数列系统复习.

1、数列模块小结1 an f (n) ，数列是特殊的函数，anS1 ,n1SnSn 1,n；22等差数列的定义及性质（ 1） an 1and ， anam( n m) da1( n 1)d dn ( a1d ) ；（ 2） Snn( a1an )na1n(n 1)dn2(a1d)n；22d22（ 3）若 mn p q ，则 amanapaq ；若 m n2 p ，则 aman 2ap ；（ 4）若 an是等差数列， 则 Sk , S2 kSk , S3kS2 k ，仍成等差数列，公差为k2 d ；（ 5）若 an是等差数列，则Sn也是等差数列，公差为d；n2（ 6）若 an是等差数列，则 S2 n

2、 1(2n1)an ， S2n1an .T2n1bn3等比数列的定义及性质（ 1） an 1q ， an a1qn 1amq n ma1 qn ；anqna1 ,q1（ 2） Sna (1 qn ) a1anqaan；111q , q11q1q1 q1q（ 3）若 m np q ，则 amana p aq ；若 m n2 p ，则 am anap 2 ；（4） G2abGab,a2aa1；nn 1n（ 5）若 an是等比数列，则 Sk , S2 kSk , S3kS2k ，仍成等比数列（ q1或 k为奇数），（当 q1时，若 k 为偶数，则不为等比数列）.4数列求和的方法（ 1）公式法： 12

3、2232n21n( n 1)(2 n 1) ，6132333n31 n2 (n 1)2 ；4（ 2）错位相减法：适用于通项由等差和等比相应项的乘积构成的数列求和；（ 3）裂项相消法：1111（ a为公差为 d 的等差数列），an an 1 d anan 1n1111，11b ，2n 1 2n 1 2 2n 1 2n 1aab a b1111，11；n n 1 n 22 n n 1n knn 1nn 1 n 2k（ 4）分组求和法；（ 5）倒序相加法；5. 由递推公式求通项公式（ 1）aan 1f ( n) ，由 a(aa)(aa)(a2a) a1得（叠加）；nnnn 1n1 n21（ 2） a

4、n 1g(n) ，由 ananan1a2a1 可得（迭乘法） ；anan1an2a1（ 3） Snf (an ) ，由 aS1 ,n1可得（同化） ；nSnSn 1 , n2（ 4） apa1q ，由 aqp(aq) 构造等比数列求得；nnnp1n 1p1（ 5） anpan1rq n ，两边同除qn 可以转化为（4）处理；（ 6） anpan1qn r ，由 anxn yp an1x(n1)y 可以求得；（ 7） an 1pan，两边取倒数可以转化；qanr（ 8） anpan1r ，若 p1，则可取 lg 求得；若 p1，则可取 log p 求得；（ 9） a1paqa a1，两边同除以

5、a a1可以求得；nnn nnn（ 10） an 1panqan 1 ，由 an 1xany(anxan 1 ) 可以求得；（ 11）奇偶项，如an 1anpqn ；（ 12）周期数列 .数列习题（一）1. 如果等差数列an中， a3a4a512 ，那么 a1a2a7（）A 14B21C 28D 35解析：选 C.2设 Sn 为等比数列an的前 n 项和，已知3S3a42，3S2a32 ，则公比 q（ ）A 3B4C 5D 6解析：选 B. 两式相减得， 3a3a4a3a44a3q4.3设 Sn 为等比数列an的前 n 项和， 8a2a5 0 ，则S5（）S2A 11B 5C 8D 11解析：

6、选 D.由 8aa08aa q30q2.25224. 已知 an 是首项为1 的等比数列， Sn 是 an的前 n 项和，且 9S3S6 ，则数列1an的前 5 项和为（）A15或5B31或5C 31D 15816168解析：选 C. 显然 q1 ，9(1q3 )1q61q39q 2 ，所以1是首项1q1qan为 1，公比为1 的等比数列， 前 5 项和 T531 .2165. 设 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和，若 S33, S624，则 a9.解析：填 15.依题设求出 a , d.16已知数列an满足 a133,an 1an2n ，则 an 的最小值为 _.n解析：填 21. 由

