为何值时,(1)；xF列分式的值为(2)畫Jx 30?(3)8x(4)x2 4x 216x2 13x 6【答案

15、】1 ；( 2) x(4)【解析】分式值为0的条件是分子为0且分母不为0.(1)(1)24.若x , y的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？2 2(1) 3 ；( 2) ；( 3)空汕x yx y9x【答案】(1)不变；(2)缩小为原来的1 ; ( 3)扩大为原来的3倍.3【解析】考查分式的基本性质.25.求下列各组分式的最简公分母:(1)23a17 7a，12 ,2a a2 a;1(2)1x2 xx2 4x 5 'x 3x2，2x3x10 【答案】(1) 7a 1a 12;(2)x5 x1 x 2【解析】考查最简公分母的定义.26.把下列各式通分.(1)35厂,3 ,8x y

16、 12x yz320xy3z ；x 1x:x(x 1)x122x 2x 1(1)8x2y120x12x3yz120x3y3z20xy3z120x3y3zy z(2x x 1xx212x x 1x x 1 x 1 2【解析】考查分式的基本性质.27.求代数式的值:【答案】1 .43x 6 x 2x2 4x 4 x 2门，其中【解析】原式3x2x212x 2 x 2 x 2当x6时，原式【总结】本题主要考查分式的化简求值，注意符号的变化.28.已知：2m 5 n 0,求下式的值：1n mmm n【答案】718【解析】2m5n0m5n2n2m5m5m5，mn3，mn 725254247原式=1531

17、 -57153518【总结】本题主要考查分式的性质，也可以先对所求值的分式进行化简再求值. 229.已知x 16x 10 ,求 x313的值.x【答案】4144【解析】. 2 x16x10 , x-16 .x1飞1x 2 1x + p+11=X _23 xx -+2+1 =16162+3 =4144xxxxx1C/ 13【总结】本题综合性较强，一方面考查对原式的变形，另一方面考查立方差的运用.30.已知：a b c 0, abc 8,求证:【答案】证明略，见解析.【解析】b c 0，- a ba2b2c2ab bcac即a22ab 2ac 2bcac bc1 22(a/ abc18,1 1ab

18、c所以2 2a 2ab b29ab a b2a bab a ba b 10 99109ab 990990 a、b、c均不为零.bc ac ab 1,2 (a abc16【总结】本题综合性较强，主要还是利用了异分母分式的加减以及完全平方公式.31.已知222 22- , 33 323 -,44244,-a，若 10 -102 - (a、b 为33881515bb正整数）2求分式a2ab b22 2 一的值.ab2 a2b|答案】999【解析】找规律可知：a 10, b 99 .【总结】本题是一道规律题，解题时注意总结.232.已知a,、 a 22a 10，求 2a 2aa 1aa4的值.22 a4a 4【答案】1.【解析】原式a 2a 1a 2a242 aa a2 12a a 2a 2a 4a a22a4 a a 2又a2 2a 10，所以原式=1.【总结】本题一方面考查分式的混合运算，一方面考查整体代入思想的运用.1a2 2a33.已知abc1，求a ab abbc b 1 ac c的值.【答案】1.【解析】因为abc