




版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
1、7.2 节 定解条件什么是边界?什么是边界?由连接研究对象和环境的所有点组成的物理区由连接研究对象和环境的所有点组成的物理区域域对于一维系统,它是两个端点对于一维系统,它是两个端点对于二维系统,它是闭合曲线对于二维系统,它是闭合曲线对于三维系统,它是封闭曲面对于三维系统,它是封闭曲面要确定一个由数理方程描述的物理问题的解,要确定一个由数理方程描述的物理问题的解,必须给定所有边界上的信息:确切说明边界上必须给定所有边界上的信息:确切说明边界上的物理状况的物理状况边界条件边界条件常见的线性边界条件,数学上分为三类:常见的线性边界条件,数学上分为三类:第一类边界条件,直接规定了所研究的物理量第一类边
2、界条件,直接规定了所研究的物理量在边界上的数值。在边界上的数值。第二类边界条件,规定了所研究物理量在边界第二类边界条件,规定了所研究物理量在边界外法线方向上方向导数的数值。外法线方向上方向导数的数值。第三类边界条件,规定了所研究物理量及其外第三类边界条件,规定了所研究物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值。法向导数的线性组合在边界上的数值。边界条件边界条件第一类第一类000000boundary, , ,xyzu x y z tf xy z t第二类第二类000000boundary,xyzuf xyz tn第三类第三类000000boundary,nxyzuHuf xy z t课堂作业
3、5 分钟) 弦的横振动问题,一端固定,另一端与一竖直弹簧相连,弹簧的另一端固定,求这个定解问题的边界条件。 板书画图。 笔记 P66 页。具体的例子第一类边界条件)具体的例子第一类边界条件)弦的两端固定而振动,边界条件为弦的两端固定而振动,边界条件为00,0 xx Luu具体的例子第一类边界条件)具体的例子第一类边界条件)热传导问题,杆的两端恒温,边界条件为热传导问题,杆的两端恒温,边界条件为FireIce0,xx Lu x tuu x tu具体的例子第二类边界条件)具体的例子第二类边界条件)具体的例子第二类边界条件)具体的例子第二类边界条件)板书推导板书推导笔记笔记 P1 P2 页页具体的例
4、子第二类边界条件)具体的例子第二类边界条件)纵振动杆一端受沿外法向方向外力,根据胡克纵振动杆一端受沿外法向方向外力,根据胡克定律,边界条件为定律,边界条件为 x LF tuxYS具体的例子第二类边界条件)具体的例子第二类边界条件)一端有已知热流流入的热传导问题,根据热传一端有已知热流流入的热传导问题,根据热传导定律,边界条件为导定律,边界条件为 x LukF tx板书推导板书推导具体的例子第三类边界条件)具体的例子第三类边界条件)具体的例子第三类边界条件)具体的例子第三类边界条件)板书推导板书推导笔记笔记 P2 页页具体的例子第三类边界条件)具体的例子第三类边界条件)杆的一端通过弹簧与固定点连
5、接,经过受力分杆的一端通过弹簧与固定点连接,经过受力分析,边界条件为析,边界条件为0 x LuKuYSx一个完整的定解问题的边界条件可以是三类边一个完整的定解问题的边界条件可以是三类边界条件的组合,例如:界条件的组合,例如:一端固定另一端受力的杆的纵振动问题的完一端固定另一端受力的杆的纵振动问题的完整边界条件为第一类和第二类边界条件的整边界条件为第一类和第二类边界条件的组合)组合) 00,xx LF tuuxYS一端恒温,另一端有已知热流的热传导问题一端恒温,另一端有已知热流的热传导问题的完整边界条件为第一类和第二类边界条的完整边界条件为第一类和第二类边界条件的组合)件的组合) Fire0,x
6、x LuuukF tx还有其他类型的边界条件还有其他类型的边界条件边界条件只要确切说明边界上的物理边界条件只要确切说明边界上的物理状况就行。状况就行。具体问题具体分析:把物理定律应用具体问题具体分析:把物理定律应用到边界上,就能得到需要的边界条件。到边界上,就能得到需要的边界条件。没有边界条件的问题没有边界条件的问题 拿弦振动问题为例拿弦振动问题为例, 如果弦很长如果弦很长, 着重研究靠着重研究靠近一端的那段弦。在不太长的时间里近一端的那段弦。在不太长的时间里, 另一端另一端的影响还没来得及传到,不妨认为另一端并不的影响还没来得及传到,不妨认为另一端并不存在,或者说另一端在无限远,当然就无需提