7、叠加法得 an33n2nan33n 1，2nn构造函数 f (n)33f (n) 在 (33,) 上增，在 (0,33)上减，n 1，由单调性知，na553a621当 n 5 或 6 时 f (n) 有最小值，又55,.627已知数列 an满足： a4n 3 1, a4n10, a2nan , nN * ，则 a2009， a2014.解析：填 1， 0.考查周期数列， a2009a4 50331, a2014a2 1007a1007a4 2521 0.8. 已知数列 an的前 n 项和为 Sn ，且Snn5an85,nN * .（ 1）证明：an1 是等比数列；（ 2）求数列Sn的通项公式，

8、并求出使得Sn 1Sn 成立的最小正整数 n .解析：（ 1）当 n1时， a114 ；当 n2时，anSnSn 15an5an 11 an15 (an 1 1) ,6又 a1150 ，a1 是等比数列 .1n（ 2）由（ 1）知： an115( 5)n 1Sn75 ( 5) n 1n 90( nN * )66由 Sn 1Sn 得 ( 5 )n 12nlog 52114.9 ，最小正整数 n15.656259. 已知 a 是公差不为零的等差数列，a1 ，且 a , a , a 成等比数列 .n1139（ 1）求数列 an 的通项公式；（ 2）求数列2an的前 n 项和 Sn .解析：（ 1）由

9、题设知公差 d0 ，依题意， (1 2d )218d d 1， an n.（ 2）由（ 1）知 2an2n ， S2n 12.n10. 已知an是首项为19，公差为2 的等差数列，Sn 为 an 的前 n 项和 .（ 1）求通项 an 及 Sn ；（ 2）设bnan 是首项为 1，公比为 3 的等比数列， 求数列bn 的通项公式及其前n 项和 Tn .解析：（ 1）依题意， an2n21, Snn220n.（ 2） bn3n 12n 21， TnSn (133n 1 )n220n3n1.2数列习题（一）1. 如果等差数列an中， a3 a4 a512 ，那么 a1a2a7 （）A 14B21C

10、 28D 352设 Sn 为等比数列an 的前n 项和，已知 3S3a42 ，3S2a3 2 ，则公比 q（ ）A 3B4C 5D 63设 Sn 为等比数列an 的前 n 项和， 8a2a5 0 ，则S5（）S2A 11B 5C 8D 114. 已知 an 是首项为1 的等比数列， Sn 是 an的前 n 项和，且 9S3S61，则数列an的前 5 项和为（）A15或5B31或5C 31D 158161685. 设 Sn 为等差数列an 的前 n 项和，若 S33, S624 ，则 a9.6已知数列 an 满足 a1 33,an 1 an2n, 则 an 的最小值为 _.n7已知数列 a满足：

11、 a31, a10, aa , n N *，n4n4n2nn则 a2009， a2014.8. 已知数列an的前 n 项和为 Sn ，且 Snn5an85,nN * .（ 1）证明：an1 是等比数列；（ 2）求数列Sn 的通项公式，并求出使得Sn 1Sn 成立的最小正整数n .9. 已知 a是公差不为零的等差数列，a11 ，且 a , a , a 成等比数列 .n139（ 1）求数列an 的通项公式；（ 2）求数列2an的前 n 项和 Sn .10. 已知an是首项为19，公差为2 的等差数列，Sn 为 an 的前 n 项和 .（ 1）求通项 an 及 Sn ；（ 2）设bnan 是首项为

12、1，公比为 3 的等比数列， 求数列bn 的通项公式及其前n 项和 Tn .数列习题（二）1. 已知各项均为正数的等比数列an ， a1 a2 a35 ， a7 a8 a910 ，则 a4a5a6（）A5 2B7C 6D 4 2解析：选 A， a a a a a aa650a352.12378955an1a9a10（）2已知等比数列中，各项都是正数， 且 a1 ,2a3 , 2a2 成等差数列， 则 a7a8A12B12C322D3 22解析： a3a12a2q212qq12a9a10q 2322.a7a83. 设等差数列an的前 n 项和为 Sn ，若 a111, a4a66 ，则当 Sn

