数列的极限知识点-方法技巧-例题附答案和作业题.

1、数列的极限一、知识要点1 数列极限的定义：一般地，如果当项数 n 无限增大时，无穷数列 an 的项 an 无限趋近于某个常数（即 |an a|无限地接近于0），那么就说数列 an 以 a 为极限记作 limana （ 注：ana 不一定是 an中的项 ）2 几个重要极限：（ 1） lim 10（ 2） lim CC （C是常数）nnn0a1（ 3） lim a n1,a1n不存在， a1,或 a10(st )（ 4） lima0 nta1 nt 1at 1n ata0(st )b0 nsb1 ns 1bs 1n bsb0n不存在(st )3. 数列极限的运算法则 :如果 lim annA, l

2、im bnnB, 那么lim (annbn )ABl i (mannbn )ABlim ( an .bn )A.Bl ianA(B0)mnnbnB4无穷等比数列的各项和公比的绝对值小于1 的无穷等比数列前n 项的和， 当 n 无限增大时的极限， 叫做这个无穷等比数列各项的和，记做Slim Snn S lim Sna1,(0| q |1)n1 q二、方法与技巧只有无穷数列才可能有极限，有限数列无极限.运用数列极限的运算法则求数列极限应注意法则适应的前提条件.（参与运算的数列都有极限，运算法则适应有限个数列情形）求数列极限最后往往转化为1nmmN 或 qnq1 型的极限.求极限的常用方法：分子、分

3、母同时除以nm 或 an .求和（或积）的极限一般先求和（或积）再求极限.利用已知数列极限（如 lim qn0 q 1 , lim 10 等）.nnn含参数问题应对参数进行分类讨论求极限. ,0 0, 0 等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限0题型讲解例 1 求下列式子的极限：( 1)n3n22n1 ；2n12n2n7 lim； limlim； lim22;nnnn1nn21n5n7（ 2） lim（ n 2n n）;（ 3） lim （242n）n2+2+ +n2nnn例 2lim anA, lim bnB是 lim anbnAB 的（）nnnA充分必要条件B充分不必要条件C

4、必要不充分条件D既不充分又不必要条件例 3数列 a n 和 b n 都是公差不为0 的等差数列，且lim an =3,求 lim a1a2an 的nbnnnb2 n值为求 lim ana例 4nnaann （ a>0);2例 5已知 lim ( n1anb)1 ,求实数 a,b 的值 ;n n 1例6已知等比数列 an 的首项为 a1,公比为 q,且有 lim （a1n）=1的取值范围1 q q,求 a1n2例 7已知数列 an是由正数构成的数列，a13，且满足 lgan lgan 1lg c，其中 n 是大于 1 的整数， c 是正数（ 1）求数列 an的通项公式及前n 和 Sn；（

5、2）求 lim2n 1an的值2nan 1n数列极限课后检测1 下列极限正确的个数是（） lim1n lim2n3n= 1 limC=C（ C 为常数）n=0（ 0） lim q =02n3nnnnnA 2B 3C 4D 都不正确3 下列四个命题中正确的是（）A 若 lim an2 A2，则 lim an AB 若 an0， lim an A，则 A0nnnC 若 liman A，则 lim an2 A2D 若 lim（an b） 0，则 liman lim bnnnnnn3 n2 n( 1) n (3 n2 n ),n=1,2, ,则 lim （ a1+a2+ +an）5 若数列 an 的通

6、项公式是 an=2n等于（）A 11B17C19D2524242424166 数列 an 中 , an 的极限存在， a1=,an+an+1=n 1 ,n N*, 则 lim （ a1+a2+ +an）等于（）55nA 2B 2C 1D 4574257 limn2=_limn 22n=_n1 2nn2n 23lim n（1 1）（1 1 ）（ 1 1） （ 11） =n345n28 已知 a、 b、 c 是实常数，且 limanc =2,limbn2can2c的值是（）2=3,则 lim2nbncncnbncna9 an 中 a1=3，且对任意大于1 的正整数 n,点（an,an1 ）在直线

7、x y 3 =0 上，则liman=_(n1)2n10 等比数列 an 公比 q= 1,且 lim （ a1+a3+a5+ +a2n 1）=8,则 a1 =_2n311 已知数列 an满足（ n 1）an+1=（ n+1 ）（an1）且 a2=6,设 bn=an+n（ nN * ）（1）求 bn 的通项公式；（ 2）求lim111+ +1）的值（+2nb22 b32 b4bn212 已知 an 、 bn 都是无穷等差数列,其中 a1 =3,b1=2,b2 是 a2 与 a3 的等差中项 ,且 liman1bn= ,n2求极限 lim11+ +1）的值（+a2b2na1b1an bn例题解析答案

8、例 1 分析： ( 1)n的分子有界，分可以无限增大，因此极限为0；n3n22n1(最高项 )系数之比；1的分子次数等于分母次数，极限为两首项n2 lim2n1的分子次数小于于分母次数，极限为0n21n(n3n22n 1321解： lim1)0 ；limlimnn2nn2113 ；nnn1n22n121 limlimlim nn20n21nnn11n2点评：分子次数高于分母次数，极限不存在；分析 :（ 4）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n2 后再求极限；（ 5）因n 2n 与 n 都没有极限，可先分子有理化再求极限；（6）因为极限的运算法则只适用