7、存在,或者说另一端在无限远,当然就无需提出另一端的边界条件。这样,有限长的真实的出另一端的边界条件。这样,有限长的真实的弦抽象成半无界的弦。弦抽象成半无界的弦。 如果着重研究不靠近两端的那段弦,不妨认如果着重研究不靠近两端的那段弦,不妨认为两端都不存在,或者说两端都在无限远,当为两端都不存在,或者说两端都在无限远,当然就无需提出边界条件了。这样,有限长的真然就无需提出边界条件了。这样,有限长的真实的弦抽象成无界的弦。实的弦抽象成无界的弦。看书看书衔接条件衔接条件针对研究区域里的跃变点,泛定方程在跃变点针对研究区域里的跃变点,泛定方程在跃变点失去意义失去意义板书推导板书推导笔记笔记 P 23 页
8、页衔接条件衔接条件针对研究区域里的跃变点,泛定方程在跃变点针对研究区域里的跃变点,泛定方程在跃变点失去意义失去意义板书推导板书推导数学物理方程的分类偏微分方程的分类观看动画观看动画偏微分方程:关于具有多个偏微分方程:关于具有多个独立变量的未知函数及其偏独立变量的未知函数及其偏导数的方程。导数的方程。不同物理现象可以由相同的不同物理现象可以由相同的偏微分方程描述,因而具有偏微分方程描述,因而具有相同的动力学规律。(举例相同的动力学规律。(举例说明)说明)线性二阶偏微分方程线性二阶偏微分方程线性线性二次二次指数指数线性二阶偏微分方程线性二阶偏微分方程满足如下特征的函数称为线性函数:满足如下特征的函
9、数称为线性函数:1. 叠加性叠加性 ,.f xyf xfyf xkxf xyk xykxky板书推导反例板书推导反例线性二阶偏微分方程线性二阶偏微分方程满足如下特征的函数称为线性函数:满足如下特征的函数称为线性函数:2. 常数因子不变常数因子不变 ,.f axaf xf xkxf axk axa kx板书推导反例板书推导反例线性二阶偏微分方程线性二阶偏微分方程其中其中,aij, bi, c, f 只是只是x1,x2,xn 的函数的函数,就叫就叫做线性的方程做线性的方程.1110,ijinnnijx xixjiia ubucuf二阶偏微分方程如果可以表示为二阶偏微分方程如果可以表示为0,f 则方
10、程称为齐次的则方程称为齐次的,否则叫非齐次的否则叫非齐次的.板书验证线性板书验证线性 解释解释P3页页 笔记笔记 P68页页, , ,x y z t课堂作业课堂作业5 分钟)分钟)22222222220,0,0,0.uuuuautxtxuuatxu1. 如下方程是否为线性偏微分方程?给出说明。如下方程是否为线性偏微分方程?给出说明。如果泛定方程和定解条件都是线性的,可以把如果泛定方程和定解条件都是线性的,可以把定解问题的解看作几个部分的线性叠加,只要定解问题的解看作几个部分的线性叠加,只要这些部分各自所满足的泛定方程和定解条件相这些部分各自所满足的泛定方程和定解条件相应的叠加正好是原来的泛定方
11、程和定解条件就应的叠加正好是原来的泛定方程和定解条件就行。这叫做叠加原理。行。这叫做叠加原理。叠加原理叠加原理适当解释适当解释线性非齐次常微分方程的通解等于非齐次方程线性非齐次常微分方程的通解等于非齐次方程的特解的特解 + 齐次方程的通解。齐次方程的通解。双曲型方程双曲型方程两个自变数方程的分类两个自变数方程的分类2,ttxxua uf x t一维波动方程:弦的横振动方程一维波动方程:弦的横振动方程, ,杆的纵振动方杆的纵振动方程程, ,电报方程等都是标准形式的双曲型方程。电报方程等都是标准形式的双曲型方程。抛物型方程抛物型方程两个自变数方程的分类两个自变数方程的分类2,txxua uf x
12、t一维输运方程:扩散方程、热传导方程都是标一维输运方程:扩散方程、热传导方程都是标准形式的抛物型方程准形式的抛物型方程椭圆型方程椭圆型方程两个自变数方程的分类两个自变数方程的分类200 xxyyuuu二维拉普拉斯方程:静电场方程、稳定温度分二维拉普拉斯方程:静电场方程、稳定温度分布方程都是标准形式的椭圆型方程布方程都是标准形式的椭圆型方程达朗贝尔公式达朗贝尔公式 定解问题定解问题 大家已经熟悉常微分方程的常规解法: 先不考虑任何附加条件, 从方程本身求出通解, 通解中含有任意常数 (积分常数), 然后利用附加条件确定这些常数. 偏微分方程能否仿照这种办法求解呢?课堂作业5 分钟) 在无界空间内