13、取最小值时，n 等于（）A 6B 7C 8D 9解析： d2,Sn212nn6 .n4已知等比数列an满足 an0,n1,2,，且 a5a2 n522n (n3)，则当 n 1时，log2 a1log 2 a3log2 a2n 1（）An(2 n1)B222(n1)n(n1)CD解析： an222n ,an0an2nlog 2 a1log2 a2n1 n2.5设等差数列an的前 n 项和为Sn ，若 S972，则 a2a4a9.解析： S9aa8aaaaaa3a524.9552491596等差数列an的前 n 项和为 Sn ，且 6S55S35 ，则 a4.解析： 6S55S315(a13d

14、)15a4a41.37. 设 a12,an 12, bnan2 , nN * ，则数列bn 的通项公式 bn.an 1an1解析： bn12bnbn4 2n12n 1.8 设 a1 , d 为实数，首项为a1 ，公差为d 的等差数列an的前 n 项和为 Sn，满足S5 S6150 .（ 1）若 S55，求 S6 及 a1 ；（2）求 d 的取值范围 .解析：（ 1） S6153 ， a6S6S58 ，5a110d5a7.S5a15d81（2） S5S61502a129da110d 210(4a1 9d )2d 28 0 ，d2 2 或 d22.另解：看作关于a1 的方程，解0.9已知等差数列a

15、n满足： a37, a5a726 ， an的前 n 项和为 Sn .（ 1）求 an 及 Sn ；（ 2）令 bnan1(nN*) ，求数列bn的前 n 项和 Tn .21解析：（ 1） a13,d2an2n1, Snn(n2).（ 2） b1 ( 11 ) ，Tn11)nn4 nn1(1n4( n.411)10设数列an满足 a1 3a232 a33n1 ann ， a N* 3（ 1）求数列an（ 2）设 bnnbn的前 n 项和 Sn 的通项；，求数列an解析：（ 1） a13a232 a33n1 ann ,3a13a232 a33n 2 an 1n 1(n 2), 3n 1 ann n

16、 1 1 ( n 2).1n ( n31n ( n333an2). 验证 n1时也满足上式， anN*).33另解：题设条件可以看作数列bn3n 1 an 的前 n 项和 Snn ，则 Sn 1n 1.33（ 2） bnn 3n ， Sn1 32 323 33.n 3n ，3Sn1 322333 34.n 3n 12Sn3 32333nn 3n 1 ， 2Sn3 3n 1n 3n 1 ，13Snn3n 113n 13244数列习题（二）1. 已知各项均为正数的等比数列an ， a1 a2 a35 ， a7 a8 a910 ，则 a4a5a6（）A5 2B7C 6D 4 22已知等比数列an中，

17、各项都是正数， 且 a1 , 1 a3 , 2a2 成等差数列， 则 a9a10（）2a7a8A12B12C322D3 223. 设等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，若 a111, a4 a66 ，则当 Sn 取最小值时，n 等于（）A 6B 7C 8D 94已知等比数列 an满足 an 0,n1,2,，且 a5 a2 n 522n (n 3) ，则当 n1时，log2 a1 log 2 a3log2 a2n 1（）A n(2 n 1)B (n 1)2C n2D (n 1)25设等差数列an的前 n 项和为 Sn ，若 S972 ，则 a2a4a9.6等差数列an的前 n 项和为 Sn

18、，且 6S55S35 ，则 a4.7. 设 a1 2,an 12an2*，则数列bn 的通项公式 bn., bnan, nNan118 设 a1 , d 为实数，首项为a1 ，公差为 d 的等差数列 an的前 n 项和为 Sn ，满足S5 S6 150 .（ 1）若 S55，求 S6 及 a1 ；（2）求 d 的取值范围 .9已知等差数列 an满足： a3 7, a5a726 ， an 的前n 项和为 Sn .（ 1）求 an 及 Sn ；（ 2）令 bn11(n N * ) ，求数列bn 的前 n 项和 Tn .a2n10设数列 an 满足 a1 3a2 32 a33n 1 ann ， a

