数列的通项公式的求法以及典型习题练习.

1、数列解题方法与学习顺序第一累加法1适用于：an 1anf (n) - 这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。2若 an 1anf (n) (n2) ，则a2a3a1a2f (1)f (2)an 1anf (n)n两边分别相加得an 1a1f ( n)k 1例 1已知数列 an 满足 an 1an2n1，a11，求数列 an 的通项公式。例 2已知数列 an 满足 an 1an2 3n1，a13 ，求数列 an 的通项公式。练 习 1. 已 知 数 列 an的 首 项 为 1 ， 且 an 1an 2n (n N * )写 出 数 列 an的通项公式.答案： n 2n 1anan 11

2、(n 2) an a13n(n 1)练习 2.已知数列满足，求此数列的通项公式 .an21答案：裂项求和n累乘法二、累乘法1.适用于：an 1f (n)an - 这是广义的等比数列累乘法是最基本的二个方法之二。an 1a2a3f (2)，an1f (n)2若f (n) ，则f (1)，ana1a2anan1n两边分别相乘得，a1f (k )a1k 1例 3已知数列 anan 1.n， a12，求数列的通项公式。n1例 4已知数列 an 满足 an 12(n1)5nan， a13，求数列 an 的通项公式。例 5.设 a n 是首项为1 的正项数列，且n1 an21nan2an 1an 0 （

3、n =1， 2， 3， ），则它的通项公式是an =_.三、待定系数法适用于 an 1qanf ( n)基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。1形如an 1 can d, (c 0,其中a1a) 型（ 1）若 c=1 时，数列 an 为等差数列 ;（ 2）若 d=0 时，数列 an 为等比数列 ;（3）若 c1且d0时，数列 an 为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.待定系数法：设an 1c(an) ,得 an 1can(c1),与题设 an 1 cand, 比较系数得d , ( c 0)andc(an 1d )(c 1)

4、d ,所以 c 1所以有：c 1c1a nddc 1 构成以a1因此数列c 1 为首项，以 c 为公比的等比数列，and( a1d ) c n 1an (a1d ) c n 1d所以c 1c 1即：c 1c 1 .规律：将递推关系 an 1cand 化为an 1dc(and ) and c1c 1 ,构造成公比为c 的等比数列c1an 1dc n 1 (a1d )从而求得通项公式1cc1逐项相减法（阶差法） ：有时我们从递推关系a n 1cand中把 n 换成 n-1 有 ancan 1d ,两式相减有an 1an c(anan 1 )从而化为公比为c 的等比数列 an 1ana n 1anc

5、 n (a 2a1 ),进而求得通项公式 .再利用类型 (1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.例 6 已知数列 an 中， a11, an2an 11(n2) ，求数列an 的通项公式。例 7 已知数列 an 满足an 1 2an 4 3n 1，a1 1，求数列an的通项公式。例 8在数列 an 中， a1 1, a n 1 3a n 2n, 求通项 an .（逐项相减法）a13 ,2anan 1 6n 3例 9. 在数列 an 中，2,求通项 an .（待定系数法）例 10已知数列 满足2anan 12an3n 4n 5 a11，求数列 an 的通项公式。，例 11已知数列 an 满足 an 25an 16an , a11, a2 2 ，求数列 an 的通项公式。六、倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例 12已知数列 an 满足 an 12an, a1 1，求数列 an 的通项公式。an2例 13已知数列 an 满足 a12,a23,an 2 3an 12an (nN * ) ，求数列 an 的通项 an解： 其特征方程为x23x2 ，解得 x1 1, x22 ，令 ac 1nc22n ，n1a1