13、求如下定解问题的解: 2222220,.t Ttt Tuuuutxxttxxtuxux注意方程是线性的注意方程是线性的笔记笔记 P 68 页页达朗贝尔公式达朗贝尔公式2222200autxaautxtx运用达朗贝尔公式,给出无界或半无界条件下运用达朗贝尔公式,给出无界或半无界条件下波动方程解的物理图象;数学上把偏微分方程波动方程解的物理图象;数学上把偏微分方程化为常微分方程求解。化为常微分方程求解。达朗贝尔公式达朗贝尔公式2222200autxaautxtx数学上把偏微分方程化为常微分方程求解。数学上把偏微分方程化为常微分方程求解。板书推导板书推导 笔记笔记P4页页1,21.,2xxatxat
14、ta作变量作变量代换代换200uatxatxxatxatuatatatxxx 变量代换的思想是数学和物理学中重要的解决变量代换的思想是数学和物理学中重要的解决问题的思路。问题的思路。达朗贝尔公式达朗贝尔公式 2212120ufufdffffxatfxatu 无界振动方无界振动方程的通解程的通解达朗贝尔公式达朗贝尔公式 2212120ufufdffffxatfxatu 不同于常微分方程的情况不同于常微分方程的情况, 式中出现任意函数而不是式中出现任意函数而不是任意常数任意常数.振动方程的振动方程的通解通解达朗贝尔公式达朗贝尔公式12ufxatfxat这个偏微分方程描写以速度这个偏微分方程描写以速
15、度 a 向两方传播的向两方传播的行波。行波。222220autx板书解释板书解释 笔记笔记P4 页页由初始条件确定待定函数由初始条件确定待定函数 1,212x atx atu x txatxatda 我们假定所研究的弦、杆、传输线是我们假定所研究的弦、杆、传输线是“无限长无限长的,这就不存在边界条件。设初始条件是的,这就不存在边界条件。设初始条件是 00,tttuxuxx 该定解问题的解为该定解问题的解为达朗贝达朗贝尔公式尔公式板书推导板书推导 笔记笔记 P5 页页没有边界条件的问题没有边界条件的问题 拿弦振动问题为例拿弦振动问题为例, 如果弦很长如果弦很长, 着重研究靠着重研究靠近一端的那段
16、弦。在不太长的时间里近一端的那段弦。在不太长的时间里, 另一端另一端的影响还没来得及传到,不妨认为另一端并不的影响还没来得及传到,不妨认为另一端并不存在,或者说另一端在无限远,当然就无需提存在,或者说另一端在无限远,当然就无需提出另一端的边界条件。这样,有限长的真实的出另一端的边界条件。这样,有限长的真实的弦抽象成半无界的弦。弦抽象成半无界的弦。 如果着重研究不靠近两端的那段弦,不妨认如果着重研究不靠近两端的那段弦,不妨认为两端都不存在,或者说两端都在无限远,当为两端都不存在,或者说两端都在无限远,当然就无需提出边界条件了。这样,有限长的真然就无需提出边界条件了。这样,有限长的真实的弦抽象成无
17、界的弦。实的弦抽象成无界的弦。看书看书(P172例一:定解问题为例一:定解问题为 112012121202211202,22,20.orxxxxxuxxxxxxxxxuxxxxxxxx初始速度为零初始速度为零初始初始位移位移(P172例一:波已例一:波已“通过通过的地区,振动的地区,振动消失而弦静止在原平衡位置。消失而弦静止在原平衡位置。观看动画观看动画(P173例二:定解问题为例二:定解问题为 0121200 xxxxxxxorxx初始位移为零初始位移为零初始初始速度速度 11,22x atx atu x tddaaxatxat 更正书上错误并推导更正书上错误并推导 笔记笔记 P5 页页 1