19、N* 3n（ 1）求数列an 的通项； （ 2）设 bn ，求数列 bn 的前 n 项和 Sn an数列习题（三）1. 已知数列a对任意的，qN* 满足 ap qapa ，且 a6 ，则 a 等于（）npq210A 165B 33C 30D 21解析：选 C.2. 已知等比数列an中 a21 ，则其前3 项的和 S3的取值范围是（）A,1B,01,C 3,D, 13,解析：选 D.3. 在数列 an中， a1 2 ， an 1anln(11 ) ，则 an（）n 2 ln nB2(n1)ln nC 2 n ln nD 1 n ln nA解析：选 A.4. 已知 ana22， a51a2 a3a

20、nan 1是等比数列，则 a1 a2（）4A 16(14 n )B 16(1 2 n )C 32 (1 4 n )D 32 (1 2 n )33解析：选 C.5. 设 an为公比 q1的等比数列，若a2004 和 a2005 是方程 4x28x 30的两根，则 a2006a2007.a20041a200432 或2 （舍），q3.解析：a20053a2005122a2006a2007a2005 (qq2 )3(332 )18.26. 设等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，若 S410, S515，则 a4 的最大值为.解析：填4.S410a557. 已知函数f(x) 2x,等差数列an的公

21、差为2 ，若 f (a2a4a6 a8a10 )4 , 则log 2 f (a1)f (a2 )f (a3 )f (a10 ).解析：填 6.8. 等差数列an的前 n 项和为 Sn，a112，S393 2 （ 1）求数列 an 的通项 an 与前 n 项和 Sn ；（ 2）设 bnSn (nN ) ，求证：数列 bn 中任意不同的三项都不可能成为等比数列n解析：（ 1）a121，d2，故212，(2)3a13d932annSn n n（ 2）由（ 1）得 bnSnn2 n假设数列bn 中存在三项bp，bqbrp q r互不相等）成等比数列，（ ， ，则 bq2bp br 即 ( q2) 2(

22、 p2)( r2) (q2pr )(2qpr )20p， q，rN ，q2pr，pr2，与 pr 矛盾02pr2qpr，2pr ( p r )00所以数列bn 中任意不同的三项都不可能成等比数列9. 设数列an的前 n 项和为 Sn 已知 a1a ， an 1Sn3n ， nN* （ 1）设 bnSn3n ，求数列bn的通项公式；（ 2）若 an 1 an ， nN* ，求 a 的取值范围解析：（ 1）依题意， Sn1Snan1Sn3n ，即 Sn 12Sn3n ，由此得 Sn13n 12(Sn3n ) bnSn3n(a3)2n1 ， nN*（ 2）由知Sn3n(a3)2n1 ， nN*，当

23、n 2 时， anSnSn 13n( a 3) 2n 13n 1(a 3) 2n 223n 1(a3)2n 2 ，n2aa 4 3n 1(a 3)2n 22n 2 12 3a 3 ，n 1n23n 2当 n 2 时， an 1 an12a 3 0a 9 2又 a2a13a1 综上，所求的a 的取值范围是9，10. 设数列an的前 n 项和为 Sn，已知 ban2nb1 Sn（ 1）证明：当 b2时，ann 2n 1是等比数列；（ 2）求 an的通项公式 .解析：由题意知a12，且 ban2nb1 Sn ， ban12n 1b1 Sn 1两式相减得 b an 1an2nb1 an1 即 an1ban2n（ 1）当 b2 时，由知 an12an2n于是 an 1n 1 2n2an2nn 1 2n2 ann 2n 1又1 2n 110ann 2n 112a1，所以是首项为的等比数列。，公比为（ 2）当 b2 时，由（ 1）知 ann 2n 12n1 ，即 ann 1 2n1当 b2 时，由由得 an 11b2n 1ban2n1b2n122banb2nb an12n2b2b因此 an 112n 1b an12n2 1bbn22b2bb2n1得 an12n22b bn1n.22b数列习题（三）1.