9、于有限个数列，需先求和再求极限172n2n 7222解 :（ 1） lim= limnn27=n5n7n552n（ 2） lim（ n 2n n） = limn 2n= lim1= 1nnnnn1211n（ 3）原式 = lim 24 622n= limn(n21)= lim （ 1+ 1 ） =1nnnnnnlim (2n2n7)点评：对于（ 1）要避免下面两种错误：原式= n=1, lim （ 2nlim (5n27)nn22+n+7） , lim （ 5n +7）不存在，原式无极限n对于（ 2）要避免出现下面两种错误：lim （n 2n n）=limn2n lim n=nnn =0;原式

10、 = limn2n lim n=不存在nn对于（ 3）要避免出现原式= lim242n=0+0+ +0=0 这样的错误n 2+ lim+ + limnnn2nn 2例 2B例 3数列 a n 和 b n 都是公差不为0 的等差数列，且 lim an=3,求 lim a1 a2an 的nbnnnb2 n值为解：由 lim an =3d1=3d 2 ，n bna1 a2anna1n(n1) d1d13 lim= lim2nb2n=点评：化归思想nnnb1(2n1)d 2 4d24求 lim ana例 4nnaann （ a>0);解： lima naanan112nlima(a 1),1n

11、11na 2nn = 0( a1),点评：注意分类讨论lim a2n12n1(0a1).na1例 5已知 lim ( n21anb)1,求实数 a,b 的值 ;nn1解： lim (1 a)n2(ab)nb 1=1，nn11a0a=1,b= 1( ab)1例 6 已知等比数列 an 的首项为 a1,公比为 q,且有 lim （a1n1的取值范围1 q q ） =,求 a1n2解 : lim（a1n）=1q q,n12 lim qn 一定存在 0 |q| 1 或 q=1n当 q=1 时， a1 1= 1 , a1=322当 0 |q| 1 时，由 lim （a1n1得a1=11 q q ） =2

12、1 q,2a1 1= qn2 0 |2a11| 1 0 a1 1 且 a1 1 2综上 ,得 0a11 且 a1 1 或 a1=32例 7 已知数列 an 是由正数构成的数列，a1 3，且满足 lgan lgan 1 lgc，其中 n 是大于1 的整数， c 是正数（ 1）求数列 an的通项公式及前n 和 Sn；n1（ 2）求 lim2nan 的值n2an 1解 :（ 1）由已知得 an· an 1,an 3·n 1 an是以 a1 3，公比为 c 的等比数列，则3n( c1) Sn 3(1c n )(c且1c0 c 1).（ 2） lim2n 1an lim2 n 13c

13、n 12nan 12n3cnnn当 c=2 时，原式 1;4(2) n 131当 2 时，原式 limc2n 1;nc2()3cc13( c ) n110 2= lim2cnn 1223c ( )21 :B3:annAan 1an bn n D :C n3n2n(3 n2n )为奇数),n2( n25:an=an=nn3 nn3 n322为偶数),2( na1+a2+ +an= 21 3 5 2 4 6+2+2+ 3+3+3+(n为奇数 ),( n为偶数 ).2 13 211lim a1+a2+ +an =2+9=19:C2213211.n1112449166+6:2 a1+a2+ +an =

14、a1+ a1+a2 + a2+a3 + a3+a4 + + an 1+an +an= +5 2+35566=1125+ lim an =1 13+ lim an+n + an+52511n2510n5an+an+1=6,liman+ lim an+1=0 liman=0:C5n1nnn127:= limn2nn 2=0n( n= limnn1)n12222n 212nn1lim2= lim=n2n3n232n 2: lim n 1 1111111n345n2= lim n× 2 × 3 × 4 × × n1 = lim2n2=2:Cn345n2

15、nn8:Danclim=2, a=2 bnbnccbn2c1b a =6 liman2ca2= a由 lim=3,得 b=3 c, c= limn=6cn2bcn2an3cnnacc2n9析 :由题意得anan 1 =3（ ）an是公差为3 的等差数列，a1=3n2an =3 +（ n 1）·3 =3 n an=3n2an=lim3n2= lim3=3 lim2n 121n(n 1) 2nn 2n1nn 210 析 : q= 1, lim（ a1+a3+a5+ +a2n 1）=a11=8 a1=22n13411 解 :（ 1）n=1 时，由（ n 1） an +1=（n+1）（ an

16、 1） ,得 a1=1n=2 时， a2=6 代入得 a3=15 同理 a4=28,再代入 bn=an+n,有 b1=2,b2=8,b3=18,b4=32,由此猜想 bn=2n2 要证 bn=2n2,只需证 an=2n2 n当 n=1 时， a1=2×12 1=1 成立 假设当 n=k 时， ak=2k2 k 成立那么当 n=k+1 时，由（ k 1） ak+1=（ k+1）（ ak 1） ,得 a k+1= k1 （ ak 1）k1= k1 （ 2k2 k1） = k1 （ 2k+1）（ k 1）=（ k+1）（ 2k+1） =2（k+1） 2（ k+1 ）k1k1当 n=k+1 时， an=2n2 n 正确，从而 bn=2n21+1+ +1） = lim （ 1+1+ +1（2） lim （2bn2）nb22 b32n6 162n2=1lim 1+1+ +12 n1324( n 1)(n 1)=1 lim 1 1+1 1+ +11 = 1 lim 1+1 11= 34 n3 24n 1