18、101221021201212xxdaxxxxxxxaxxxxa (P173例二:波已例二:波已“通过通过的地区,虽然振的地区,虽然振动也消失,但偏离了原平衡位置。动也消失,但偏离了原平衡位置。xatxtaaxtatx观看动画观看动画端点的反射端点的反射 2000000,0.ttxxtttxua uuxuxxxu 定解问题:定解问题:端点的反射端点的反射 0 ,0 ;0 ,0 .xxxxxxxxxx奇延拓:奇延拓:板书解释偶延拓和奇延拓的物理意义板书解释偶延拓和奇延拓的物理意义 笔记笔记 P5端点的反射端点的反射 1,212x atx atu x txatxatda运用达朗贝尔公式:运用达朗贝
19、尔公式:板书推导板书推导 笔记笔记 P6页页 1,212x atx atu x txatxatda 2000000,0.ttxxtttxua uuxuxxxu 0 ,0 ;0 ,0 .xxxxxxxxxx端点的反射端点的反射运用达朗贝尔公式:运用达朗贝尔公式: 121,2,121.2x atx atx atat xxatxatxdtaau x txatatxxdtaa 端点的反射端点的反射,xxxxatxtxaxatxu x taatttatata 112012121202211202,22,20.orxxxxxuxxxxxxxxxuxxxxxxxx观看动画观看动画端点的反射端点的反射 板书推
20、导半无限长杆的自由振动,杆的端板书推导半无限长杆的自由振动,杆的端点自由。笔记点自由。笔记 P6页页定解问题是一个整体定解问题是一个整体从偏微分方程解出达朗贝尔公式的过程,与从偏微分方程解出达朗贝尔公式的过程,与大家所熟悉的常微分方程的求解过程是完全类大家所熟悉的常微分方程的求解过程是完全类似的。似的。但是很可惜,绝大多数偏微分方程很难求出但是很可惜,绝大多数偏微分方程很难求出通解;即使已求得通解,用定解条件确定其中通解;即使已求得通解,用定解条件确定其中待定函数往往更加困难。待定函数往往更加困难。除了达朗贝尔公式一类极少的例外,不可能除了达朗贝尔公式一类极少的例外,不可能先求偏微分方程的通解
21、然后再考虑定解条件,先求偏微分方程的通解然后再考虑定解条件,必须同时考虑偏微分方程和定解条件进行求解必须同时考虑偏微分方程和定解条件进行求解达朗贝尔方程是对方程解的理解,但达朗贝尔方程是对方程解的理解,但对于一般复杂问题的情形,简单的行对于一般复杂问题的情形,简单的行波解形式是求不出来的。波解形式是求不出来的。定解问题的适定性定解问题的适定性有解有解解是唯一的解是唯一的解是稳定的解是稳定的稳定性:如果定解条件的数值有细微的改变,稳定性:如果定解条件的数值有细微的改变,解的数值也只作细微的改变解的数值也只作细微的改变非线性偏微分方程的解就有可能是不稳定的,非线性偏微分方程的解就有可能是不稳定的,出现混沌。出现混沌。很长时间以后,位移自然出现比较大的偏差很长时间以后,位移自然出现比较大的偏差板书证明达朗贝尔解的稳定性。板书证明达朗贝尔解的稳定性。笔记笔记 P7页页分离变数法傅里叶级数法)分离变数法傅里叶级数法) 先求泛定方程通解的办法只适用于很少数先求泛定方程通解的办法只适用于很少数的某些定解问题。的某些定解问题。 分离变数法傅里叶级数法是定解问题分离变数法傅里叶级数法是定解问题的一种基本解法,适用于大量的各种各样的一种基本解法,适用于大量的各种各
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 平常养护工程施工技术规范
- AutoCAD工程制图实教程 (2024版)课件 模块三 绘制多面图形
- 幽门螺旋杆菌诊疗课件
- 巡视巡察课件教学
- 巡察工作法课件
- 岩石风化的公开课课件
- 岩土特性课件
- 尧帝凿井课件
- 输液泵的使用和管理课件
- LED照明灯具研发生产与销售合同范本
- GB/T 6093-2001几何量技术规范(GPS)长度标准量块
- GB/T 22751-2008台球桌
- 中国近代史试题库
- 电路学课件:1-6 电压源和电流源
- 奥的斯GeN2-故障查找手册-1-CN
- 村民森林防火承诺书
- 税法(第三版)项目一任务三增值税应纳税额的计算
- 系统数据导出确认单
- Q∕SY 01004-2016 气田水回注技术规范
- TSG Z8002-2022 特种设备检验人员考核规则
- QC∕T 900-1997 汽车整车产品质量检验评定方法
评论
0/150
提交评论